Báo cáo " Dao động của dầm đàn hồi từ biến" pot

MO DAU Bài toán dao động của dầm theo mô hình đàn hồi thông thường, đã có nhiều tác giả trong nước và ngoài nước nghiên cứu [1, 4, 7].. Trong đó, bài toán dao động dằm đàn hỏi từ biến

TAP CHI KHOA HOC VA CONG NGHỆ Tập 45, số 5, 2007 Tr 117-131

DAO DONG CUA DAM DAN HOI TU BIEN

, HOANG VAN BA, TRAN BINH SON

1 MO DAU

Bài toán dao động của dầm theo mô hình đàn hồi thông thường, đã có nhiều tác giả trong

nước và ngoài nước nghiên cứu [1, 4, 7] Tuy nhiên với vật rấn dan hôi theo mô hình từ biển, có thê nói, theo tác giả công trình này, cho đên nay còn ít người nghiên cứu, nhât là ở nước ta càng rat it

Trong đó, bài toán dao động dằm đàn hỏi từ biến khi có tải trọng di động trên đó cũng chưa

được khảo sát đây đủ

Các bài toán đó sẽ được nghiên cứu tuần tự từ đơn giản đến phức tạp trước tiên là tuyến tính sau đó là phi tuyên đôi với từng loại bài toán băng phương pháp tiệm cận đôi với hệ cấp cao

[2]

II ĐẶT BÀI TOÁN VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHUYÊN ĐỘNG

Bây giờ, nghiên cứu dao động của dầm đàn hồi từ biến, dài £, chịu liên kết tựa tuyến tính

hai đầu DẦm chuyển động dưới tác dụng của tải trọng phan bé q = q(x, t) có phương vuông per với trục của đâm (hình 1)

==

Eị

tf AMMA

Hình 2

Tính chất cơ học của vật liệu khi bị kéo nén được mô tả bằng mô hình vật thể tuyến tính dạng chuẩn (hình 2) [3] Bởi vậy phương trình trạng thái trong dạng toán tử, được viết như sau

[3]

(2.2)

trong đĩ Ei, Ea, K; là các hằng số đặc trưng cho tính từ biến của vật liệu được xác định bằng thực nghiệm, £ > 0- tham số bé

Bỏ qua chuyển động quay, chuyển động trượt và bỏ qua chuyển động dọc, theo mơ hình Euler- Bernoulli, chuyển động ngang của đầm đàn hồi được mơ tả bằng phương trình sau:

mo» a2 + Eo» =q(x,Ð + f(x,y,ÿ ) (2.3)

trong đĩ Ï = [ly2dF =const, m=pF =const la khối lượng đơn vị tiết diện ngang của dầm,

p - mật độ khối lượng, F là diện tích mặt cắt ngang, f = f(x,y, ý ) là hàm phi tuyến

Thế mơ đun đàn hồi E từ (2.2) vào phương trình (2.3) ta được:

Eị ơ

"m—-+lÏÏ—————+—|-_—~=q(x.Ð)+f(x,y.ÿ )?

l+ 4

Eạ or

mo] 14—2 2 +IEq+eKa|l+ Ê |ÊY lị 2 Êlg+r]

2, mK, 93 4 5y TE,K, 95 K ° mod + 22 se oo aK, oy Ie TY =[tg+Ð+ Ra a+Ð|

Nhân hai về của phương trình trên với (nĩi cách khác chia hai về cho 2) ta

duge:

aly , Ey oy , TEE, dy, IE, êy 1B, dy _ Ey (q+t)+ 22 q+n|

ơ” K, & ” m K, éx* m ơØx" m ơtêx" K,m E, at

Để đơn giản giả sử rằng m = 1, q(x, t)= €Q,,(x,0) va f(x,y, ¥ ) nhỏ, khi đĩ phương trình (2 5) cĩ thể viết như sau:

Otdx

E, day

+e Ox? *= sE cán E, â&x" +E(qy +N +— S4 + of (2.6)

HY OY ÊY 5 cy VY

_ Dâm chịu liên lết bản lề tại hai đầu như hình 1, thì tại x = o, £ độ võng và mô men uốn bằng không Do đó những điều kiện biên đồng nhất thích hợp là:

| x=’ 2l x=(' a 2.8) ,

Lưu ý rằng mômen uốn tại tiết diện ngang bất kỳ được xác định bằng biểu thức:

