Làm đầy đủ đại số gia tử trên cơ sở bổ sung các phần tử giới hạn. doc

LÀM ĐẦY ĐỦ ĐẠI SỐ GIA TỬ TRÊN CƠ SỞ BỔ SUNG CÁC PHẦN TỬ GIỚI HẠN NGUYEN CAT HO!, NGUYEN VAN LONG?. Trong [1,8,9| các tác giả đã đưa ra phương pháp xây dựng hàm định lượng đại số gia tử

LÀM ĐẦY ĐỦ ĐẠI SỐ GIA TỬ TRÊN CƠ SỞ BỔ SUNG

CÁC PHẦN TỬ GIỚI HẠN NGUYEN CAT HO!, NGUYEN VAN LONG?

! Viện Công nghệ thông tin

?Öại học Giao thông Vận tái Hà Nội

Abstract The notion of quantifying semantic mappings of hedge algebras was introduced and investigated in [1, 8, 9] based on fuzziness measure of linguistic hedges and vague concepts (or terms), which are interpreted as their parameters The construction of these mappings has suggested us be necessary to complete foundation to study fuzziness measure and quantifying sementic mappings more strictly In the paper, we shall introduce additional operations o and ¢@ into refined elements

ơ(z) and (x) a semantics saying that the former is the least upper bound and the latter is the

greatest lower bound of the set LH (x) in the have been completed algebras In order to realize this, additional axioms related to the new operations a and ¢ will be introduced and their several fundamental properties will be established

Tóm tắt Trong [1,8,9| các tác giả đã đưa ra phương pháp xây dựng hàm định lượng đại số gia tử

(PSGT) trén cơ sở định nghĩa các tham số độ đo tính mờ của gia tử và các khái niệm mờ Việc xây

dựng các khái niệm này đã gợi ý cho chúng tôi cần nghiên cứu việc bổ sung các phần tử “giới hạn” vào ĐSŒT với hy vọng rằng sẽ làm cho các khái niệm này có cơ sở toán học chặt chẽ hơn Trong

bài báo này, chúng tôi đưa thêm hai toán tử ø, ó vào đại số gia tử mở rộng của một biến ngôn ngữ với định ý gán cho ơ(z), j() ngữ nghĩa tương ứng với cận trên đúng và cận dưới đúng của tập

LH (x) nhằm bổ sung các phần tử giới hạn và làm đầy đủ miền giá trị của biến ngôn ngữ đó Một

hệ tiên đề cho ơ, ¿ được xây dựng và các tính chất cơ bản của đại số sau khi bổ sung hai toán tử

ơ, @ cũng được khảo sát và chứng minh

1 MỞ ĐẦU VÀ CÁC KHÁI NIỆM

Xét đại số gia tử mở rộng AX = (X,ŒG,EH,<) trong đó X là tập cơ sở, G IA tập các phần tử sinh, W là dàn phân phối các gia tử sinh tự do từ ï qua các phép toán A, V và <

là quan hệ thứ tự bộ phận trên X

Ta biết rằng ULH(z) là tập tất cả các phần tử sinh được từ z nhờ tác động liên tiếp các

toán tử một ngôi trong L/ Nhìn chung ta chưa biết có tổn tại cận trên đúng và cận dưới đúng của tập ⁄//(+) hay không, đặc biệt nếu tập 777(z) là vô hạn thì chắc chắn chúng không

tôn tại trong X Như vậy xuất hiện một nhu cầu tự nhiên giải bài toán làm đầy đủ đại số gia tir AX dé thu duoc dais6 AX = (X,G,LH,o,¢,<) sao cho với mỗi phần tử trong « € X,

tập LEH(») có cận trên đúng và cận dưới đúng trong X

Tuy nhiên động cơ thúc đấy việc bổ sung các phần tử giới hạn như vậy xuất phát từ yêu cầu nghiên cứu ngữ nghĩa định lượng của các khái niệm ngôn ngữ hay các khái niệm mờ

Giả sử AX' là một đại số gia tử mở rộng tuyến tính Khi đó một ánh xạ ƒ: X — |0, 1]

thoả mãn các điều kiện đã nêu trong |9| gọi là một ánh xạ ngữ nghĩa định lượng của AX, hay của biến ngôn ngữ tương ứng Nhờ ánh xạ này chúng ta có thể định nghĩa được khái niệm rất khó xác định và khó lượng hóa trong lý thuyết tập mờ: Tính mờ của một khái niệm

«eX được xác định bởi đường kính của tập ảnh f(LH(x)) va ky hiéu la p(x) Dé thay

sự cần thiết phải bổ sung phần tử cận trên đúng va cận dưới đúng ta hãy xét chẳng hạn hai

phần tử sinh nguyên thuỷ của một biến ngôn ngữ Trong |9| ta phải buộc chấp nhận giả thiết

rằng: ,(đ ) + (ef) =1, với ý nghĩa trực quan được ngầm định nhưng chưa chứng minh là

supremum ƒ(LH(e~)) = in{[imum ƒ(LH(eT)) — m(e~) Giả thiết này cũng bắt nguồn từ một trực cảm là tập f(LH(c_))U f(LH(e*)) trà mật trong đoạn |0,1| (8, 9|)

