Tìm số nguyên dương n biết rằng:.. Một trường có 50 học sinh giỏi, trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi.. Cần chọn ra 3 học sinh trong số 50 học sinh để tham gia trại hè.. Tính xác suất để
Trang 1TRƯỜNG THPT ĐÔNG HÀ
TỔ TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11
NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn: TOÁN
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 15 /4/2021
Câu 1 (5,0 điểm)
1 Tìm số nguyên dương n biết rằng:
2 Một trường có 50 học sinh giỏi, trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi Cần chọn ra 3 học
sinh trong số 50 học sinh để tham gia trại hè Tính xác suất để 3 em được chọn không
có cặp anh em sinh đôi
Câu 2 (2,0 điểm) Giải phương trình 2
2 2 1
x x
x
Câu 3 (5,0 điểm)
1 Cho ba số a>0, b>0, c> thỏa mãn 0 a2+ +b2 c2 = Chứng minh rằng 3
3 2
b + + c + + a + ³
2 Chứng minh dãy số ( )u n
n
u
n
là một dãy số tăng và bị chặn
Câu 4 (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = 1+x2+y2+2y+ 9+x2+y2- 6y
trong đó x y là các số thực thỏa mãn , 2 1
y
x = +
Câu 5 (6,0 điểm).
1 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a AD , 2 ,a
SA ABCD và SA = , M là trung điểm của CD a
a) Tính góc giữa SM và mp( SAB )
b) Tính theo a khoảng cách từ A đến mp ( SBM)
2 Cho M N P, , lần lượt là trung điểm của ba cạnh BC CA AB, , của ABC Gọi H G O, , lần lượt là trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, I
là tâm đường tròn ngoại tiếp MNP Chứng minh H G O I, , , thẳng hàng
Trang 2Họ và tên:……….……… Lớp:………SBD:……
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2020-2021
MÔN TOÁN
Câu
1.1
(2
điểm)
+Xét khai triển
-+Trừ từng vế (1), (2) ta có
+Thay x = vào (3) rồi chia hai vế cho 2 ta có 1
+Suy ra 22n =1024=210 Û 2n =10Û n =5
0.5
0.5
0.5 0.5
Câu
1.2
(3
điểm)
+Số cách chọn 3 học sinh bất kì từ 50 học sinh là
C Þ W =C = +Số cách chọn 3 học sinh trong đó có 1 cặp anh em sinh đôi là 4.48
Gọi biến cố A: “Chọn được 3 học sinh không có cặp anh em sinh đôi”
+Ta có
3
50 4.48 19408
+
19408 1213 ( )
19600 1225
A
W
1 0,5
1
0.5
Câu 2
(2
điểm)
+Điều kiện x > Û1 x< - 1
hoặc x >1 1
x < - Þ Phương trình vô nghiệm
+Xét x > : Đặt 1
1 , 0;
t
p
æ ö÷
= Î çç ÷÷
çè ø
Ta có phương trình
cost +sint = Û t+ t = t t
0.5
1
Trang 32 2 2
2
k
ê
ê = - çç + ÷÷+ ê= +
ë
+
1
4
p
æ ö÷
Î çç ÷÷Þ = Þ = =
çè ø
thỏa x >1 Vậy nghiệm của phương trình là x = 2
0.5 Câu
3.1
(3
điểm)
+Ta có
2 3
2 3
2 3
c
+
+
+
+Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta có
+ + +
Dấu “=” xảy ra khi a= = =b c 1
1.5
1.5
Câu
3.2
(2
điểm)
Ta có
1
( 1)
n
+
Þ Dãy ( )u tăng n
1 1,
n
Þ ³ = " Î
n
u
n
= + -çç ÷+çç - ÷+ +çç - ÷= - <
1 u n 2
Þ £ < , n N" Î *
Þ ( )u bị chặn n
0.5
0.25
1.0
0.25
Trang 4Câu 4
(2
điểm)
+Ta có P = x2+ +(y 1)2 + x2+ -(y 3)2
Đường thẳng D : 2x y- - 2=0
+Lấy ( ; )M x y Î D , hai điểm (0; 1), (0;3) A - B
A, B nằm cùng phía đối với D , lấy A’ đối xứng với A qua D
A æç ö÷÷MA MA
Þ çç - ÷÷ =
+P =AM +BM =A M' +BM ³ A B' =2 5
+minP =2 5 khi A’, B, M thẳng hàng
Khi
M =A BÇ D Þ Mæççç - ö÷÷÷
÷
Vậy minP =2 5 khi
x= y=
-0.5
0.5
0.5
0.5
Câu
5.1
(4
điểm)
a) +Gọi E là trung điểm AB
/ /
ME AD
ME SAB
AD SAB
ìïï
Þ Góc giữa SM và (SAB) là góc j =MSE· (00 < <j 90 )0 +Tính tan :j ME =AD =2a
1
1
Trang 52
tan tan
5 5
2
MSE
SE
a j
b + AN ^BM Þ (SAN)^(SBM)
Kẻ AK ^SN Þ AK ^(SBM)
AK =d A SBM( ,( ))
+Tính AK S: DABM =S ABCD - (SDADM +SDBCM)
+
2
2
2 2
2
2
17 4
4
ABM ABM
a a
D
+
+
0.5
0,5
0.5
0,5
Câu
5.2
(2
điểm)
+
1 ( , )
2
:
G
+Ta có
/ /
PN BC
MO PN
MO BC
íï ^ ïî
Tương tự NO ^PM
Þ O là trực tâm tam giác MNP
+
1 ( , )
2
1
2
G
thẳng hàng
+
1 ( , )
2
1
2
G
thẳng hàng
Vậy H G O I, , , thẳng hàng
0.5
0.5
0.5
0.5 HẾT
