Bài báo trình bày những khái niệm cơ bản về họ trừu tượng các nguồn và chứng minh rằng họ các ngôn ngữ được xác định bởi họ trừu tượng các nguồn trùng với họ các ngôn ngữ được đoán nhận
Trang 1HỌ TRỪU TƯỢNG CÁC NGUỒN
NGUYÊN THỂ BÌNH
Bộ môn Tín học, Trường Đại học Dân lập Hải Phòng
Abstract This article presents the basic concepts of abstract family of sources and proves that family of languages defined by abstract family of sources coincides with family of languages accepted
by abstract family of automata
Tóm tắt Bài báo trình bày những khái niệm cơ bản về họ trừu tượng các nguồn và chứng minh rằng họ các ngôn ngữ được xác định bởi họ trừu tượng các nguồn trùng với họ các ngôn ngữ được đoán nhận bởi họ trừu tượng các otomat
1 ĐẶT VẤN ĐỀ
Ngôn ngữ hình thức và otomat là cơ sở quan trọng của tin học đang phát triển mạnh
mẽ theo nhiều hướng khác nhau ([1,2,6,7,8]) Một trong những hướng phát triển đó là xây dựng mô hình nguồn của otomat hữu hạn, các phép toán và các tính chất của nguồn ([1,2|) Bài báo trình bày các khái niệm cơ bản về họ trừu tượng các nguồn, đưa ra sự phân lớp
họ trừu tượng các nguồn và chứng minh rằng họ các ngôn ngữ được xác định bởi họ trừu tượng các nguồn trùng với họ các ngôn ngữ được đoán nhận bởi họ trừu tượng các otomat
2 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
2.1 Bảng chữ cái, xâu, ngôn ngữ (Í2,3])
Định nghĩa 1 Bảng chữ cái là tập các phần tử, mà mỗi phần tử được gọi là một ký hiệu Định nghĩa 2 Xâu (hay từ) trên bảng chữ cái là dãy các ký hiệu của bảng chữ cái đó được viết liền nhau
Ghép tiếp hai xâu wu va ø, ký hiệu bởi wv, lA một xâu được tạo ra bằng cách viết œ xong viết ø tiếp theo sau sao cho giữa chúng không có khoảng cách
Độ dài của xâu œ là số các ký hiệu có trên xâu đó và được ký hiệu bởi |a]|
Xâu rong là xâu có độ dài bằng 0 và được ký hiệu bởi e
Định nghĩa 3 Ngôn ngữ trên bảng chữ cái là tập các xâu trên bảng chữ cái đó
Tập tất cả các xâu trên bảng chữ cái 3 với độ dài khác không được ký hiệu bởi 3T Tập tất cả các xâu trên bảng chữ cái 3 với độ dài bất kỳ được ký hiệu bởi »*
Khi đó »* = 3 U{£}
Tập ® và {<} được xem như là các ngồn ngữ trên bảng chữ cái bất kỳ
Trang 22.2 Một số phép toán trên ngôn ngữ (|2,3|)
Giả sử L, Dị, ba là những ngôn ngữ bất kỳ trên bảng chữ cái 3
- Phép hợp:
Hợp của hai ngôn ngữ và ¿, được ký hiệu bởi Ủị U Lạ, là tập:
LịU hạ = {uc >” |œ€ Ly hoặc œ € La}
- Phép giao:
Giao của hai ngôn ngữ và Lz, được ký hiệu bởi hạ f1 bạ, là tập:
Lịn hạ = {uc 3“ |œ c€ Lị và œ € Lạ}
- Phép ghép tiếp:
Ghép tiếp của hai ngôn ngữ Ly va Le, được ký hiệu 1 Lạ, là tập:
Tị hạ = {uv | ue Ly vave Lạ}
- Phép lặp:
Lặp của ngôn ngữ 7, được ký hiệu bởi L*, là tập:
1*=L°UT°UT2U
trong đó LÝ được xác định bởi công thức đệ quy như sau:
L° = {ze}, L'= LL"! véi moi s6 nguyén i > 0
Lap cat của ngôn ngữ L, duoc ky hiéu béi LT, 1A tap:
LẺ =LUE?UT3U
- Phép đồng cấu:
Giá sử 3ị, 3s là các bảng chữ cái
Anh xa A tit tap ‡ vào tập »ÿ được gọi là đồng cấu nếu thỏa mãn điều kiện:
h(ay) = h(a)h{(u) với a,ụ€ 31
Đối với ngôn ngữ Ƒ, trên bảng chữ cái 3'ị ta có:
h(L) = {h(@œ) |œ € L}
Đồng cấu h được gọi là dong cau « - tự do nếu h(#) Z e với mọi # # e
- Phép đồng cấu ngược:
Giả sử h là một dong cau tir tap UF vao tap V4
Đồng cấu ngược của h, ky hiéu boi h~', 1a mot Anh xa tir tap 43 vao tap cdc tap con cia
7 va diroc xac dinh nhw sau:
h*(y) = {a | h(x) = 9}
D6i vi ngon nett L trén bang chit cdi Ne ta cd:
h-*(L) = {x | h(a) € L}
2.3 Họ trừu tượng các ngôn ngiv AFL ([5))
Định nghĩa 4 Họ trừu tượng các ngôn ngừ là một bộ hai (©, £) hay don giản là £ khi 37
đã xác định và được xác định như sau:
1 3 là bảng chữ cái, £ là tập các ngôn ngữ trên 3
Trang 32 Đối với mỗi ngôn ngữ Ù, € £, luôn tồn tại tập hữu hạn A C %, sao cho L C A*
3 £ đóng đối với các phép hợp, ghép tiếp, lặp, đồng cấu <- tự do, đồng cấu ngược và giao với các tập chính quy
4 by với L€£
Định nghĩa 5 Họ trừu tượng các ngôn ngữ £ được gọi là đầy đủ nếu nó đóng với phép
x nw w `
dong cau bat ky
Ví dụ: Lớp các ngôn ngữ cảm ngữ cảnh là họ trừu tượng các ngôn ngữ Còn lớp các ngôn ngữ chính quy, lớp các ngôn ngữ phi ngữ cảnh và lớp các ngôn ngữ ngữ cấu là họ tru
tượng đầy đủ các ngôn ngữ
2.4 Họ trừu tượng cdc otomat AFA ([5)])
Định nghĩa 6 Họ trừu tượng các otomat (một phía) là một bé hai (Q,.A) hay đơn giản là
⁄Á4 khi © đã xác định và được xác định như sau:
1 © là một bộ sáu (K,>,, 7, ƒ, ø), trong đó:
1.1 K,>,T,7 là các tập không trống,
1.2 ƒ là ánh xạ từ tập I* x 7ƒ vào tập F*U{®},
1.3 g là ánh xạ từ tập E” vào tập các tập con hữu hạn của I* va cé tính chất sau:
g(é) =e va e€g(y) khi và chỉ khi +=e,
14 Đối với y € ø(9(ø?)= U ø(œ)) luôn tổn tại 1, € I, sao cho f(9’,1,) = + với
ael*
+€ ø(), phần tử 1„ thuộc 7 được gọi là lệnh đồng nhat (identical instruction),
1.5 Đối với u € ƒ luôn tồn tại tập con hữu hạn E„ C E, sao cho nếu CT, + € LỊ và
fw ⁄ ® thì ƒ(%,) € (ì UT/)”