2

Chuyển động của hệ đàn hồi từ biến được mô tả bằng phương trình đạo hàm riêng, trong đó

có đạo hàm bậc ba đối với thời gian t, điều mà chúng ta chưa thấy trong hệ đàn hồi thông thường Có thé thành lập phương trình chuyên động của dầm theo cách khác [8] cũng đưa đến kết quả duy nhất như (2.7)

II XÂY DỰNG NGHIỆM TIỆM CẬN VỚI HỆ Ô-TÔ-NÔM

ø — Khi £E=0,phương trình suy biến của (2.7) có dạng:

+e atax* : ôx?

với điều kiện biên tuyến tính sau:

x=e 0 a’ 'x=¢

Lưu ý rằng với hệ ô- tô- nôm hàm F không phụ thuộc hiển vào thời gian t Nghiệm của bài toán biên trên tìm trong dạng tách biên [6]

Thé (3.3) vào phương trình (3.1) ta có:

Z(x

119

+ Z(x)+| o?——+£&@?T |—~ =0,

3 tế 2

a dt dx" =—f’ = const (3.4)

œ2 4 + &o’T z0)

{

Chú ý rằng trong phương trình (3.4) về trái là hàm số của đối số thời gian (t) còn bên phải

là hàm số của đôi số không gian (x) đề cho hai về đó băng nhau với mọi t và x thì chúng phải bằng hằng số Hơn nữa ở đây ta chú đến dao động nên hằng số đó là âm mà ta kí hiệu là (—B?) Từ (3,4) ta có hai phương trình sau:

aT đT „; ;dT „;„ ;

4

dx

Từ (3.2) để dàng thấy rằng hàm Z.(x) phải thoả mãn các điều kiện biên sau:

Phương trinh (3.6) có dạng:

d*Z(x) „¿

Nghiệm của phương trình (3.9) được tìm dưới đạng:

Z{x) = C,sinAx +CC,cosÀx + C,shÀx + C,chax, (3.10) trong dé C), Co, C3, Cy la cae hang số được xác định từ điều kiện biên (3.7)

Z(0)=Œ;+C¿=0, Z{Ô = C,simA + C;,cosÀ£ + C,shré + C, chad = 0,

2

446) — —Ga?,0— C2 +C,A? =0,

dx

2

oe ==C,À”sinA ~C, A? cosrl + C,A’shaé + C„^”chÀ = 0,

dễ dàng xác định được các đại lực C¡, Cạ, C3, Ca

C,+C,=0

>C, =0,C, =9, -C,+C€,=0

Csink€+C,shAl =O ~

—€,A*sinA£ + C,^”shÀý = 0

C,sinA£ =0

bệe,<0

Vậy hàm cơ sở (3.10) bây giờ có dạng đơn giản nhất:

Ci la cdc hang sé bat kỳ khác không Từ (3.8) ta có:

Bệ= 8, = =k = 12 ) (3.13)

ược gọi các giá trị riêng phụ thuộc vào điều kiện biên Bây giờ ta giải phương trìn

" i cac gid tri riêng phụ thuộc vào điêu kiện b giải phì h

(3.5), nghiệm của nó tỉm trong dạng

Thay T vào (3.5) ta có phương trình đặc trưng, xác định các giá trị dac trung A

x` +É\ˆ +B?ø@?A+šB”@œˆ =0,

(+ ©JA, +p?ø?)= 0, (3.15)

Cac gia tri riéng:

=-€,A, =+iBa,A, =—-iBo,

= E12" = 418,043 = —iB,o,

dw, = EASY = HO, AY = -10,,

k’n? {IE

Q, = 08, === J (3.16)

Nghiệm của phương trình (3.5) có dạng

T„=C,je*®+ Ca! + C19481 (k=1,2, ) (3.17)

C¡ ~ hằng số thực, CẾ?, CÝ? là các hằng số phức liên hợp Theo công thức Euler

e"% =cosp, +ising,, e ”* =cosø, —ismø, (3.18)

CY =a, +ib,.C¥ =a, -ib,,g, =Qt (3.19)

Thé (3.18) , (3.19) vào 3.17) ta có:

T, =C,e* +a,cosg, +ia,sing, +ib, cose, — b,sing, +a,cose, —

—ia, sing, — ib, cosy, — b,sing,,

T, =C,e + 2a, cosy, —2b,sing,,D, =2a,,G, =—2b,

T, =C,e # +D,cosø, +G,sing,, (3.20)