Cũng giống cách tiếp cận giải quyết vấn đề này trong [2, 4], ta sẽ bổ sung phần tử vào

X bằng cách nhúng AX vào đại số 4X = (X,G,LH,øơ,o,<) với việc thêm hai toán tử một ngôi øơ,@ mà ngữ nghĩa định ý của nó là ø(z) là cận trên đúng của tập EH(œ) và ø(œ) là cận dưới đúng của tập LHŒ)

Trong bài báo này chúng tôi sẽ đưa ra một hệ tiên đề để đảm bảo được ngữ nghĩa mong

muốn của hai toán tử o,@ và nghiên cứu những tính chất cơ bản làm rõ các mối quan hệ thứ tự giữa các phần tử trong tập X Đây là vấn đề quan trọng vì ta nhớ lại rằng theo cách tiếp cận của đại số gia tử, ngữ nghĩa của các khái niệm của một biến ngôn ngữ được biểu thị

qua quan hệ thứ tự của các phần tử

Gia st H 1a tập các gia tử được phân hoạch thành hai tập H* và H~, và các tập

Ht +I va H~+T tao thanh cdc dan modular véi cdc phan tir don vi, hay phan tir lén

nhat, tuwong ttng 1a V,L và toán tử “không”, hay phần tử nhỏ nhất, được chọn là toán tử đồng nhất 7ƒ thoả mãn 7œ =z, với mọi zc X Dat VOS ={V,L}

Để đơn giản hóa việc phát biểu một số tính chất hay trong trình bày ta sử dụng ký hiệu H° để hiểu chung hoặc là H* hoặc là H-

Để dễ tham chiếu, chúng ta nhớ lại một số ký hiệu và khái niệm Giả sử rằng #7“ là

dan modular có độ dài hữu han được phân bậc bởi hàm độ cao Khi đó mỗi #7“ có thể phân thành nhiều lớp dựa theo hàm độ cao và ký hiệu là 77, ở đây ¡¿ chỉ độ phân bậc của lớp Hƒ

Ta thay rang có những chỉ số mà số phần tử của lớp !£ lớn hơn 1, nghĩa là CardHé > 1

Ký hiệu tập các chỉ số ¿ này là S7°, tức là Sĩ° = {¿: CardHỹ > 1} Hơn nữa với mỗi

ie SI°, cdc tap Hƒ,¡,H? ¡ chỉ có một phần tử duy nhất, hay CazdH?,¡ = CardH? - = 1

Gọi LH? là dàn phân phối sinh tự do từ Hÿƒ nhờ các toán tử A,V Ký hiệu LHe =

NC

U LH’, trong dé N° 1a dé cao cia dan LH*, c= {+,-}

i=1

Dat LH =LH'ULH-

Ta biết rằng các toán tt don vi V,L cia Ht +J, H~ +J cing là các toán tử đơn vị

tương ứng trong ĐH ' +1, LH +T

Xét cấu trúc dai so AX = (X,G,LH,<) ứng với một miền trị ngôn ngữ của biến ngôn ngữ Trong cấu trúc này chúng ta có thể biểu thị nhiều tính chất ngữ nghĩa của miền ngôn ngữ Với h,kDH°, ta nói h có tác động ngữ nghĩa yếu hơn k và ký hiệu là h<k nếu

œ < hœ <S ka hoặc œ& > ha > kz, Vœec X Hai gia tử h và k được gọi là ngược nhau nếu:

hz <z khi và chỉ khi kz>z Hai gia tử h,k là tương thích nếu: hz<z khi và chỉ khi

kz <z với mọi œc X Nếu zœ< hz kéo theo hœ< khz và œ> hz kéo theo ha > khx

với mọi œc X thì k được gọi là posiioe đối với h Nếu œ< hz kéo theo h& > khœ và

a >ha kéo theo hœ< khœ với mọi z€ X thì k được gọi là negafioe đối với h Đối với

h, ke H, ta nói rằng: ha << kz nếu Vmy øC N, VI, kcUOS ta có: V?*hhhg < Vk kx

Ví dụ, ta có thể kiểm chứng trong ngôn ngữ tự nhiên để thấy rằng gia tử “gần” trong “gần đúng” có hiệu quả tác động yếu hơn gia tử “ít” trong “ít đúng” Gia tử “ít” và “gần” có

hiệu quả tác động luôn luôn ngược với gia tử “rất”, nhưng gia tử “ít” và “gần” lại tương

thích với nhau Còn gia tử “rất” là positive đối với “ít” và đối với chính nó, nhưng negative đối với “gần”

Biểu thức h„ hịu được gọi là biểu diễn chuẩn tắc của z đối với wu nếu œ= hạ hịu

và, hạị hịu sa hy_-1 hyu, Vie N, mà ¿ <n.