2 44 là tập các otomat A = (K1, 31, ở, qo, F}), trong đó:
2.1 Ky va Xi là các tập con của # và 3,
2.2 F la tap con cua Ky va qo € Ky,
2.3 6 la ánh xạ từ tập Ky x (4) U {e}) x g(I*) vào tập các tập con hữu hạn Ay x J véi
Ga = {y | 6(¢, 4,7) Z ®} 1a tap hiru han
Bang vao
Dau doc
Bo diéu khién
Thong tin Lénh
Bang lam viéc Hinh 1
Trang 4Luu y: K la tập các trạng thái, » là tập các ký hiệu kết thúc, [ 1a tap các ký hiệu không kết thúc, 7 là tập các lệnh, ƒ là hàm biến đổi nội dung trên băng làm việc, ø là hàm xác định xâu trên băng làm việc
Otomat A cé thể biểu diễn theo mô hình như Hình 1
Bước chuyển của otomat 4 trên tập các hình trạng Kị x Ї x E* (hoặc Kị x F*) được xác định bởi quan hệ hai ngôi
(p,aw,7)F (p',w,7') voi ae D1 Uf}, (pu) € ð(p,a, 1),
/
+ €g() và ƒ(,u)— +"
Còn FET,E* là bao đóng truyền ứng và bao đóng phản xạ truyền ứng của L-
Định nghĩa 7 Ngôn ngữ được đoán nhận bởi otomat 4 là tập:
L4) = { € Sĩ | (qo,to,£) F* (ap, 2,2) voi gp € FH
Họ các ngôn ngữ được đoán nhận bởi họ trừu tượng các otomat là tập:
L(A) = {L(A) | A€ A}
Nhận xét 1
Từ Dinh nghia 6.1.5 ta co:
Tr, = {u | (p',u) € 6(p,a,y)},P1 = U T„ là các tập hữu hạn
C1
Từ Định nghĩa 6.2.3 ta có:
Ga = {⁄ | Š(q,ø,) ⁄ ®} cũng là tập hữu hạn,
nên ổ là ánh xạ từ tập #¡ x (3 ¡ U‡£}) x ø(T”) vào tập các tap con hitu han Ay x J duoc xem là ánh xạ từ tập ¡ x (Ä+U {‡z}) x Ớa vào tập các tập con hữu hạn K] x ñ1
Giả sử 7' là hàm xác định trên tập tất cả các số nguyên không âm và nhận tất cả các giá trị là số nguyên dương
‹Är(„) là lớp các otomat A = (Ất,31,ð,qgo, F1) € Á, sao cho với mọi € 3ƒ và (po, £) F* (p,=, +) ta luôn có
ly] < Tw), Tem) = P(A), Arve(n) 1 lop cdc otomat cua A va Lyin) = U L( Arn)
k>1 Truong hop:
T(n) =n, L(Areny) = L(Arin)) va Lorin)(A) = £(Ar(n))- Khi đó LJ Arz(„y là lop cdc otomat tuyén tinh gidi ndi va £L7(,)(A) 1a lớp các ngôn ngữ
kÈI
cảm ngữ cảnh
Định lý 1 ([B]) Nếu A là họ trừu tượng cdc otomat thi L(A) la ho tritu tượng dầu dủ các ngôn ngữ
Định lý 2 ([5]) Néu T la ham tang, thì Cr(„)() là họ trừu tượng các ngôn ngữ
Trên cơ sở định nghĩa họ trừu tượng các otomat và dựa vào đặc điểm của xâu trên băng làm việc, ta tách từ họ trừu tượng các otomat ra một số lớp:
Trang 5Lớp các otomat loạt 0
Otomat được gọi là otomat loại 0, nếu không có sự hạn chế và ràng buộc nào đối với xâu trên băng làm việc
Otomat loại 0 được gọi la may Turing
Lớp các otomat loại 0, ký hiệu bởi 4o, là tập các otomat loại 0
