CHỦ ĐỀ NHỊ THỨC NIU-TƠN

- Các hệ số của mỗi cặp hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối đều bằng nhau... Vậy không có giá trị n thỏa mãn... Số hạng không chứa x trong khai triển... k 2Theo chiều mũ của x giảm

- Các hệ số của mỗi cặp hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối đều bằng nhau

- Các công thức lũy thừa thường dùng:   .

II HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA

 Dạng 1 Tìm hệ số, số hạng trong khai triển không có điều kiện

- Bước 2: Dựa vào giả thiết yêu cầu tìm hệ số của x , giải phương trình m m f k  k

- Bước 3: Thay vào biểu thức của T và kết luận

Ví dụ 1 Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển  9

3 ?

xLời giải:

Trang 2

Ta có  9 9  9

9 1

?x

4

1

?x

  

Vậy số hạng không chứa x bằng: 8

12 495

C 

Ví dụ 8 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

15 3

2

2

?x

  

Vậy số hạng không chứa x bằng: 15 6 6

15

2 .C 2562560

Ví dụ 9 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

10 2

3

1

?x

  

Vậy số hạng không chứa x bằng: 6

10 210

C 

Ví dụ 10 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

10 5 5

k

kk

- Bước 1: Tìm n dựa vào điều kiện đề bài cho

- Bước 2: Quy về dạng 1 đã biết

Ví dụ 1 Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển  9

3 ?

xLời giải:

Ta có  9 9  9

9 1

 

  

Vậy số hạng chứa x2 bằng: 2

 

  

Vậy số hạng không chứa x bằng: 3

3 2

3 n.x

Trang 7

dương thỏa mãn hệ thức An3Cn18Cn249

Lời giải +) Điều kiện: n 3



  biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn 1  

Ví dụ 7: Với mọi số nguyên dương n, khai triển nhị thức 1

Trang 9

Khi đó, 10 10   10 3 10

2 10 0

3

i

i i ii

Trang 10

Vậy hệ số của x9 trong khai triển là: T   3 kC18 k ứng với k    9 T 3938220 3

Ví dụ 14 Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển

3

2 25

n

nx

32

n

xx

  thành đa thức, biết n là số nguyên dương thỏa mãn hệ thức 6 7 8 9 8

- Bước 2: Dựa vào chỉ số mũ của x để biện luận tìm i và k

- Bước 3: Kết luận về hệ số của số hạng cần tìm

Ví dụ 1 Tìm hệ số của x6 trong khai triển 2  7

7 7 56

C C 

ki

k k

+) Cho 30 3 k i  4 3k i 26 ta có các cặp (i; k) thỏa mãn là: (1;9), (4;10)

+) Vậy hệ số của x4 trong khai triển là: 9 1    1 1 10 4    4 0

10 9 1 3 10 10 1 3 480

Vậy không có giá trị n thỏa mãn

Ví dụ 11 Tìm hệ số của x8 trong khai triển  28

Hệ số của số hạng chứa x21 trong khai triển là: -3640

Ví dụ 2 Tìm hệ số của x20 trong khai triển nhị thức Newton biểu thức   2

Ứng với hệ số của số hạng chứa x26 ta có: 70 11 k 26  k 4

Vậy hệ số của số hạng chứa x26 là 4

10

C

Ví dụ 8 Tìm hệ số của x5 trong khai triển biểu thức  23

1 2 x4x n biết n là số nguyên dương thỏa mãn

2014 2014 2014 2014 2 n 1

Lời giải Xét khai triển

  biết rằng

8 .31 8 .32 37908

C C  C C  BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1 Tìm số hạng chứa x7 trong khai triển

13

1 .x

Trang 20

Câu 2 Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển

9

1.2

xx

xx

xy

Câu 6 Tìm số hạng chứa x3y trong khai triển

5

1.xyy

12xx

Trang 21

Câu 14: Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển

18

42

xx

Câu 19: Khai triển đa thức    2017

P x  2x1 ta được   1000 999

1000 999 1 0

P x A x A x  A x A Mệnh đề nào sau đây đứng?

1 x nx

Câu 31: Tìm hệ số của x9 trong khai triển  2

1 3x n, biết n là số nguyên dương thỏa mãn

Câu 32: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

2 3

32

n

xx

3 1

x x bằng

9.2

9.2 C

Câu 42: Hệ số của số hạng chứa x7 trong khai triển nhị thức

12

2x

Câu 46: Cho x là số thực dương, tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức

30

2.x

12xx

1x n bằng 64 Số hạng không chứa x trong khai triển

3 2

12

4

1xx

Trang 25

Câu 54: Gọi a là hệ số của

5 3

x trong khai triển

32Câu 57: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn Cn2C1n 44 Số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức 14 ,

Câu 61: Cho khai triển   6

1ax 1 3 x với a Biết rằng hệ số của x 3 trong khai triển trên là 405 Tính a

Câu 62: Tổng các hệ số trong khai triển  3

1x n bằng 64 Số hạng không chứa x trong khai triển

6 6 10 10

8 8 10 10

3 C Câu 81: Cho khai triển  2019 2 2019

3x a a x a x   a x Hãy tính tổng S a 0a2a4  a6 a2016a2018

A  1009

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN

Suy ra khai triển  3 21

x xy có 22 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số hạng thứ 11 (ứng với 10

n n

1 xx

Cho 5k10 0   ta được số hạng không chứa x trong khai triển k 2

Theo chiều mũ của x giảm dần thì đây là số hàng thứ 4 Chọn C

Câu 36: Số hạng tổng quát khai triển là C20 k 2 xk C20 k 2   k xk

x xx

3xx

Số hạng không chứa x tương ứng với 6 3 k   0 k 2.

Số hạng không chứa x trong khai triển là 2 4

1.4 240

Suy ra số hạng x5 trong khai triển P là 80x53240x53320 x5 Chọn C

Câu 65: Số hạng chứa x5 trong khai triển  6

Cho 2i k 10 với ,k i,0k i, 5 ta được        k i;  0;5 ; 2; 4 ; 4;3

Suy ra hệ số của x10 trong khai triển là: 0 5 2 4 4 3

Chọn i, k sao cho k 2i 5 ,i k ta được         k i; 1;2 ; 3;1 ; 5;0 

Suy ra hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển là 1 2 3 1 5 0

Chọn i, k sao cho 2k i  và 8 i k i k ;  ta được       k i;  4;0 ; 3; 2 

Suy ra hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển thành đa thức đã cho là:

Chọn i, k sao cho 3k i  và 8 i k 8 ;i k ta được       k i;  3;1 ; 4;4 

Số hạng không chứa x trong khai triển là 3  3 1 4  4 4

Chọn i, k sao cho 4i k  và 5 0  i k 6 ;i k ta được     k i;  3; 2 

Suy ra hệ số của x5 trong khai triển là 3 2 3

6 .23 480

C C  Chọn D

Chọn i, k sao cho i k  và 5 0  i k 10 ,i k ta được        k i;  5;0 ; 4;1 ; 3;2 

Suy ra hệ số của x5 trong khai triển là 5 0 5 0 4 1 3 1 3 2 1 2

Chọn i, k sao cho i k  và 4 0  i k 10 ,i k ta được        k i;  4;0 ; 3;1 ; 2; 2 

Suy ra hệ số của x5 trong khai triển là 4 0 4 0 3 1 2 1 2 2 0 2