Từ (3.3) ta có:

yo (x) = TZ,

ye @p=c,c@e sin XX + [D.C cos, t + G,CÿsinQ,tbn ;

y@&,Ð=Cf?e° ‘sin + A, cosQ, tsin—— + B,sinQ,tsin —”, @.21)

CỊ, A¿, B¿ là các hang số thực được xác định từ điều kiện đầu;

cM=C,C’,A, =D,C*,B, = G,C™ Boi vậy đối với các hàm riêng (3.12) dé thuận tiện

nhiều khi người ta tà cho C® =1,Vk cũng không ảnh hướng gì đến nghiệm (3.21)

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (3.1) là:

ran =| 5 Ce 'sin “249” 4 cos 2,tsin = +5”, snQ/ in E | (3.22)

Khi ¢~> 00 thi e* — 0, nén trong pham vi gan ding ngudi ta chỉ lấy

k

Yo &OD= SA, cosQ,, sin i tần, sinQ xin CC” (3.23)

Cần xác định các hằng số Ax, Bự từ điều kiện đầu.Giả sử rằng

(x,0)

yp (x0) = £0) ED fe, 6.2)

Khi đó ta có, từ (3.23)

k

3 A,sin——— = f,(Xx) —> AL= tt

kel c ƒ sin? =~" dx

J £

sin? #E-[L-em 2 > fsin? ty = [['- cos mm dx =f

œ

=5 -4,9, sin, sin +>°B,Q, cosQ, sin,

ô < ik

= Vp (x,0) = + BQ, sin = h@-7

B= —— Í k (Q, Si x) sin ) — dx, f (3.26) Nhu vay là nghiệm (3.23) hoàn toàn xác định Lưu ý rằng nếu ta vẫn lấy nghiệm (3.22) Khi

đó các hằng số cần xác định là CÍ, A¿, Bụ,

dy,(x,0) 8? y(x,0)

a ` or!

Bây giờ chúng ta đi xác định hàm nghiệm riêng của (2.7) Giả sử rằng hệ suy biến (£ = 0)

Do đó cần ba điều kiện đầu yo(x, 0),

tồn tại nghiệm không tat dim Q, và không có hiện tượng nội cộng hưởng đối với tần số ©, tức là

(Q,—nQ,)#0 `, (kn=l,2, ) (3.27)

Khi đó nghiệm riêng của bài toán biên (2.7), (2.8) tìm đưới dạng chuỗi

y(x,f) = acos@Z, (x) + EU (x,a,@) + eU, (x,a,0) + , (3.28) trong đó @ = (Qu +W}U,,U, tuần hoàn chu kì 2Z theo @ còn a, được xác định từ hệ phương trình vi phần sau:

de

& = &cA,(a) +67 A,(a) + ,

ae = ob (a)+£?B,(4)+ (3.29)

Bay y & giờ chúng g ta pl ta phải tính các dai lugng s 8 a ——,—<-, a an

các đại lượng đó vào (2.7) và trong xấp xi thứ nhât hoàn thiện ta có:

từ (3.28) chú đến (3.29) rồi thay

? = “~cosØZ, ~ asinp =2, +e 4 pS

— a = 6A, cosgZ, —asingeB,Z, — asin 1 COS QL, PED L, Ø2, Z, + €Q, —., 1 ag

> = &Á4j cosØZ, — aQ, sin ØZ, - eB,asin øZ, + Q——>, (3.30)

ae Sin QZ, — €4,Q, singZ, - aQ; cos gZ, — €B,aQ, cos gZ, — EB,aQ, cos PZ, + EQ; ạt”

5 = -264,Q, sin @Z, — 26B,aQ, cos @Z, — aQ} cos@Z, + 6Q? an (3.31)

a ~2£4,Q7 cos 02, + 26B,aQ? sin gZ, — 24,07 cos@Z, + aQ} sin gZ, + aeB,Q{ sin @Z, + Q} 5 Hs

ọ

oy

a

Cần phải tinh một số đại lượng sau đây:

-3£4,Q7 cosØZ, + 3el,aQŸ sin ØZ, + aOŸ singØZ, + Q7 = (3.32)

?

