Lấy ngẫu nhiên một số vừa lập.. Tính xác suất để lấy được số chia hết cho 5.. Thiết diện là hình gì?. ---Hết---Giám thị coi thi không giải thích gì thêmHọ và tên thí sinh:..... Lấy ngẫu
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ
ĐỀ THI KSCL ĐỘI TUYỂN NĂM HỌC 2021-2022
Môn: TOÁN - Lớp 11 - Chương trình chuẩn
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề này có 1 trang) Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu 1 Giải phương trình: sinx2sin 3x sin 5x
Câu 2 Trong dãy số :C C230; 123; ; C1323 tồn tại 3 số hạng liên tiếp tạo thành cấp số cộng, tìm tổng ba số hạng
đó
Câu 3 Tìm giới hạn 1 2
2
lim
x
Câu 4 Từ các số 1, 2,3 ,4, 5, 6, 7, 8, 9 lập các số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác nhau Lấy ngẫu
nhiên một số vừa lập Tính xác suất để lấy được số chia hết cho 5
Câu 5 Cho bất phương trình: x 4 x 4x x Xác định m để bất phương trình nghiệm đúng2 m 3
với mọi x 0;4 .
Câu 6 Cho dãy số x n
được xác định bởi:
1;
2022
n
x
.Với n là số nguyên dương.
Đặt
2021 2021
3
n n
n
u
1 x x x x a a x a x a x a x
, với a a a0, , , ,1 2 a là các hệ 110
số Tính giá trị của tổng T C a 11 110 C a11 101 C a11 92 C a11 83 C a11 110 C a11 011
Câu 8 Cho hình hộp ABCD A B C D. Gọi G là trọng tâm BC D .
a Xác định thiết diện của hình hộp ABCD A B C D. khi cắt bởi mặt phẳng ABG
Thiết diện là hình gì?
b Hai điểm M , N lần lượt thuộc hai đoạn thẳng AD, A C sao cho MN song song với mặt phẳng BC D , biết
1
4
Tính tỉ số
CN
CA.
Câu 9 Trong mặt phẳng tọa độ O xy, cho hai điểm A1;2, B 3;1 và đường thẳng :x11 y12
Tìm tọa độ điểm C thuộc để tam giác ACB cân tại C.
Câu 10 Với ba số thực dương a b c, , thỏa mãn ac4b c Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
3
b c c b
Trang 2
-Hết -(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh:
Số báo danh:………
Chữ ký của giám thị:………
Phòng thi số:……….
ĐÁP ÁN C â u Nội dung Đ i ể m 1 pt
1 , 0
0 , 2 5
0 , 5 0 , 2 5
2
Giả sử 3 số C C23n; 23n1;C23n2
theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng khi
và chỉ khi 2C23n1 C23n C23n2, n 11,n ¥. 1
, 0
4 4
2 23 150 8
13
0 , 5
Vậy C238 C239 C1023 2451570.
0 , 5
2
lim
x
,
Trang 30
1
2
l m
)
i
x
x
0 , 5
1
2
1
3
1
l
5
im
x
x
x
=1
0 , 5
4
Từ các số 1, 2,3 ,4, 5, 6, 7, 8, 9 lập các số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi
một khác nhau Lấy ngẫu nhiên một số vừa lập Tính xác suất để lấy
được số chia hết cho 5
1 , 0
Gọi số cần lập là a a a a , trong đó các , 1,41 2 3 4 a i i đôi một khác nhau.
, 2 5
Do số cần lập chia hết cho 5 nên a4 có 1 cách chọn 5
1
a có 8 cách chọn
2
a có 7 cách chọn
3
a có 6 cách chọn
Vậy số số có 4 chữ số chia hết cho 5 là: 8.7.6=336 (số)
0 , 5
Vậy xác suất để lấy được số chia hết cho 5 là:
336 1
3024 9
0 , 2 5
Cho bất phương trình:
2
x x x x m
Xác định m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x 0; 4 .
1 , 0 Lời giải
Điều kiện cần để bpt (1) nghiệm đúng với x 0;4 thì (2) nghiệm đúng x 0; 4
Xét f(x)= x2-4x-3 Bảng biến thiên
0 , 5
Trang 4f(x) -3
-7
-3
Từ bảng biến thiên (2) đúng với x 0;4
mmax ( )[0;4] f x m 3
PT 4 2 4 x x 2 4x x 2 m 3 Đặt t 4x x t 2, 0 t2 4x x 2 Bảng biến thiên
0 2 4
2
t
4
0 0
Dựa vào bảng biến thiên suy ra 0 t2 4 Bất phương trình trở thành
g(t)=-t2+2t+1 m (3)
Để bất phương trình đầu nghiệm đúng với x 0;4 thì (3) có nghiệm đúng với t 0; 2 . m max ( )[0;2] g t
g(t)
1
2
1
Từ BBT suy ra m 2 Kết luân m thì bpt (1) nghiệm đúng2 x 0; 4 .
