Đáp án đề ôn tập môn đại số học kỳ 2 hệ đại trà năm học 2020 2021

Vấn đề 5: Họ vectơ độc lập tuyến tính; tìm hạng của họ vectơ.. HD: Phương pháp 1: Dùng biến đổi sơ cấp đưa ma trận cần tính hạng về dạng bậc thang và đếm số hàng khác khơng của ma trận

Trọng tâm thi kết thúc học kỳ 2 hệ đại trà năm học 2020–2021 (Ngày thi 28/06/2021) Bài thi gồm 5 câu, mỗi câu 2 điểm

Vấn đề 1: Các phép toán ma trận, định thức, ma trận nghịch đảo của ma trận cấp hai chứa

tham số m

Vấn đề 2: Tìm hạng của ma trận cấp 4×4; biện luận hạng của ma trận cấp 4×4 chứa tham

số ở 1 vị trí

Vấn đề 3: Giải hệ phương trình 3×3 bằng phương pháp ma trận nghịch đảo; Phương pháp

định thức

Vấn đề 4: Cho W

4.1 Chứng minh W là không gian con của  và tìm một hệ sinh của W

4.2 Chứng minh W không phải là không gian con của 

Vấn đề 5: Họ vectơ độc lập tuyến tính; tìm hạng của họ vectơ

Vấn đề 6: W┴ trong , ⁴; không gian nghiệm hệ thuần nhất

Vấn đề 7: Cho A là ma trận cấp 3×3 Tìm đa thức đặc trưng và các giá trị riêng của A

Hướng dẫn

Bài thi gồm 5 câu, mỗi câu 2 điểm

Vấn đề 1: Các phép tốn ma trận, định thức, ma trận nghịch đảo của ma trận cấp hai chứa

tham số m

HD: Các phép tốn ma trận gồm cộng, trừ, nhân hai ma trận, nhân 1 số với ma trận, chuyển

vị, nghịch đảo, …

1

ij n ij

m

A

b

m

b

det

= bảng số khác với det det một số cụ thể (Sinh viên cần ký hiệu cho đúng! Sai thì mất điểm)

ij M

Vấn đề 2: Tìm hạng của ma trận cấp 4×4; biện luận hạng của ma trận cấp 4×4 chứa tham

số ở 1 vị trí

HD:

Phương pháp 1: Dùng biến đổi sơ cấp đưa ma trận cần tính hạng về dạng bậc thang

và đếm số hàng khác khơng của ma trận bậc thang đĩ

2 1 2 2 2 2 3 3

3 1 3 3

3 1 3 3

h h h

h h h

A

  

  

3 2

2 2 3 3

2 1 2 2 3 1 2 3 3

3 1 3 3

1 4 7

0 0 0 1 (sai!)

0 0 0

h h

h h h

h h h

rankA



  

  

Phương pháp 2: Sử dụng định nghĩa của hạng: (hạng của ma trận là cấp cao nhất của định thức con của ma trận đĩ khác khơng) Nếu A là ma trận vuơng cấp n thì cĩ định

lý detA  0 rankA n det A  0 rankA n 

chứa ma trận con cấp 2 là thỏa 3 0 2

Vậy, 2 3 tức là 2

Vấn đề 3: Giải hệ phương trình 3×3 bằng phương pháp ma trận nghịch đảo; Phương pháp

định thức

Cho hệ phương trình



 (Sinh viên lưu ý phát biểu tương tự:

Cho phương trình ma trận AX = b, biết rằng

)

a) Giải hệ phương trình bằng phương pháp ma trận nghịch đảo

1

1





b) Giải hệ phương trình bằng phương pháp định thức

3

det det , det ,

A

(sinh viên thể dùng máy tính để tính các định thức này)

Vấn đề 4: Cho W

4.1 Chứng minh W là khơng gian con của  và tìm một hệ sinh của W

HD:

+ Dùng định lý liên quan đến tổ hợp tuyến tính : Tập các tổ hợp tuyến tính của một họ

vectơ trong V là khơng gian vectơ con của V

(2 3 6 ,5 7 ,3 4 13 ) : , ,

Lấy : (2 3 6 ,5 7 ,3 4 13 )

(2 ,5 ,3 ) (3 , , 4 ) ( 6 ,7 ,13 ) (2,5,3) (3, 1, 4) ( 6,7,13)

