bat phuong trinh logarit chua tham so

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CHỨA THAM SỐBài toán.. Khảo sát sự biến thiên và dựa vào bảng biến thiên xác định các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm... Tính số

Trang 1

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CHỨA THAM SỐ

Bài toán Tìm m để bất phương trình f x m( , ) 0 hoặc f x m( , ) 0 có nghiệm trên D ?

PHƯƠNG PHÁP Bước 1 Tách tham số m ra khỏi x và đưa BPT về dạng A m( ) f x( ) hoặc A m( ) f x( ).

Bước 2 Khảo sát sự biến thiên và dựa vào bảng biến thiên xác định các giá trị của tham số m

để bất phương trình có nghiệm

Lưu ý: Cho hàm số y f x  xác định và liên tục trên D

Trong trường hợp tồn tại max ( )x f x

0( ) 0,

Ta thấy m ; 0 m không thỏa mãn điều kiện đề bài.7

Với m0và m Khi đó ta có:7

m m m

Trang 2

Từ (1) và (2) suy ra 2 m 5 Do m¢ nên m3;4;5 .

3

;04

t

m t

 1

; 2

34

log log 3x1 log m

nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ;0?

x

m m

Trang 3

Dựa vào bảng biến thiên ta có bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc ;0 khi1.

m

Do m nguyên và thuộc đoạn 100;100 nên m1;2;3;4; ;100 .

x x

Đặt t log2x Do x16; nên t4;

Bất phương trình  *

Suy ra hàm số f t  nghịch biến trên khoảng 4;.

Bảng biến thiên của hàm f t 

như sau:

Trang 4

x x

Suy ra hàm số y f x  đồng biến trên  0;4 .

Để bất phương trình đã cho có nghiệm thì m1.

Do m nguyên và thuộc khoảng 10;10 nên m2;3; ;9 .

Trang 5

Vậy có 8 giá trị m nguyên cần tìm là : m2;3; ;9 .

Khi đó ta có   12 m 23 Mà m¢ nên m  12; 11; 10; ;22; 23   .

Vậy có tất cả 36 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

A

10;

m   

 . C m  ;0. D 14;.

Lời giải Chọn D

Trang 6

Bảng biến thiên của hàm f t    t2 t như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy ycbt được thỏa mãn

14

Lời giải Chọn A

2

141

x x

có bảng biến thiên như sau:

Từ bảng biến thiên suy ra bất phương trình có tập nghiệm là ¡ khi 2  m 3

Vậy có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Điều kiện xác định: mx22x m 0.

Trang 7

Ta thấy m ; 0 m không thỏa mãn điều kiện đề bài.3

Với m0và m Khi đó:3

Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x  ¡ thì  

 



    

.Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

Trang 8

phương trình 3log 222 x12 log2 x   nghiệm đúng với mọi 1 m 0 x trên khoảng  2;

Tính

số phần tử của tập hợp S

Lời giải Chọn B

Ta có: 3log 222 x12 log2 x  1 m 0  2 

Từ bảng biến thiên ta thấy m  1

Mà m  ¢ và m  2021; 2021 nên m  2020; 2019; ; 1   .

có nghiệm x 1

Lời giải Chọn A

BPT trở thành: t(1 )    t m t2 t m.

Trang 9

Đặt f t( ) t2 t

ta có f t   ( ) 2t 1 0

với  t 2; nên hàm số y f t  đồng biến và

liên tục trên 2; Suy ra f t  6;  khi t 2; .

Do đó để để bất phương trình log (52 x1).log (2.52 x  có nghiệm thỏa mãn 12) m x thì

m ¡

thuộc tập nghiệm của bất

Ta có

2

2 2

10x m x 10 x

đúng với mọi x 1;100  ?

Lời giải Chọn D.

 logx 10m logx  1 11logx  0 10 logm x  1 log 2x 10logx 0.

Vì x 1;100  nên logx 0;2

10 2

0, 0;21

Trang 10

hay có 2018 số thỏa mãn.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu bài toán được thỏa mãn Û mÎ ¡ .

log 3x log x 1 2log x2m 2 0

có nghiệm với mọi x thuộc đoạn 1; 3 3

Lời giải

Chọn A

Trang 11

Điều kiện x0 Ta có

2 3 x 7 4 3 x ln 1

Tìm các giá trị của tham số m

để bất phương trình f 3 2 x m  f x 22x 2 0

nghiệm đúng với mọi giá trị x¡ .