ar

Bây giờ hãy thể các đại lượng (3.31), (3.32), (3.33), (3.34), (3.35) vào phương trình (2.7) ta

ao a2 = &4,0" =-cospZ, - aQ,@* sin gZ, - caBw id ——sin @Z, + €0°Q, AM

@* ——— xa = £4,Q} cos@Z, ~ aQ} sin eZ, - aaB,Q sin@Z, + ew*Q 1 1 1 1 1 1 1 | 1 âx'êp —, (3.33)

Ew? a x =a QPacosgZ, + 6€w* ề Uy (3.34)

+ ~2efA4,Q, sin gZ, —22£B,aQ, cos @Z, — a€Q? cos @Z, Xa (3.35)

oP

có:

a

— 344, Q} cos pZ, + 3eB,aQ} sin gZ, + aQ} sin gZ, + 6Q} ——) - 2eE4,Q, sin gZ, ~

2

aU,"

~2z£B,aO, cos gZ, — a€Q? cos@Z, + €€Q} — + €4,Q7 cos @Z, -

dg?

~aQ) sin gZ, - caB,QF sin eZ, + ew? Q, —— + Qiacos@Z, + eéw* — = *

= éF(x,acos@Z,,—aQ, sin @Z,, ) = F,,F, = F(x,acos@Z, ),

Sau khi đơn giản ta có:

3

-2£4,Q? cosợZ, + 2eB,aQ} sin øZ, + zQ} i ~28€4,Q, sin gZ, —

°

— 26EB,aQ, cos@Z, + 6€Q; 5 +6’ Q, + s€w” — =F

ox" Oe

— 26Q, (Q, A, + aB,) cos gZ, — 26Q, (EA, — Q,aB,)sin gZ, +

3 OU, + 0g Ui +0? 2M _

Cuối cùng ta có phương trình sau:

a2 Y + 20 Uy +Q,ø? ou +ễ@” é 6 =l+

+ 20, (Q, A, + €aB,)cos gZ, + 20, (€A, — aQ, B,)sin PZ,

Trong đó F¡ = F(x, acos @,—a©2, sin@, ) đã biết còn U¡ = U¡(x, a, 7) cần phải xác định

phải thoả mãn các điều kiện biên sau:

(| =0 8u,| =9

d =0 au,| =0

Dé tim ham U), ta khai triển hàm U; và F¡ theo các hàm riêng sin —

k=l

h=5 Eu(a,0)2,09), 7 — (3.39)

k=l

(A sin ie dx

[sin? ka dx

é

2 _ kZx

Các đại lượng (3.39) đã xác định cân xác định ,„ (4,Ø) Thay các đại lượng (3.38), (3.39) vào phương trình (3.36) ta có:

EJ

=D) Fy 2, + 2Q,(Q,A4, + aB, cos gZ, + 20, (EA, — aQ, B,) sin gZ,

kel

Cân bằng hệ số các ham riéng déi véi: k = 1 ta cd:

OQ) 2 7Z, 4? S47 40, or Unt 7 +E? sế U,,Z, = FZ, +

+20, (Q, A, + GaB,)cospZ, + 2Q, (€4, - aQ, B,)singeZ, >

+ 20, (Q, 4, + GaB,)cos@ + 2Q, (EA, — aO,B, )sin ø

Với k= 2, 3, ta có:

với cách khai triển này hàm U¡(a, @, x) tự thoả mãn điều kiện biên (3.37).Để xác định Una, 9) trong (3.38) một lần nữa hãy khai triên hàm F¿y(a, @) và U¡¿(a, @) theo @ như sau:

=5 |U£°)(a)cos ng + W2” (4) sin nộ], (3.43)

n=Oy

VN (a), W (a) can xac định

Fi (4,9) = Dl gi,’ (a)cos, p+ hi, (a)sin ng], (3.44)

n=0 (ky

8i (4)= s— |F,(4.ø)dø, gụ (4) =— [F,(4.ø)cosngdp,

1 2

Ay (a)=— [F,(a.g)sin ngượ a

Các đại lượng g/,(4),#jJ⁄'(a) đã xác định Từ phương trình (3.43) theo (3.42) cần tính các

đại lượng sau:

0p n=0

k

¬ den Vi (a)sinng It — 7 W,” (a)cosng]

voin=1,k=1 thay vao Hưng trình (3.41) ta có:

+ VP (a)sin g - QUV” (a) cos g — EQ) V," (a)cos g — EQ?W;" (a)sin g - QV") (a)sing + +©/W+t?(a)cos ø + £@ 2V” (a)cosø + ¿Q@ŸW2t)(a)sin ø = 2"? (a)cose + Ai) (a)sing + (3.46)

+ 2Q,(Q, 4, + €aB, )cos g + 2Q, (G4, -aQ,B,)sing

Sau khi đơn giản dễ dàng suy ra:

gi) (a)cosy + hi) (a)sin g + 2Q,(Q, A, + €aB, )cos@ + 2, (E4, — aO, BỊ) sin ø = 0

126

29,(,A + 4B.) =—gịn) (4), 2Q, (-EA, + aQ, B,) = h(a) (3.47)

ay

Q,4, + 0B, =~ 8 Yo

AD -€4, +aQ,B, =" Ya

§Q, A, + &7aB, =o 1) (a)/2Q, >

— GQ, 4, + aQ? B, = -Q,h)? (a-)/2Q, ,

i0 (4) = ii (4)

el @-2,40)] |

2aO,(?+@2) ˆ

Q24 +Q,#zB8, =—Q,g10(a)/20,

-#?4+Q,#aB, = + Eh? (a)/2Q,

_ [#?@)+@,g1)(a)]

aB (Qi + &?) =

(3.48)

Như vậy ta đã xác định được các đại lượng A¡, Bị, trong phương trình (3.29)

gì (4) =— |Rj (4,p)cosgdp, bị (4) = [Fi(4.ø)singdp G50

Có nhận xét rằng các đại lượng ƒ*)(a),Wt)(a) có những giá trị như thế nào đi chăng nữa thì về trái của phương trình (3.46) cũng bằng không, nói cách khác ƒ„1)(4),W4°(a) không xác định Để cho hàm U;(x, a, @) có giá trị đuy nhất thì ta lấy

VO (a) = 0, W(a)= 0, có nghĩa là hàm U;(x, a, ọ) không chứa các điều hoà thứ nhất cos @, sin @, suy ra < Uicos ø > = 0, < U¡sin ọ > = 0

) thay (3.43) (3.44) vào (3.42) ta nhận được:

Với (n=2, 3,

+ 3 Bì V2 "(a)n nợ~ 3 Qìn it" (a)cosnp = 3` ZQ?n? Vi (a)cos ng — 3 EQi7W, sìn ng —

_ ®Q,Qˆn?(a)sin np + Y Q.07nWY (a)cosng + €Q? FV (a) cosng + 627 Wi) (a)sinng =

= gin (a)cosng + 5 hi (a)sinng,

n=O a=0

¥ 30 (a) - 020° V (a) + Q,Q2n-W.9 (4) + 20,1, (a)foosng} +

n=0

n=0

=> gi? cosng + > hi (4) sỉn nọ,

cân bằng điều hoà hệ số các cos g, sin @ ta có:

= QW (a) ~ QUMPV IP + QQEAW (a) + CAV (@) = Bin (a) |

OPV, (a) — QIN? WP (a) — 2, Q7 nV? (a) + GQUW,Y (a) = AYP (a),

“E(Q} — PQPW® (a)-OQ,n(Q} - 07) = HY (a), |

Q,nV (a) — EWP (a) = = hạ (a) [(Q2 - PQ} i

tir hé phuong trinh nay dé dang tinh duge:

(Goi? — n,n (a))

OG na? 05)

°

W“( ) = (nQ,g\” (a) + eh? (a)) (3.52)

Thế các đại lượng đã được xác định từ (3.51), (3.52) vào (3.43) ta được:

2 lee” (a)— nQ,h® (a)|cos nợ+ |ao,g? (a)+ Eh? (a)|sin no

Từ (3.38), hàm U; duge xac dinh nhu sau:

(e? +n? Ya? - 7707) £ (khik = 1, n #1)

Nhu vay trong xp xi thir nhat hoàn thiện nghiệm (3.28) đã được xác định như sau:

(E? +17Q?)+ (QF -n?Q7) ¢

Dé thấy rõ các đặc trưng của hệ đàn hồi từ biến ta xét trường hợp khi lực kích động ngoài

bằng không q(x, t) = 0 và hàm phi tuyến bằng không f(x, y, ÿ ) = 0, khi đó phương trình (2.7)

có dạng:

k=l k=l

y(x,)= 4cosgsinf +33,

LÔ #el n0

1