Lớp các ngôn ngữ được đoán nhận bởi các otomat loại 0, ký hiệu bởi £(.4o), là tập các ngôn ngữ được đoán nhận bởi các otomat loại 0
Lớp các otomat loạt 1
Otomat được gọi là otomat loại 1, nếu độ dài của xâu trên băng làm việc luôn bị giới hạn bởi hàm tuyến tính với biến là độ dài của xâu vào
Otomat loại 1 được gọi là otomat tuyến tính giới nội
Lớp các otomat loại 1, ký hiệu bởi 4, là tập các otomat loại 1
Lớp các ngôn ngữ được đoán nhận bởi các otomat loại 1, ký hiệu bởi £(.4), là tập các ngôn ngữ được đoán nhận bởi các otomat loại 1
Lớp các otomat loại 8
Otomat được gọi là otomat loại 2, nếu quá trình biến đối nội dung của xâu trên băng làm việc luôn được thực hiện ở phần bên phải nhất (hoặc bên trái nhất)
Otomat loại 2 được gọi là otomat day xuống
Lớp các otomat loại 2, ký hiệu bởi 4a, là tập các otomat loại 2
Lớp các ngôn ngữ được đoán nhận bởi các otomat loại 2, ký hiệu bởi £(.4a), là tập các ngôn ngữ được đoán nhận bởi các otomat loại 2
Lớp các otomat loạt 3
Otomat được gọi là otomat loại 3, nếu xâu trên băng làm việc luôn là xâu rỗng
Otomat loại 3 được gọi là otornaE hữu hạn
Lớp các otomat loại 3, ký hiệu bởi 4a, là tập các otomat loại 3
Lớp các ngôn ngữ được đoán nhận bởi các otomat loại 3, ký hiệu bởi £(.4s), là tập các ngôn ngữ được đoán nhận bởi các otomat loại 3
Lớp các ngôn ngữ được đoán nhận bởi các otomat tương ứng với sự phân lớp trên thỏa man bao ham thtre sau:
L(As3) C £(.4:) Cc £(11) Cc L£(Apo)
Định lý 3 |9| bớp các ngôn ngữ dược sinh bởi các van phạm loại ¿ trùng oới lớp các ngôn ngữ được đoán nhận bởi các otomat loai i véi i = 0,1, 2,3
3 HỌ TRỪU TƯỢNG CÁC NGUỒN Định nghĩa 8 Họ trừu tượng các nguồn là một bộ hai (O,.S) hay đơn giản là S khi Q đã xác định và được xác định như sau:
1 © là một bộ sáu (K,3,T, 7, ƒ,ø) (đã được xác định ở Mục 2.4)
2 Š là tập các nguồn Š = (Ts, V, E, H, ÿ,uọ, Fs), trong dé:
2.1 7% là tập con hữu hạn của 3 và thỏa mãn điều kiện sau:
Ts (Sys U Nas) = ® voi Nig, Nog 1a cdc tập con clia Ui, Mig MN Nog = ®,
2.2 V la tap cdc dinh,
Trang 62.3 #7 là tập các cung,
2.4 H = {h\, hạ, hạ, hị., hư, hp} là tập các phép ánh xạ và đồng cấu được xác định như sau: 2.4.1 hị là song ánh từ tập Ï¡s vào tập 31s với hs là tập con hữu hạn của J,
2.4.2 hạ là song ánh từ tập Gø vào tập Meg vi Gg la tap con htru han ctia [* va G'g C g(I*),
2.4.3 hạ là phép đồng cấu trên tập (7U 3s Mag)*, sao cho
= với mọi œ€ Ï;
avi moi a € X49 U Mog,
2.4.4 hip la phép đồng cấu trên tap (Ts U Sig U 2s)*, sao cho