A

32



m

Lời giải Chọn D

Ta có x2  1 x x2  1 x 0 nên tập xác định của hàm số đã cho là D  ¡

Trang 12

m m

Vậy không có giá trị nào của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có log2 53  log 5 2 6 9 0 log2 53  log2 56 9 

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m

thuộc 10;10 để bất phương trình f 2 x m  f  x2 4x 6 0

nghiệm đúng với mọi x

0,

x x

Ta có: f 2 x m  f  x2 4x  6 0 f 2 x m    f  x2 4x6

Trang 13

Xét các hàm số u x    x2 6x8 và v x   x2 2x8 trên 1;1 ta có bảng biến thiên

Dựa vào BBT ta thấy để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x thuộc 1;1 thì

152112

 Do m nguyên và m  10;10 nên có 8 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

11

m

12

98

m

12

m

Lời giải

Chọn C

Xét hàm số   2 2

11

Dựa vào BBT ta thấy 1   3, 0; 

Trang 14

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào BBT ta thấy để bất phương trình đã cho có nghiệm x0; thì m98.

Do đó mọi nghiệm của bất phương trình  2

đều là nghiệm của bất phương trình  1

khi và chỉkhi bất phương trình  1

có nghiệm đúng với mọi x 1;3 .

2

2 2

với f x    x2 4x1.Xét hàm số f x    x2 4x1 trên đoạn  1;3

f x    x  x 2.

Bảng biến thiên:

Trang 15

Dựa vào bảng biến thiên ta có mmax 1;3 f x   m 5

ta có m5;259 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy có tất cả 255 giá trị nguyên của m thỏa mãn mọi nghiệm của bất phương trình  2

đều lànghiệm của bất phương trình  1

Trang 16

Xét hàm số y2 logt 2t2 với t 0

Hàm số y2 logt 2t2 xác định và liên tục trên 0; .

2 0;2

1000 giá trị của a thỏa mãn  2 

Trang 17

Câu 25. Có bao nhiêu số nguyên m  2022; 2022 sao cho thỏa mãn bất

m x

 ,  x 0,x1 (1)

Xét hàm số 2

2 ln( )

1( ) ln

Suy ra g x( )g(1) 0 khi x và 1 g x( )g(1) 0 khi x 1

Do đó ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra (1)     m 1 1 m 0.

Vậy có vô số giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.

Trang 18

Đến đây ta nhận thấy f x   f  0 0nên suy ra m2 thỏa nên có đúng 1 giá trị m

2

lim lim ln 4 3 ln 0lim lim ln 4 3 ln 0

Trang 19

Nhận thấy ngay 3 nghiệm nguyên thỏa mãn bài toán đó là: x0; 2; 4 Lưu ý rằng hai nghiệm nguyên x1;x bị vi phạm điều kiện nên không được tính3

Suy ra f  4 logm f  5 ln 3 log mln 8m Z   13 m 120

Như vậy có tất cả 120 13 1 108   giá trị nguyên mthỏa mãn bài toán.

Câu 29 Có tất cả bao nhiêu bộ số nguyên a b c d; ; ; 

Ta để ý rằng 2 đồ thị   ln 1 2 3

và g x  ax4bx3cx2dx cùng đi qua gốc

tọa độ Do đó ta xét tiếp tuyến tại gốc tọa độ của y f x  Ta có f 0 1; f 0 0 nên tiếp

Đồ thị g x  ax4bx3cx2dx luôn đứng trên đường thẳng y x và tiếp xúc nhau tại O

thì điều kiện cần và đủ là ax2      bx c 0 x  1;  do đó a0.

a b

Trang 20

Trường hợp 2: 2

04

a b c

Trang 21

Kết luận: Có tất cả 71 bộ số cần tìm.

Với điều kiện nào của tham số m thì bất phương trình

Tiêu đề	Bất phương trình logarit chứa tham số
Trường học	Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Báo cáo môn học
Năm xuất bản	2022
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	21
Dung lượng	1,34 MB