, trong đó (2

3

,5,3), (3, 1, 4), ( 6,7,13) Vậy, là không gian vecto con của

và một hệ sinh của W là (2,5,3), (3, 1, 4), ( 6,7,13)

W

+ Nếu đề bài cho W là nghiệm của một hệ phương trình thuần nhất thì chúng ta giải hệ

phương trình đĩ và biểu diễn cơng thức tính nghiệm theo tham số Biểu diễn vecto nghiệm thành tổ hợp tuyến tính giống như cách làm phía trên để tìm hệ sinh

Định lý: Nghiệm của một hệ phương trình thuần nhất là khơng gian vectơ của n

4.2 Chứng minh W khơng phải là khơng gian con của 

HD: W là khơng gian con của V nếu với mọi , a b W k ,  thì a b W ka W  , 

Để chứng W khơng phải là khơng gian con của V thì

Cách 1: Ta tìm trong W hai vectơ , a b W khơng thỏa mãn a b W (thỏa a b W )

Cách 2: Ta tìm trong W hai vectơ a W k ,  khơng thỏa mãn kaW (thỏa kaW)

 

1 2 3

1

1) ( , , ) :

Lấy (1,1,1), (6,2,18) , ta có: (7,3,19)

Kiểm tra 7 49,3 19 57 7 3 19

Vậy, không phải là không gian con của

2) ( , , ) :

Lấy (2,1,3)

W x y z x yz

v v v W W

W x y z x y z

v



3

, 3 ta có: (6,3,9) Kiểm tra 6 36,3 9 12 6 3 9

Vậy, không phải là không gian con của

kv W W

Chú ý:

+ Thơng thường khơng gian vecto là nghiệm của hệ phương trình truyến tính thuần nhất

+ Nghiệm của hệ phương trình khơng tuyến tính hoặc hệ tuyến tính mà khơng thuần nhất đều khơng phải là khơng gian vec tơ con của n

Vấn đề 5: Họ vectơ độc lập tuyến tính; tìm hạng của họ vectơ

HD: Họ vectơ S độc lập tuyến tính khi và chỉ khi rankS = |S| = số phần tử của S

Do đĩ, để kiểm tra S độc lập tuyến tính hay khơng ta cần tìm hạng của S, rankS

Để tìm rankS, ta lập ma trận A mà mỗi hàng của A chứa đựng hệ số của vectơ thuộc, tìm hạng của A bằng cách đưa nĩ về dạng bậc thang

Khi đĩ, rankS = rankA = số hàng khác khơng của ma trận bậc thang

2 1 2 2

3 1 3 3

Kiểm tra (1,4,7),(2,5,8),(3,6,9) có độc lập tuyến tính hay không?

Kiểm tra 4 7,2 5 8,3 6 9 có độc lập tuyến tính hay không?

3 6 9

h h h

h h h

S

  



2 2 3 3

1 4 7

2 3 không độc lập tuyến tính ( phụ thuộc tuyến tính)

h h h

  

Trình bày sai:

Kiểm tra (1,4,7),(2,5,8),(3,6,9) có độc lập tuyến tính hay không?

Kiểm tra 4 7,2 5 8,3 6 9 có độc lập tuyến tính hay không?

1 4 7

2 5 8 ?,det ? (cách đ

3 6 9

S



ặt tên có vấn đề nghiêm trọng)

Vấn đề 6: W┴ trong , ⁴; không gian nghiệm hệ thuần nhất

HD: W┴ là không gian bù trực giao của W W┴ là tập hợp các vectơ vuông góc với tất cả

các vectơ của W

Định lý: W┴ là tập hợp các vectơ vuông góc với tất cả vectơ trong hệ sinh của W

+ Đề có thể cho sẵn hệ sinh của W

+ Đề có thể không cho hệ sinh của W -> sinh viên phải đi tìm hệ sinh của W

(Nếu đề bài cho W là nghiệm của một hệ phương trình thuần nhất thì chúng ta giải

hệ phương trình đó và biểu diễn công thức tính nghiệm theo tham số Biểu diễn vecto nghiệm thành tổ hợp tuyến tính giống như cách làm phía trên để tìm hệ sinh.)