œ với mọi œ € Ts,
Ee vGi moi a € M49 U Nag, 2.4.5 hự là song ánh từ tập V vào tập #Í+s x Gg va duoc goi là hàm gán nhãn đỉnh với 1z
là tap con htru han cua K, hy là ánh xạ ngược của hự,
2.4.6 hp là song ánh từ tập # vào tập (7s {<})> 1s x K+z và được gọi là hàm gán nhãn cung, hy! la Anh xa nguoc cua hp,
2.5 w la ánh xạ từ tập 1s vào tập các tap con htru han cua (Ts U {e}) Moshi gs x Kis, 2.6 Fs la tap con cua Ky¢,
2.7 vo € V là đỉnh ban đầu với nhãn hự(o) = (qo,£) va Ve C V 1a tap cdc đỉnh kết thúc
với các nhãn hự(Vp) = (F»s, {e})
Để hình thức hoá việc hoạt động của nguồn 6 ta có khái niệm phần phải nhớ
Phần phải nhớ được ghi tại các đỉnh của nguồn Š là một bộ hai:
m — (q, Ø) € Kis x rm, trong đó:
q € Ky là trạng thái tức thời của nguồn 9,
Ø €T* là nội dung của băng làm việc trong nguồn 6®
Giả sử tại đỉnh ø € W của nguồn 6 ta có:
m= (q,8), P= q— aho(y)hi(u)q’ véi dieu kien y € g(B), hv(v) = (4,7)
Khi đó tai dinh v’ € V cia nguon S, phan phai nhé m’ va nhan cua dinh v’ duoc xac định
như sau:
mm — (q', ƒ(x,9)),
hy (v') = (q', 7’) với điều kiện + € ø(ƒ(, w))
Cung z với nhấn e = aha(+)h1(u) nối từ đỉnh ø với phần phải nhớ m tới đỉnh œ“ với phần
phải nhớ zm được biểu diễn như sau:
và được viết bởi (0,?n)e(0' mm)
Đường TT độ dài ø trong nguồn Š đi từ đỉnh œọ với phần phải nhớ ?znọ tới đỉnh œ„ với
phần phải nhớ m„ là một dãy liên tiếp cdc cung 71, 72, ., Tn, sao cho đỉnh cuối của cung 7;
là đỉnh đầu của 74, v6il <i<n-—1
Trang 7Nhan \ ctia duong II trong nguon S$ duroc xdc dinh bdi
hp(T17t2 Ty) — €1€2 -€n
Độ dài của đường II được ký hiệu là |H|
Đường II trong nguon Š được biểu diễn như sau:
trong đó:
1, 42, ., đy € Tg(J4£},
mo = (đo Bo),
mi = (Gi, Bi) voi Bi = f(Vi-1, ui), L<i<n-l,
Út = qo — đ1ha(%o)h1 (01)41,
Viti = đ — địi1ha(Y¡)h1(M2+1)441 với Vị € 0(0;), L Š SŠn — 1,
hy (vo) = (40; Yo);
hy (v3) = (4.7%) Voi1 <i<n-1,
hv (nr) = (Grr Yn) VOI Yn € G(Bn);
€1 = ayho(yo)hi(ur),
C1 = a the(y)hi(wy) Voi l <i<gn—-I,
và được viết bởi (øo, wo)À(0„, e„) với nhãn À = eIea €„
Khi đó Ø; = ƒ(3;_, ¿) là phần tử thứ hai trong phần phải nhớ ?m; với Ì <i <n—1 ¢6
thể được xác định như sau:
6; — ®?(+o, U1, U2, ., us) VOI 1 <7 < n—1,n la do dai cla đường trong nguồn Š, ®* là
ham được xác định trên tích Đềcác P'* x 1s x x I,g(n lan) và thỏa mãn các điều kiện sau:
®9(%) = + với y €I*,
®!(, 1t, ta, , tý) — ƒ(®°—Í(Y, trị, wa, « , U1), Us) VOI Un Eligs,y ET*,1<iKc<n
Đường trong nguồn Š được gọi là đường đơn nếu đường đó đi qua mỗi cung không quá một lần