Trong [7, 10] đã phát triển một hệ tiên đề và nghiên cứu các tính chất phong phú của

dai s6 gia th AX = (X,G,LH,<) Để thuận tiện chúng ta nhắc lại một số tính chất sẽ tham khảo đến sau này

Mệnh đề 1.1

(i) Vk © LH, tén tai cdc todn tu don vi h~ tà hỲ sao cho h— la negative va ht la

possiliue đối uới h sao cho moi hy, ,hn © LH, « € X, ta cé cde bat dang thúc sau đây:

Vh— ha < hạ hị ha V" ht he, nếu ha > &

V"hTba < hụạ hị ha < VỨ*“h ha, nếu ha < œ

() Đối oới mợi he LH°, có tổn tại ocUOS sao cho véi moi hy, ,hn € LH va moi

hy hyha < V"or (hodc hy hyha > V"ox)

Ménh dé 1.2

(i) Tinh chat tinh tién: D6i vi moi we X, néu ha<ka va h, k thuộc ào cùng một

tập LHƒ, thì uới mọi ðcC LH*, ta có bất dăng thúc sau:

Šhœ& < ôka,

oà mọi phần tử uc LH(ha), oới u # Šhz, đều không sánh được tới kx, vd moi phan tu

ve LH(kx), ouới o2 ð'kxz đều không sánh được ới Šha

() Đối uới mỗi œ€ Ä, nếu hœ< kẽ tà h, k thuộc bào hai lập LHƒ va LHe khác

nhau, thì uới mọi ð, ð C LH*, ta có bất dăng thúc sau:

ôha& < ð ka

(1) Đặc biệt nếu một trơng hai gia te h va k là toán tú đồng nhất T thì La có

dha<a, v6i k=1 (dodé LH(kx) <x),

va xax<dka, vi h=I (oà do dó LH(ka) 3 x)

Mệnh đề 1.3

Giá sử œ& c X, h, k thuộc uào cùng một tập LH Khi đó:

(i) (Prop 3.2, [7]) Voi moi 6€ LH*, dha là điểm bất dộng khi tà chỉ khi ðkz là diểm bất động

(H) Như là một hệ quả của Mệnh đề 3.2 va 3.4 trong [7], hai tap LH (hu) va LH (ku)

la dang cé&u trong phạm trù các tập sắp thú tự một phần uới ánh xạ đẳng cấu f : dhu —

Sku, 6 € LH*

2 TIEN DE HOA DAI SO GIA TU’ MO RONG, DAY DU

Xét một cấu trúc đại số AX = (X,G,LH,,<) như đã đề cập ở trên voi LH = LHU{¢, o},

nghĩa là tập các toán tử được bổ xung thêm hai toán tử mới ¿ và ơ Như đã trình bày ở

trên, ta ký hiệu Ư@S = {V,L} là tập các toán tử đơn vị tương ứng cla LHt va EH~ Để

cho dé hiểu, các phần tử trong UOS được ký hiệu là ø hay ø với chỉ số (nếu cần) Vì

G là tập các phần tử sinh (generators) nên ta có LH,(ŒG) = X Ký hiệu Lim(X) là tập tất

cả các phần tử “giới hạn” của L”H(G), nghĩa la Lim(X) = X\LH(G) Sau nay ta sẽ chứng

tỏ rằng các phần tử trong Lim(X) có dạng @w hoặc ơu với uc LH(G)

Bay giờ ta sẽ đưa ra một cách tiên đề hóa đại số gia tử mở rộng đầy đủ (complete hedge algebra)

Định nghĩa 2.1 Cấu trúc đại số AX = (X,G,LEH,<) được gọi là đại số gia tử mở rộng day di néu (LH(G),G,LH,<) là đại số gia tử và 4X thoả mãn những tiên đề sau:

(L1) Đối với zœc X vamoi he LH, bx < hà < ơz

(L2) Đối với mọi z€X và mọi o< UOS,

ox <dox va cox <ox

Hon nữa, với mọi k, k’, hk’, hE LH tacé koa <k'goxw va h'cox < how

(L3) Néu véi moi 2’ € LH(x), tacé a! < 2, thh ox < z, v6i 2 € X Ngwoc lại nếu với

moi 2 € LH(x),tacd 2’ >2, thi dr>2, voi zE€X

(L4) Nếu hk 1a phan ti atom trong H° (ttre la phan tu nhỏ nhất trong dan H°), thi

ha<a kéotheo chx=2

va hx >a kéo theo dha =z

(L5) Đối với mọi h,k mà he LHƒ, ke LH?,¡ nếu dx, ox € Lim(X), hay ¢2,ox ¢ LH(@), thì

ha<ka kéo theo chx = oka,

va ha > kaz kéo theo dh& — ơkz

Để dễ theo dõi, chúng ta nêu lên một số cách hiểu trực giác của một số tiên đề trên Tiên đề (L1) theo một nghĩa nào đó thể hiện rằng o, ¿ có hiệu quả tác động mạnh hơn bất kỳ toán tử nào khác trong LH