Vấn đề 7: Cho A là ma trận cấp 3×3 Tìm đa thức đặc trưng và các giá trị riêng của A

HD:

+ Đa thức đặc trưng của A là

P(x) = det(A – xI) = – x3 + Tr(A).x2 – (c11 + c22 + c33)x + detA

P(x) = det(A – xI) = – x3 + Tr(A).x2 + (1 + det(A – I) – Tr(A) – detA)x + detA

+ Giá trị riêng của A là nghiệm của phương trình đặc trưng: P(x) = 0 (Sinh viên có thể dùng

máy tính casio giải phương trình này)

Đề ôn tập thi HKII môn đại số năm 2020 – 2021

,

m A

m

B

m



a) Tính detA theo m Tìm điều kiện của m để A khả nghịch và tính A–1 theo m

b) Tính B T A – A T theo m

Trong đó a là ngày sinh, b là tháng sinh của sinh viên

Câu 2: Cho a là ngày sinh, b là tháng sinh của sinh viên

a) Tìm hạng của ma trận

1 3 5 7 9

2 4 6 9 10

3 5 7 9 11

4 6 8 10 12

A



b) Biện luận theo m hạng của ma trận

0 2 1

m a



c) Biện luận theo m hạng của ma trận

0 1 0 15

1 0 1

C

m

a b



Câu 3: Cho hệ phương trình



 (Sinh viên lưu ý phát biểu tương tự:

Cho phương trình ma trận AX = b, biết rằng

x

z

)

a) Giải hệ phương trình bằng phương pháp ma trận nghịch đảo

b) Giải hệ phương trình bằng phương pháp định thức

Câu 4.1: Trong không gian 3, cho W (a2b c a c a b c a b c ,  ,2   ): , ,  

a) Chứng minh W là không gian vectơ con của 3 Tìm hệ sinh cho W

b) Tìm số chiều và một cơ sở của W

Câu 4.2: Cho W = {(x1, x2, x3)3: x1 – x2 + 2x3 = 0} 3

a) Chứng minh rằng W là không gian vectơ con của 3 Tìm số chiều và cơ sở cho W

b) Tìm W

Tìm số chiều và cơ sở của W T

Câu 4.3: Chứng minh rằng W u( , , ) :x y z x2  y a z b 1 không phải là không gian vector con của 3, trong đó a là ngày sinh, b là tháng sinh của sinh viên

Câu 5.1:

a) Tìm các giá trị của tham số m để S1 u1  ( 1,2,m1);u2 (0, 3,5); u3 (0,4,m2)

độc lập tuyến tính trong 3

b) Tìm m để họ vectơ S2 (1,2, 1,1);(3,5,1,2);(4, m1,0,3) độc lập tuyến tính trong 4

Câu 5.2: Tìm hạng của họ vectơ S sau trong 4

(1,4,0,3);(7, 8, 4, 3);( 2,1,1,0);(1,13,1,9)

Tìm W

Tìm số chiều và cơ sở của W

Câu 7.1: Cho ma trận

1 2 4

2 1 0

3 0 1

A

a) Tìm tất cả các giá trị riêng của A

b) Gọi  1  2 3 là ba giá trị riêng của A Tìm tất cả các tham số m để cho   1 m3

cũng giá trị riêng của ma trận A

Câu 7.2: Cho a là ngày sinh, b là tháng sinh của sinh viên

Cho ma trận

A m

a b

a) Tìm đa thức đặc trưng của A

b) Tìm m để x = 2 là giá trị riêng của A Tìm tất cả các giá trị riêng thực còn lại của A

(nếu có)

Đáp án đề ôn tập thi HKII môn đại số năm 2020 – 2021

,

m A

m

B

m



a) Tính detA theo m Tìm điều kiện của m để A khả nghịch và tính A–1 theo m

b) Tính B T A – A T theo m

Trong đó a là ngày sinh, b là tháng sinh của sinh viên

Lời giải:

a) detA = –(|a – 13| + 1)m + ab + |a – 13| + a + 1

A khả nghịch  detA ≠ 0  m ≠ 13 1

13 1

a

det

T

A

  trong đó c ij = (–1) i+j detM ij

Suy ra

13 1

1

3

m





b) Ta có: B T A =  

2

A T = 13 1

b m

Do đó,

B T A – A T =  

2

m

a b

Câu 2: Cho a là ngày sinh, b là tháng sinh của sinh viên

a) Tìm hạng của ma trận

1 3 5 7 9

2 4 6 9 10

3 5 7 9 11

4 6 8 10 12

A



Lời giải:

  

  

  

1 2 2

1 3 3

1 4 4

2 3 4

h h h

h h h

  



2 4 4

3

h h h

Vậy rankA = 3

b) Biện luận theo m hạng của ma trận

0 2 1

m a



Lời giải:

Cách 1:

2 2

h h h

m

a b

m

a b

 

( ) (2 )

1

h h h

a b a b

a b

a b a

m

b

a b

a b m

     

2

a b

a b

2

a b

a b

Cách 2:

Ta có: detB = (2 a b)m1

+ Nếu detB ≠ 0  m ≠ 1

2 a b



  thì rankB = 4 (= cấp của ma trận B)

+ Nếu detB = 0  m = 1

2 a b



  thì rankB < 4

Vì ma trận B chứa ma trận con cấp ba

(tạo từ ba hàng 1,2,4 và ba

cột 1,2,4) có định thức khác không là detM = 2 + a + b nên rankA  3 Do đó, rankB = 3

Nhận xét:

+ Cách 2.1: Sinh viên thay m = 1

2 a b



  vào ma trận đã cho rồi dùng biến đổi sơ cấp tìm hạng

+ Cách 2.2: Tìm ma trận con của B có cấp cao nhất mà định thức con đó khác không

c) Biện luận theo m hạng của ma trận

0 1 0 15

1 0 1

C

m

a b



(dành cho sinh viên tự

giải để luyện tập)

Câu 3: Cho hệ phương trình



 (Sinh viên lưu ý phát biểu tương tự:

Cho phương trình ma trận AX = b, biết rằng

x

z

)

a) Giải hệ phương trình bằng phương pháp ma trận nghịch đảo

b) Giải hệ phương trình bằng phương pháp định thức

Lời giải

a) Theo phương pháp ma trận nghịch đảo,

1

4 21 22 5 19

x y z



        

b) Theo phương pháp định thức x A1 427,y A2 101,z A2 19

A i là ma trận có được từ ma trận hệ số A bằng cách thay cột thứ i bởi vế phái của hệ phương

trình

Câu 4.1: Trong không gian 3, cho W (a2b c a c a b c a b c ,  ,2   ): , ,  

a) Chứng minh W là không gian vectơ con của 3 Tìm hệ sinh cho W

b) Tìm số chiều và một cơ sở của W

Lời giải:

a) Ta có W a(1,1,2)b(2,0,1)c(1, 1, 1): , ,  a b c  = Span(S),

trong đó S = u1 (1,1,2),u2 (2,0,1),u3   (1, 1, 1)

Vậy W là không gian vectơ con của 3 và có một hệ sinh là S

1 3 3

2

h h h

h h h

h h h

  

  

  

Vậy dimW = 2, một cơ sở của W là v1 (1,1,2),v2 (0, 2, 3)  

Câu 4.2: Cho W = {(x1, x2, x3)3: x1 – x2 + 2x3 = 0} 3

a) Chứng minh rằng W là không gian vectơ con của 3 Tìm số chiều và cơ sở cho W

b) Tìm W

Tìm số chiều và cơ sở của W T

Lời giải:

a) Ta có x ( , , )x x x1 2 3  W x1 x2 2x3

 x (x2 2 , , )x x x3 2 3  x x2(1,1,0)x3( 2,0,1)

Vậy W là không gian vectơ con của 3sinh bởi u1 (1,1,0),u2  ( 2,0,1)

 



1 2 2

2

h h h

Vậy dimW = rankA = 2

Nhận xét:

Ta có thể giải thích W là không gian vectơ con của 3 bởi vì W là nghiệm của hệ phương

trình tuyến tính thuần nhất Việc giải hệ giúp ta tìm được cơ sở (cũng là hệ sinh độc lập

tuyến tính) và số chiều của W Do đó bài trên có thể giải như sau:

Vì W là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất x x1 2 2x3 0 nên W là không

gian vectơ con của 3

Ta có

3

1

2





Do đó, W sinh bởi cơ sở u1 (1,1,0),u2  ( 2,0,1) và dimW = 2

b) Ta có: W Span S ( ), vớiS u1 (1,1,0),u2  ( 2,0,1)

( , , )

v u

v x y z W

( , , ) , , (1, 1,2)