0 , 5
Trang 5Cho dãy số x n
được xác định bởi:
1;
2022
n
x
Với n là số nguyên dương Đặt
2021 2021
3
n n
n
u
Tìm lim
n
1 , 0
Ta có
2022 1
2022
n
x
x x
, n 1 Suy ra
2021 1
2021
i n
x u
0 , 5
Mặt khác:
2022 1
0 2022
n
x
x x
nên dãy x n
là dãy số tăng 1
n
Nếu x n
bị chặn thì limx n
tồn tại
Đặt limx n a a1 và
2022
2022
a
(vô lý) Suy ra x n
không bị chặn trên hay limx n
suy ra
1
0
n
x
Suy ra
1011 lim
3
n
0 , 5
7
1 x x x x a a x a x a x a x
, với a a a0, , , ,1 2 a là các hệ số Tính giá trị của tổng110
11 11 11 10 11 9 11 8 11 1 11 0
1 , 0
Ta có
11 11 11
1
x
x
Trang 6 11 11 11 11 11 11 121 11
Số hạng chứa x11 trong khai triển trên ứng với 121 11 k 11 k 10 0 ,
5
Hệ số của số hạng chứa x11 trong khai triển 11 11
1
x
là 10 10
11
(1)
11 0
1 1 k k k k
Hệ số của số hạng chứa x11 trong khai triển
a a x a x a x a x x
là
0 0 1 1 2 2 11 11
0 1 11 1 1 11 2 1 11 11 1 11
a C a C a C a C
0 11 1 11 2 11 11 11
Từ (1) và (2) suy ra T 11 T 11
0 , 5
8
Cho hình hộp ABCD A B C D. Gọi G là trọng tâm BC D .
a Xác định thiết diện của hình hộp ABCD A B C D. khi cắt bởi mặt phẳng
ABG Thiết diện là hình gì?
b Hai điểm M , N lần lượt thuộc hai đoạn thẳng AD , A C sao cho MN song
song với mặt phẳng BC D , biết AM 14AD Tính tỉ số CN CA.
1 , 5
Lời giải
a Trong BC D kéo dài BG cắt C D tại I
0 , 5
Trang 7Khi đó:
//
ABG CDD C Ix
AB ABG CD CDD C
AB CD
Từ đó, trong CDD C , kẻ đường thẳng Ix CD// cắt CC , DD lần lượt tại E
và F
Vậy thiết diện cần tìm là hình bình hành ABEF (vì EF CD AB và EF AB// )
b Gọi O là giao điểm của AC và BD Dễ thấy G A C .
Khi đó, qua M kẻ đường thẳng song song với BD và cắt AC tại K
Trong mặt phẳng ACC A , gọi L KN A C , ta có:
//
//
MN BC D
MK BC D
MNK // BC D KN//BC D KN OC// . Mặt khác, theo giả thiết, ta có:
1 4
4
KO AO
8
KO AC
và 7
8
KC
Vì KO LC , ACA C nên 38
LC
A C
5 8
A L
A C
Mà
5 8 5
8 7 7
5 7
A N NC
Vậy
7
12
CN
1 , 0
Trong mặt phẳng tọa độ O xy, cho hai điểm A1;2, B 3;1 và
0 ,
Trang 8đường thẳng
:
x y
Tìm tọa độ điểm C thuộc để tam giác ACB cân tại C.
5
Phương trình tham số của
1 : 2
Ta có
1 , 2
uuur uuur
2 2 2 2
6
Suy ra
7 13
;
6 6
0 , 5
1
0
Với ba số thực dương a b c, , thỏa mãn ac4b c Tìm giá trị nhỏ nhất
của
2
3
b c c b
1 , 0
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 2 số:
2 3 2 2 3 2
ac
2
3
3
P ac b
b c c b
Từ giả thiết: ac4b c ac 3b b c
Ta lại có:
ac b ac b c b b c b c c b b c b c b c
2 15 3
3
P b c b c
b c c b
0 , 5
2 15 3
3
b c b c
b c c b
2 15
3
b c b c
b c c b
30
Do vậy: P30.
0 , 2 5
Trang 9Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi
2
3
15 3
3 4
3 1 2
a b c
3
3 1 2
a b c
0 , 2 5