Vi gx <ow và ow < ox, nén tién dé (L2) phản ánh tính kế thừa ngữ nghĩa của hai toán

tử mới ø và ó

Tiên đề (L3) cho ta một cảm nhận như sau: Theo tiên đề (L1) ox đã là cận trên của LH(œ), kết hợp tiên đề (L3) với (L2) cho ta cảm nhận øz là cận trên bé nhất cla LH(2) Hai tiên đề (L4) và (L5) thể hiện một trực cảm về một tính chất tôpô quan trọng là tập LH(G) phải trù mật trong miền giá trị ngôn ngữ X, vì chăng hạn nếu trong (L5)

ta thay đẳng thức bằng øhœ < ¿kz mà theo ngữ nghĩa mong muốn điều nay có nghĩa a= supremumLH (he) <ifnimumLH (kx) =b va do dé gitta a va b sẽ không có một khái niệm ngôn ngữ nào nằm giữa Về trực quan điền này không thể chấp nhận

3 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN

Định lý 3.1 Giá sứ AX =(X,G,LH°,<) là dại số gia tứ mở rộng đầu dúủ Khi đó với

mot «eX, taco:

(i) j € € ơa

(ii) ơz = supremưmmLH(w); ¿# =infimuwmLH(x)

Điều này cĩ nghĩa là với moi x ¢ X, tap LHf(z) cĩ cận trên đúng và cận dưới đúng trong

X và chúng tương ứng chính là hai phan ti ox va ¿z

Chitng minh

(i) Do h bat k¥ nén trong tién dé (L1) ta cd thé chon h sao cho a < hz Khi đĩ,

a<he<ox vado dé x«< oz Bang lap luan tong tu ta cing 66 ga < a

(ii) Truée hét ta chttng minh bat dang thức Uf(z) < ơz, nghĩa là với bất kỳ c EHŒ),

ta cd y<om

Thật vậy, trong truong hop y= 2, theo két luan (i) vừa chứng mình ta cĩ y= 2 < ow Trong trường hợp +, nghia la y= dha, ta xét hai khả năng sau:

Truong hop 1: he < x Khi dé theo Ménh dé 1.2(iii), ta luon cĩ LH (hx) < x, va do đĩ kết hop véi ménh dé (i) & trén, ta thu duoc z < z < øz, với mọi y € LH(hz)

Trường hợp 2: hz > x Giả sử ụ được viết lại dưới dạng „ — hạ hịhz Theo Mệnh đề 1.14)

ta cĩ — hụ hịhœ: < V"h*zx Mặt khác áp dụng tiên đề (L2) với o—= hỲ, ta cĩ ơz > ơhTz

và áp dụng liên tiếp øœ lần tiên đề (L2) đối với phần tử ở vế phải của bất dang thức thu

được với o=W, ta thu được:

ch'xz>ơVhTx> >ơV"hTa

Do đĩ theo khang dinh (i) da chttng minh ta suy ra ow > V"hta > y, Vy € LH (hx) Nhu vậy ta đã chứng minh duoc rang: LH(x) < ox Theo tién dé (L3) véi z > LH(x) thi z> ox nên (i1) đã được chứng mỉnh cho tốn tử ø

Đẳng thức đối với ¿ trong (ii) được chứng mỉnh hồn tồn tương tự "

Định lý 3.2

() Nếu + là điểm bất động của he LH_ thì nĩ cũng là điểm bất dộng của ơ tà va

do đĩ ta cĩ thể sử dụng thuật ngữ điểm bất động chung mà khơng cần nĩi của tốn tử nào

(ii) Voi moi x € Lim(X), « là điểm bất động

Chitng minh

() Do z la diém bat dong cia h © LH nén né cing la diém bat động của mọi k€ LH

Vì vậy LH(x) = {x} và do đĩ, theo Định lý 3.1, ta cĩ ¢x = infimumLH(a) = « va

ox = supremumLH (x) = x, nghia là (1) của Định lý 3.2 được chứng minh

(đ) Trước hết ta xét trường hợp z€ Lim(X) vacé dang x=ou hodic x= du với

u€LH(G) Vì trường hop «= ¢u duoc ching minh tuong tu nén ta chi chttng minh cho

truéng hop x=ocu Chon h€ LH sao cho «> hx =hou Ap dung tiên đề (L2) đối với h

va h’, vGi h’ duoc chon sao cho h'cou > cou, ta thu duoc x > hơu > hiơơu > ơou

Mặt khác, cũng theo Tiên đề (L2) với z—òw và o= V, tạ cĩ cou >oVou va ap dụng liên tiếp (L2) đối với phần tử trong vế phải của bất dang thức vừa thu được cũng với

o=V, ta thu được:

cou >aVou> >aV"ou, VneN va Voc UOS

Lấy phần tử bất kỳ = hạ hịu € EH(u), sẽ thoả mãn bất đẳng thức sau:

1 —= hựn hịu VV" thi.