Đường trong nguồn Š được gọi là chu trình nếu đường đó bắt đầu và kết thúc tại cùng một đỉnh
Chu trình trong nguồn S$ duoc là chu trình đơn nếu chu trình đó đi qua mỗi cung không
quá một lần
Đường II trong nguồn S duoc gọi là đường đầy đủ với nhãn À nếu đường đó đi từ đỉnh
ban đầu øọ với phần phải nhớ ban đầu nọ tới đỉnh kết thúc ø; với phần phải nhớ kết thúc
my và được viết bởi (0o, ?ng)À(0r, my), trong đó:
mo = (qo, é),
mz, = (q, đ;) với 8; = O'(, uy, ua, c.«y tạ), 1l<tign- 1,
ms = (af; Br) = (qr,°) với Bp = ®®”(£, tị, tia, , ty) — €
Khi đó:
Mg = (mo, m1, ., mf) la day phai nhé đầy đủ của đường đầy đủ TT trong nguồn S5,
t = hr(ÀÄ) = ha(£)h1(u1) ha(Xu 1)hi(u„) € 3ì g Ö (Öas)* là vết của đường đầy đủ TT trong nguồn S,
Trang 8tứ = h(Ä) = aiaa a„ € T là xâu (hay từ) được xác định bởi đường đầy du II trong nguồn 8
Định nghĩa 9 Vết của nguồn ® là tập:
Ly = {t € (Sig U Meg)* | t= h(a), (0a, mọ)A(0y, my)}
Ngôn ngữ được xác định bởi nguồn ® là tập:
L(S) = {we T3 | hr(A) =t € Lạ, hạ(À) = w, (v0, mo)A(vp, Mp) F-
Họ các ngôn ngữ được xác định bởi họ trừu tượng các nguồn là tập:
£(8) = {L(S) | 9e &}
Dinh ly 4 Néu Ly C (Sig U Nas)* la vét ctia nguon S tà ha(<) € 32s thì Lịha(c) được đoán nhận bởi otomat A = (Ka, “1g U “ag, 6, Qo, Fa) € A
Ching minh:
Otomat A = (Ky, “1g U Mos, ở, đo, f4) € 4 được xác định như sau:
Ka = {90.0.2}, Fa = {0i}, ö(qo, ha(),£) — {m, 1:)}, ð(m, hị(4),Y) — {(,u)} với + €ø(L”) và w € Ïis, (qs, ha(),+) — {(, 1„)} với y € ø(T”)
Ta cé quan hé sau: (qo, the(e),€) F* (q, €, €) v6ithe(e) = ho(e)hi(u) -he(Yn_1) hi (tm) hele) €
Lụha(£)
Vậy L¿ha(=) được đoán nhận bởi otomat A € A
Nhận xét 2
- Do Kis, Ts, lis, Gg la các tập hữu hạn nên tập 3s, tập 3 2ø, tập các đỉnh V và tập các cung # cũng là hữu hạn Vì vậy nguồn Š được xem như là đồ thị hữu hạn có hướng được gán nhãn và tại các đỉnh có ghi các phần phải nhớ
- Đường đầy đủ II trong nguồn Š với nhãn À được cấu thành từ đường đầy đủ đơn và các chu trình đơn (nếu có)
- Đường đầy đủ II trong nguồn Š với nhãn À được viết bởi:
(bọ, mo)+0/f(0r, my) với £ — hr(ÀA) và tú = hạ ()
- Ngôn ngữ được xác định bởi nguồn 6 là tập:
L(S) = {w € TS | — hip), (vo, mo)w/tvp, my) voi t € Ly}
Bổ đề 1 Đối tới nguồn S € S, luén tén tai otomat A € A, sao cho L(A) = L(S)
Ching minh:
Giả sử S = (Ts, V, FE, H,w, v0, Fs) € S la nguồn
Otomat A = (Ky, 7,6, q0, F) € A duoc xy dung nhu sau:
ki = Kis,T =Ts, hi = hs,Ga = Gs,