2

a x









Vậy W  a a a a, ,2 :   Span(1, 1,2)  và dimW

= 1, đồng thời một cơ sở của W Tlà {(1,–1,2)}

Câu 4.3: Chứng minh rằng W u( , , ) :x y z x2  y a z b 1 không phải là không gian

vector con của 3, trong đó a là ngày sinh, b là tháng sinh của sinh viên

Lời giải:

Lấy u1(1,1,0),u2 (1,0,1)W, ta có u u u 1 2 (2,1,1)W vì 22 ≠ 1a + 1 b +1

Vậy, W không ổn định với phép toán cộng suy ra W không phải là không gian vector con

của 3

Câu 5.1:

a) Tìm các giá trị của tham số m để S1 u1  ( 1,2,m1);u2 (0, 3,5); u3 (0,4,m2)

độc lập tuyến tính trong 3

b) Tìm m để họ vectơ S2 (1,2, 1,1);(3,5,1,2);(4, m1,0,3) độc lập tuyến tính trong 4

Lời giải:

a) S1 độc lập tuyến tính 

m

m



14

3 14 0

3

b) S2 độc lập tuyến tính  rankS2 = |S2|  rankB = 3, với

1 2 1 1

3 5 1 2

4 1 0 3

B

m

2 3 3

1 3 3

3 4

h h h

h h h

B

  

  

Khi đó, rankB = 3  m – 6 ≠ 0  m ≠ 6

Vậy, các giá trị m cần tìm thỏa mãn m ≠ 6

Câu 5.2: Tìm hạng của họ vectơ S sau trong 4

(1,4,0,3);(7, 8, 4, 3);( 2,1,1,0);(1,13,1,9)

Lời giải:

1 2 2

1 3 3

1 4 4

7 2

h h h

h h h

h h h

  

 

  

2 3 3

2 4 4

1

4

1

4

0 36 4 24

h h h

h h h

  

  

Vậy rankS = 2

Tìm W

Tìm số chiều và cơ sở của W

Lời giải:

( , , , )





3

4

1 2 3 4 1

2

10

10 ( , , , ) , , , ( 1,1,1,0) (10,1,0,1)

7 7

b

  



 









 





Vậy, W Span S ( ), vớiSu1  ( 1,1,1,0),u2 (10,1,0,1)

( , , , )

v u

v u

v x x x x W

 

1 2

2

1 2 3 4

0

10 ( , , , ) , , , 10 (1,1, 10,0) (0,1, 1, 1)

x a

x b

  



 



Vậy, W  a b a b, ,  , 10a b a b : ,  , dimW T = 2,

một cơ sở của W Tlà v1 (1,1, 10,0), v2 (0,1, 1, 1)  

Câu 7.1: Cho ma trận

1 2 4

2 1 0

3 0 1

A

a) Tìm tất cả các giá trị riêng của A

b) Gọi  1  2 3 là ba giá trị riêng của A Tìm tất cả các tham số m để cho   1 m3

cũng giá trị riêng của ma trận A

Lời giải:

a) P x A( ) det( A xI )  x3 3x2 13x15

P x A( ) 0  x = 1 hoặc x = –3 hoặc x = 5

b) Ta có: 1   3 2  1 3 5 hay   1 m3   3 5m

Do đó,  là giá trị riêng của ma trận A  = –3 hoặc  = 1 hoặc  = 5

 m = 0 hoặc m = 4/5 =0.8 hoặc m = 8/5 = 1.6

Câu 7.2: Cho a là ngày sinh, b là tháng sinh của sinh viên

Cho ma trận

A m

a b

a) Tìm đa thức đặc trưng của A

b) Tìm m để x = 2 là giá trị riêng của A Tìm tất cả các giá trị riêng thực còn lại của A

(nếu có)

Lời giải

a) Đa thức đặc trưng của A là P x( ) det( A xI )   x3 (1 m x) m(a b a 1)

b) x = 2 là giá trị riêng của A  P(2) = 0

 8 2(1  m)m(ab a  1) 0 m = 6

1

ab a 

Khi đó,  2  2 2 2 3 2 2 3 2 3

( )

1

P x

ab a

 

  (Sinh viên tự giải tiếp hoặc đơn giản dùng máy casio để tìm các giá trị nghiệm thực còn lại

nếu có)