Kết hợp với các kết quả thu được ở trên, ta thấy < cou < hou <a, Vy € LH(u) Theo (L3), điều này chứng tỏ œz= ơu < hơu <z Vậy h&==z, hay œ là điểm bất động

Ta xét trường hợp còn lại Vì z c LimX, z phải có dạng ø = kạ kịa với œ€ Œ

(vì L”H°(Œ) = X), trong đó có ít nhất có một k; € {o, ¢} Goi 7 là chỉ số nhỏ nhất sao

cho k; € {o, ó} Để đỉnh ý cho chứng mình ta giả sử k; = ¢ Theo chitng minh trên thì

@k;j 1 ịa = du, 6 day u = k; + kịa, là điểm bất động, và do đó, theo mệnh đề (ï) của

định lý, ta có thể suy ra z = k„ k;;ióu cũng là điểm bất động và z = gu

Như vậy ta da chttng minh duoc rang Va € LimX đều là điểm bất động va cé dang ou

Dinh ly 3.3 Poi voi moi y € LH (x), x EX, ta có:

oy<oxn va dụ > @z

Chitng minh

Xét phần tử bat ky y € LH(a) Khidé y biéu dién duoc dưới dạng y = dx, trong dé 46

là một dãy các toán tử trong LH Lấy một phần tử bất kỳ y/ ¢ LH(y), tức là y/ ¢ LH(6z2)

Khi đó có dạng '= ởỏz, nghĩa là g' c LH(z) Điều này ching t6 LH(y) C LH(), do

đó ta có:

supremumLH(y) < supremumLH (a), infimumLH (y) > infimumLH (2)

Theo Dinh lý 1.1, ta có kết luận cy < ox va dy > ox " Định lý 3.4 Giá sử +, y có biểu diễn dưới dạng œ — ôhu, — yku, voi u © X, 6, y © LH* (lập các sâu gia tử) va h © LHS, kc LHỆ, uới ¿< j Khi đó

hu S ku kéo theo ơa < cụ

Chitng minh

Giả sử he LHƒ, kcLH?, voi i<j Theo Mệnh đề 1.2, từ bất đẳng thức hu < ku, ta suy ra:

ổ hu <+ ku, với mọi xâu 5, y €LH* (3.1)

Hãy xét hai giá trị x’ va y bat ky, a! ¢ LH(a), c LH() Vậy chúng phải có dạng

a! = ð ôhu, ' —= +'yku Theo bất đẳng thức (3-1) ta có z! < ự, với Vø'c€ LH(z), do đó oa<y, Vy © LH(y) Tr day, theo Dinh ly 2.1, ta lai suy ra ox < infimumLH(y) = dy Vay

ox < dy Day là điều cần phải chứng minh

Định lý 3.5 Nếu tập LH(x), voi œ C X, là hữu hạn thì ơx, ¿mac LH()

Chitng minh

Gia str ht, hị tương ứng là toán tử đơn vị có tính chat positive, negative doi véi h Ta

biết rằng mỗi phần tử zc LH(x) đều có một biểu diễn chuẩn tắc đưy nhất đối với a, nghĩa

la z= hyphp_1 hix, thoa man hjhy_y hyx sa hạ 1 hịa, với mol ail < a < p Do LH (2) hữu

hạn nên các biểu diễn chuẩn tắc của các phần tử trong LH(x) cũng hữu hạn và do đó tồn

tại một phần tử z” có biểu diễn chuẩn tác là z! = hạ hịz, với chỉ số p' là lớn nhất

Ta sẽ chứng minh rằng với moi z € LH(z), ta cé:

VO hyphae <2< VP! Athi với hịm> 3 3.2)

VO ht has2< VP hp ba voi basa

Xét phan tu bat ky 2 € LA(x) Gia sit biéu dién chuan tac cla z cé6 dang z= hyp hia Theo (i), Ménh dé 1.1, vado p <p’, nên ta có

VO hy hia < VPhị hịa <2 =hy kya< Vb ha < VP hyphae, néu haw >a,

VO ht hia < VPARP ha <2 =hy kya S VPhị hịy <S VỀ hị hịz, nếu hye < a

Đây chính là các bất đẳng thức trong (3.2) và chúng chứng tỏ rằng:

SupremumLH (x) = VP ht hie,

InfimumLH (x) = V" hy hia, nếu hịz > x hoặc là

SupremumLH (x) = V" hy hye,

InfimumLH (x) = V" ht hia, nếu hya <2

Theo Dinh ly 2.1 ta cé khang dinh ox, dx € LH(z) " Dinh ly 3.6 Voi moi xe X 0à mọi h, kc LHỆ mà ơha @ LH(hz) va oka ý LH(kz),

ta có dăng thúc:

ohx = oka;

Một phát biểu tương tự đối uới toán tử & cting diing va ta co:

oha = oka

Ching minh Ta chttng minh dinh ly cho tirng truong hop

a) Truong hop x < hx: Vi h, k LHƒ, nên theo tính tương thích của kh, k, ta có a<he va «a<ka Vi h#Ak nén ic SI va theo tính chất dàn đã nêu ở phần mở đầu,

LHƑ ¡ chỉ có một phần tử duy nhất và được kí hiệu là ¡ Khi đó với mọi k, h € LH®, ta cé

k<l, h<l và vì vậy ha < lz, kz < lx Theo tiên đề (L4) ta có che = ¢lx va okx = dle

Từ đó ta thu được chx = ckz

b) Trường hợp z>hz: Do LH? có ít nhất 2 phần tử, bZk,nên EHÿ , chỉ có duy nhất một phần tử, kí hiệu là !, và !< k, 1< h VÀ z> hz, và do đó œ > kz, nên Ix > kx

va lx > hx Theo Tién dé (L4) ta phải có ơkz = dla va che = glx Vay, oka = cha

Nhu vay ta da chttng minh dinh lý đúng đối với toán tử øơ Trường hợp đối với toán tử

ở sẽ được chứng minh tương tự và do đó định lý được hoàn toàn chứng minh " Định lý 3.7 Gid st x= yhu, voi we X, he LH° va cau y € LH* Khi đó ta có các khang dinh sau:

hu>u kéotheo ¢x>u, va

hu Su kéo theo ox<u.

Ching minh Ta cing chttng minh dinh ly theo trường hợp

a) Trường hợp hu > wu: Theo tinh chất của đại số gia tử nêu trong Mệnh đề 1.2, ta có

LH(hu) >u VÀ vậy, với mọi xâu + € LH", yhu c LH(hu) và do đó V'hu >u

Xét giá trị bất kỳ z€ LH(@hu) Khi đó z' có dạng z' = ổyhu, nên z >u Điều này

chitng té infimumLH(yhu) >u hay óz 3 uy theo Định lý 3.1

b) Truong hop hu < 1u: Xét giá trị bất kỳ z'€ LH(z) = LH(@hu) Khi đó z! có dạng a! = dyhu Vay nén, theo Ménh dé 1.2, 2 <u, Va! € LH(x) Diéu này cho ta khẳng định

supremumLH (x) <u, hay ow <u Day là điều cần chứng minh "

Định lý 3.8 (Tính chất “tỉnh tiến” với sự có mặt của o và ó) Giá sử h, k LH, bà

a= dhu, y — ðku Khả đó bất đăng thức hu <ku kéo theo ox<oy va da < oy

Chitng minh

Vi hu < ku, theo Mệnh đề 1.2(1), ta có ở hu < ổ'ku, với mọi xâu gia tử ở' Xét zc LH(}) bất kỳ, z có dạng biểu diễn z = +ổhu và theo trên ta suy ra z = +ổhu < +ổku c LH() Theo Định lý 3.1 ta có z<øy, Vze€ LH(x) Do dé, tt Tiên đề (L3), ta thu duoc ox < oy Một cách đối ngẫu ta có thé chitng minh duoc rang dx < oy :

Bổ đề 3.1 Với mợi +zc LH(G),

ox = supremum{V"oa: 0 €UOS, ox > a, n=1,2, } va

gu = infimum{V"oa: 0 CUOS, ow <x, n=1,2, }, Luu yrang V_ la positive d6i véi cả hai todn tu don vi trong UOS

Chứng minh Có thể thấy bố đề dễ dàng suy ra tir Ménh dé 1.1(i) va Dinh ly 3.1 "

Bổ đề 3.2 Giá sử bị, kế LH, œ —öhịu sò y—öku Khi đó, LH) là hữu hạn khí 0à chế khi LH(w) là hữu hạn Hay một cách tương dương, ox ¢ LH(x) khi va chi khi

oy ¢ LH(y)

Chúng mãnh Bổ đề là hệ quả của trực tiếp của Mệnh đề 1.3 "

Bổ đề 3.3 Giá sử bị, kc LH, bà — ôh-u, —ồku bà hịu < ku Khi dé néu ox F oy,

thi ton tai z € LH(h,u) sao cho ơa < z Hơn nữa ta có thể tìm được z trong các phần tử như Đậu sao cho hoặc ơa — z, hoặc ou = gz

Chứng mành Giả sử 6 = hyhp-1 ho Cd hai kha nang:

1) Cé ton tai 7 > 2 saocho hy AV vagid sir rang 7 là chỉ số lớn nhất trong các chỉ

số như vậy

a) Xét trường hợp Vh;z() < h;z(7), trong đó ta ký hiệu ø(7) là khúc hậu tố độ dài 7

trong biểu diễn của œ đối với ,, œ = hghạ, +1 hịu Vậy œ = VP?hy hịu VÌ V_ positive

với chính V, nên ta có œ = Vz{(p) < z(p) = hạ \ hịu Giả sử VỀ € LH Khi đó có tổn tại

kéLH,, và do đó Vz(p) < kz(p) Theo Tiên đề (L5), ta có øơVz() = jkz() Vậy z = kz()

thoả mãn bổ đề

b) Xét trường hợp Vh¿zŒ) > h¿x(7) Khi đó, do W positive với chính W, nên theo Bổ

đề 3.1 ta suy ra ox =oVhjx(j) = ơh¿;x()

+ Giả sử h¿ c LH Do vậy hạ <V và có tổn tại k;c LHj, và khiđó h0) < k;x0)

Theo Tiên đề (L5), ơh;zÚ) = ók;z() = ơz Vậy có thể chọn z = k;z()

+ Gia st hj; Ạ LH; Néu hj = L, thido V_ 1a positive doi véi hj, ta suy ra

a(j) < hyx(j) < VAjx(7), vàcũng theo Bổ đề 3.1, ơz =Ở= ơh;x(7) Ta xét đến hƯ ¡,

Nếu hj; =L negative đối với hạn, thì h; 1z Ở 1) < h;h; 1# Ở 1) < xj Ở 1) khi

đó luôn tổn tại k; ¡ Ạ EHƯ/; (lưu ý rằng với ƯỞ1= 0, LH = {T và ằla(jỞ1) =

zỂ Ở 1)) và ta có hƯ ti) < k;_¡x0 Ở 1) Kết hợp Bổ đề 3.1 với Tiên đề (L5), ta suy ra

ơh;_ 1# Ở 1) = ơLhƯ;_ 1# Ở L) = ơz = jk;_ ¡#7 Ở 1)

Nếu h;= là positive đối với h;_¡, thì zỂỞ1) < hj_izỂ@Ở1) < bhƯ ¡z@Ở1) VÀ D là negative đối với L, nên h; ¡ZÙ và khi đó luôn tổn tại k; ¡cẠ LH,,, Vậy hý ¡zỂỞ 1) <

k;_1#( Ở 1) và tương tự như trên ta có ụh;_1#(7 TỞ 1) = ơkh;_ 1# Ở L) = ơz = jk;_ 1# Ở 1) Bay giờ ta cần chứng minh cho trường hợp hƯ # L Ro rang la hƯ 4 I, do đó trong mọi trường hợp luôn luôn tôn tại k; thuộc lớp phân bậc kế cận của LH; , sao cho h;zỂ) <S k;x() Vì Vh;x) > h;xỂ) nên suy luận tương tự như trên ta thu được ụz = ók;+0)

2) Xét trường hợp ngược lại, tức là h; =W_ với mọi chỉ số 7 >2 và Ủ = V?-!hqu,

Nếu WVhịu > hịu, thì theo Bo dé 3.1, o# = och u Theo Bo đề 3.2, néu LH (h,u) 1a v6 han

thi LH(ku) citing vay, va do dé ụh+u = ơku = ơVP~Ẩku = oy, mau thuan véi gia thiét Vay

LH(h,u) là hữu hạn và do đó theo Bổ đề 3.1, có tôn tại một ụ sao cho chu = Voh,u, tức là có thể chọn z = WVỢohiu

Nếu Vhịu < hịu thì ỦỞ= VP~!hịju = Vzxf) < zx(p) Lập luận tương tự như trường hợp

a) ở trên, ta thu được ụVz(p) = ókz(0)

Định lý 3.9 Giá sử h, k LH, oà x=dhw, y=dskw va hw < kw Khắ đó nếu ơa # by, thi voi moi v Ạ LH(kw), ma v 4 oy, la có 0 tà ơa không sánh được, va voi moi uéẠLH(hw), ma udgox, tacd u va oy cũng không sánh được

Một phát biểu tương tự cho toán tử ằ cũng đúng, nghĩa là nếu ằa ầ ụụ, thì với mọi vẠ LH(kw), ma v # dy, tacd v va ằx không sánh được, và với mọi uẠ EĐH(hu), mà t4 jz, La có u va dy cũng không sánh được

Chitng minh

Theo Dinh ly 3.8, tacé ox < oy Lay mot phan tử bat ky v ằ LH(kw), ma v # oy, v sé

có dạng = ở 'ku Ta giả sử phản chứng là ụz và Ủ là sánh được Khi đó có ba khả năng