(q',u) € ð(q, a,+) với tý = q — aha(y)hilu)d’,
go € Ky 1a trang thai ban dau,
F = Fg la tap cdc trang thái kết thúc
Ta can chitng minh L(A) = L(S)
Trước tiên ta cần chứng minh bao hàm thức L(S) C L(A)
Xét xâu bất kỳ khác rỗng € L(S)
Trang 9Do w € L(S) nén tồn tại đường đầy đủ II trong nguồn Š với nhãn À — eiea e„ và day phải nhé day du Ms = (mo, m1, ., mf), sao cho
hr(A) =t€ L¿, hạ(Ä) = a1 a2 dn = w
Duong day du II trong nguon Š được biểu diễn như sau:
trong đó:
đ1,đ2, , d„y C Lg U 4£}
mo = (40; 80),
mi = (Gi, Bi) voi Bi = f(Vi-1, ui), L<i<n-l1,
tị = go > ayho(yo)hi (ui),
¡21 — đ — địi1ha(Y¡)h1(M2+1)441 với Vị € 0(0;), L Š SŠn — 1,
hy (vo) = (40; Yo);
hự(¡) = (q,+¡) với Ì < ¿ <n — 1,
hy (vf) = (dn, %);
e{ = a ho(yo)hi(u1),
C¿+L] — đ+1h2(4)h1(02+1) với Ì < 2 < n—l
Khi đó ta có:
đ1, đa, ., œy„C TU £},
go la trang thai ban dau,
15 925 5 M1 © Ad,
Qn € F la trang thai kết thúc,
B; = f(@ 1,u;) voil <i<n-I,
(mi, 1) € ô(qo, 1, £) được xác định từ 4,
(4-1, 2+1) € O(qi, @i+1, Vi) được xác định từ ¿+¡ với +; € Ø(0;), 1 <i <n—1, va day
đầy đủ các bước chuyển Œ của otomat 4 được biểu diễn như sau:
(qo; đ1øa đ„, £) E (@I; đa đ„, đỊ)
(đ„_ 1, an; Ổm_ 1)
Suy ra +0 = ø1aa d„ € L(4) Vậy L(S) C L(A)
Ngược lại, ta cần chứng minh bao hàm thức L(A) C L(S)
Xét xâu bất kỳ khác rong w € L(A)
Do w € L(A) nên tồn tại dãy các hàm chuyển và dãy đầy đủ các bước chuyển Œ của otomat
A, sao cho +0 —= đ1øa đựy
Dãy đầy đủ của các bước chuyển Œ của otomat A4 được biểu diễn như sau:
Trang 10(qo, @102 An,&) F (G1, A1 -An, 31)
F (đ„_ 1, an; Ổm_ 1)
trong đó: øI, đa, ,„€ 7 'U 4<},
go la trang thai ban đầu,
91 923 In—1 € l1,
Qn € F la trang thai kết thúc,
B; = f(@* 1,u;) voi l <i<n-I,
(qi, Ui) € ð(qo, @1,€),
(0+1; 0211) € Ô(@; 4+1, Y2) với Vị € g(0), L Š ? Šm — |
Khi đó ta có:
đ1,đ2, , đ„y © Ps U 4£}
mo = (qo, €),
m; = (q;, 8) voil <i<n-l,
Tri — (dns);
1 = 9 — ayho(e)hi(ur)q duec xdc dinh tir (qi, ui) € (đo, a1, €),
Vir = G > Gitihe(y)hi(uesi)girr duoc xde dinh ti (gip1, mir) € O(G, 441,74) với
+¡ € g(®?), 1<¿<n— ],
hịz (qo,£) — ®0,
hy (Gis a) =v; voil<i<n-l,
hy" (dns) = vf,
e€1 = ayho(e)hi (ur),
G1 —= đ;+1ha(%;)h1(u¿‡1) vil <i<n—-1,
và đường đầy đủ II trong nguồn Š với nhãn À — eiea e„ được biểu diễn như sau:
" f
Suy ra
Ms = (mạ, mịỊ, , tr),
hr(ÀA) =t€ Hị,
hin(A) = a1 a2 dn = w € L(S)
Vay L(A) C L(S)
Bổ đề 2 Đối với otomat A € A luôn tổn tại nguồn S € S, sao cho L(S) = L(A)
Chứng mình:
Chứng mỉnh (5) = L(4) tương tự như ở Bổ đề 1