Mot la ox > v Theo Bo đề 3.3, có ton tai z ằ LH(hw) sao cho z>ox vadodd z>v Nếu z< đ'hụ thì ơz < z< ởku Ở=Ừ và ta gặp mâu thuẫn Vậy z # hư Nhưng theo Mệnh đề 1.2(1), ta có ổ'h < ở'kw và một phần tử z như trên sẽ không sánh được với ụ

Ta gặp mâu thuẫn Như vậy khả năng ơz >ụ không thể xảy ra

Hai là ơz < ụ Trường hop 1: Jz Ạ LH(y), v < 2 Gia sit z = 6'dkw Theo Mệnh đề 1.20)

ta có d'Ỗéhw < d'ékw va Ủ không sánh được với z Điều này mâu thuẫn với 6/dhw < ow < 0

Trường hợp 2: Vz Ạ LH(y), z < ụ Theo (L3), oy < 9Ừ, mâu thuẫn với giả thiết đối với

ụ Trường hợp 3: 3z = ởổku Ạ LH(w), z và v không sánh được Theo Mệnh đề 1.2 (¡),

d'dhw < d'dkw và Ủ không sánh được với ở'ổh, mâu thuẫn với éỖdhw < ox < v

Như vậy cả hai khả năng trên đều dẫn đến mâu thuẫn, do đó ụz và v không sánh

được với nhau

Bãy giờ ta chứng mình cho trường hợp uằẠ LA(hw), ma u ặ ơz Khi đó u ặ ởđỏhu,

với phần tử bất kỳ ở 'đỏhỦ c LH(x) Theo Mệnh đề 1.2(1) ta có dỖéhw < đ'ổkeo và + không

sánh được với đ'ôku VÌ vậy u # ơu > ởôku

Giả sử phản chứng là u < oy Xét z ằ LH(hw) ma ow < z Nếu u<z, với mọi z như

vậy, thì theo Bổ đề 3.3, có tổn tại z/ sao cho u < ởjz! = ụơz Ta gặp mâu thuẫn với giả thiết

đối với u Do vay cé ton tai mot z= yhw € LH(hw) sao cho u # z Theo Mệnh đề 1.24),

+yhau S yku và + không sánh được với +ku VÌ øơ, ¿ được xác định chỉ bởi quan hệ thứ tự

nên dựa trên Mệnh đề 1.3(1), từ øz < yhw, ta suy ra oy < yku Vậy ta lại có w < ykw

và ta gặp mâu thuẫn

[1]

I2]

REFERENCES Nguyen Hai Chau, Some problems in designing a spesific computer network and network chains problem with fuzzy reasoning technique, Dr Dissertations (in Vietnamese) Nguyen Cat Ho, Fuzziness in Structure of Linguistic Truth Values: A Foundation for Development of Fuzzy Reasoning, Proc of ISMVE 87, Boston, USA, IEEE Computer Society Press, New York, 1987, 326-335

N Cat Ho and W Wechler, Hedge algebras: an algebraic approach to structures of sets

of linguistic domains of linguistic truth variable, Fuzzy Sets and Systems, 35 (3) (1990),

281-293

N Cat Ho and W Wechler, Extended hedge algebras and their application to Fuzzy logic

Fuzzy Sets and Systems, 52 (1992), 259-281

Nguyen Cat Ho, Tran Thai Son, On distance between values of linguistic variable based

on the structure of hedge algebras Journal of Informatics and Cybernetics, 11 (1 ) (1995) (in Vietnamese)

Nguyen Cat Ho, Huynh Van Nam, Symmetrical RHA and its application to fuzzy logic,

Proc of the NCST of Vietnam, 10 (2) (1998), 9-20

N Cat Ho and H Van Nam, A theory of refinement structure of hedge algebras and its application to linguistic-valued fuzzy logic In D Niwinski & M Zawadowski (Eds), Logic, Algebra and Computer Science, Banach Center Publications (PWN - Polish Scientific

Publishers ), 46, (1999)

Nguyen Cat Ho, Huynh Van Nam, Ordered Structure-Based Semantics of Linguistic Terms

of Linguistic Variables and Approximate Reasoning, AIP conference proceedings on Com- puting Anticipatory Systems, CASYS 99 Third International Conference, (98-116) Nguyen Cat Ho, Huynh Van Nam, T.D Khang and L.H Chau, Hedge Algebras, Linguistic- valued Logic and their Application to Fuzzy Reasoning, Inter J of Uncertainty, Fuzziness

and Knowledge-Based System, 7 (4) (1999), 347-361

Nguyen Cat Ho, Huynh Van Nam, Towards an Algebraic Foundation for a Zadeh Fuzzy

Logic, Fuzzy Set and System, 129 (2002), 229-254

Nguyen Cat Ho, T.T Son, T.D Khang, L.X Viet, Fuzziness Measure, Quantified Se- mantic Mapping And Interpolative Method of Approximate Reasoning in Medical Expert

Systems, Tap chi Tin hoc va Diéu khién hoc, 18 (3) (2002), 237-252

Nhận bài ngày 02- 11 - 2002