Microsoft Word De thi chon HSG Yen Dinh Thanh hoa doc PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN ĐỊNH Đề chính thức ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP CỤM Năm học 2020 2021 Môn Toán 7 Thời gian 120 phút (không kể thời[.]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
YÊN ĐỊNH
Đề chính thức
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP CỤM
Năm học 2020 - 2021
Môn: Toán 7
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày 02 tháng 02 năm 2021 (Đề có 01 trang, gồm 05 câu) Câu I: (5,0 điểm)
1 Thực hiện phép tính: .
512 5 2
16
3 : 4
9 5 5 2
2 7
3 3
7 7
A
2 Cho
25
9 16
25 9
16
x và 2 x 3 5 11 Tính B x y z 2021
x y z x y t y z t x z t
với x, y, z, t là các số
tự nhiên khác 0 Chứng minh M10 1025
Câu II: (5,0 điểm)
2013 1
2
5 4
2 4 3
2 3 2
x x
2 Cho x, y, z 0 và xyz0 Tính giá trị biểu thức
z
y y
x x
z
3 Tìm số tự nhiên n để phân số
3 2
8 7
n
n có giá trị lớn nhất
Câu III: (4,0điểm)
1 Tìm một số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ
số cuối giống nhau
2 Tìm các số nguyên dương n và các số nguyên tố p sao cho 1
21
n n
Câu IV: (5,0 điểm)
Cho ABC có góc A nhỏ hơn 900 Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C
vẽ đoạn thẳng AM sao cho AM vuông góc với AB và AM = AB, trên nửa mặt phẳng bờ
AC không chứa điểm B vẽ đoạn thẳng AN sao cho AN vuông góc với AC và AN = AC
a) Chứng minh rằng: AMC = ABN
b) Chứng minh: BN CM
c) Kẻ AH BC (H BC) Chứng minh AH đi qua trung điểm của MN
Câu V: (1,0 điểm)
Cho các số thực dương a và b thỏa mãn: a 100 b 100 a 101 b 101 a 102 b 102
Hãy tính giá trị của biểu thức: P a 2014 b 2015
- Hết - Thí sinh không sử dụng máy tính cầm tay và tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
YÊN ĐỊNH
Hướng dẫn chấm
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP CỤM
Năm học 2020 - 2021
Môn: Toán
Ngày 02 tháng 02 năm 2021 (Hướng dẫn chấm có 03 trang, gồm 05 câu)
I
(5đ)
2
1 2 5 2
3 2 2 2 2 5 2
12 2 2
2 5 2
16
3 : 4
9 5 5 2 512
5 2
16
3 : 4
9 5 5 2
2 2 7
3 6 2 7 2 7
3 7 2
7 2 7
3 7
2 7
3 3
7 7
2 Ta có: 2x3 – 5 = 11 x3 = 8 x = 2
25
9 16
25 25
9 16
25 9
16
2 y z y z
y = 16.2 + 25 = 57; z = 25.2 – 9 = 41
Vậy B = 2 – 57 + 41 + 2021 = 2007
0,5 0,75 0,25
3.+ Ta có: x x
x y z x y
x y t x y
y z t z t
; t t
x z t z t
t z
t t z
z ( ) y x
y y x
x (
+ Có M10 < 210 (Vì M > 0) mà 210 = 1024 < 1025
Vậy M10 < 1025
0.5
0,5 0,25 0.25
II
(5đ)
2013 1
2
5 4
2 4 3
2 3 2
x x
2015
2013 1
1 1
5
1 4
1 4
1 3
1 3
1 2
1
x x
2015
2 1
2 2015
2013 1
2 1 2015
2013 1
1 2
1
x x
x
1,0 1.0
2 Ta có:
z
y z y
x y x
z x z
y y
x x
z
Từ xyz0xz y;yxz;z yx
Suy ra: 1
z
x y
z x
y
P (vì x, y, z 0)
0,5 0,5 0,5
5 2
7 3 2 2
5 3 2 7 3 2 2
8 7 2 3 2
8 7
n n
n n
n n
n
Phân số đã cho có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi 22 3
5
n lớn nhất
Từ đó suy ra: 2n-3=1 n 2 Vậy giá trị lớn nhất của phân số đã cho bằng 6
khi n 2
0,5 0,5 0,5 III
(4,0đ)
Trang 31 Theo bài toán ta có: N = aabb = 1100a + 11b = 11(100a + b)
Để N là một số chính phương ta phải có:100a + b = 99a + (a + b) = 11t2 (t N)
Mà 99a 11 nên a + b 11 => a + b = 11 Vậy 99a + 11 = 11(9a + 1) = 11t2 =>
9a + 1 = t2 (1)
Cho a từ 1 đến 9 chỉ có a = 7 thoã mãn (1); Từ đó suy ra b = 4
Số phải tìm là 7744 = 882
1,0 1,0 0.5
2 Với n = 1 thì p = 0, không là số nguyên tố
Với n = 2 thì p = 2, là số nguyên tố
Với n = 3 thì p = 5, là số nguyên tố
Với n 4, ta viết p dưới dạng:
2
2 1 2
2
p
Ta xét hai trường hợp:
Nếu n lẻ (n 5) thì 2
2
p , là tích của hai số nguyên lớn hơn 1 nên p là hợp số
Nếu n chẵn (n 4) thì
2
2
p , là tích của hai số nguyên lớn hơn
1 nên p là hợp số
Đáp số: n 2 ; p 2 và n p 3 ; 5
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25 0,25
IV
(5,0đ)
D
K I
H
E F
A M
N
a) (2đ)
Xét AMC và ABN, có:
AM = AB (gt)
AC = AN (gt)
MAC = NAC ( = 900 + BAC) Suy ra AMC = ABN (c - g - c) 2,0
1.5 0,5
b) (2đ)
Gọi I là giao điểm của BN với AC, K là giao điểm của BN với MC
Xét KIC và AIN, có:
ANI = KCI (AMC = ABN)
AIN = KIC (đối đỉnh)
IKC = NAI = 900, do đó: MC BN
Trang 4c) (1đ) Kẻ ME AH tại E, NF AH tại F Gọi D là giao điểm của MN và AH
- Ta có: BAH + MAE = 900(vì MAB = 900)
Lại có MAE + AME = 900, nên AME = BAH
Xét MAE và ABH , vuông tại E và H, có:
AME = BAH (chứng minh trên)
MA = AB
Suy ra MAE = ABH (cạnh huyền-góc nhọn)
ME = AH
- Chứng minh tương tự ta có AFN = CHA
FN = AH
Xét MED và NFD, vuông tại E và F, có:
ME = NF (= AH)
EMD = FND(phụ với MDE và FDN, mà MDE =FDN)
MED = NFD BD = ND
Vậy AH đi qua trung điểm của MN
0.5
0.5
V
(1,5đ)
Ta có đẳng thức: a 102 b 102 a 101 b 101 a b aba 100 b 100 với mọi a, b
Kết hợp với: a 100 b 100 a 101 b 101 a 102 b 102
Suy ra: 1 a b ab a 1b 1 0
1 1
1 1
1
1 1
1 1
1
102 101
100
102 101
100
a a
a a
b
b b b
b a
Do đó P a 2014 b 2015 1 2014 1 2015 2
0,5 0,5 0,25 0.25
Chú ý:
1 Thí sinh có thể làm bài bằng cách khác, nếu đúng vẫn được điểm tối đa
2 Nếu thí sinh chứng minh bài hình mà không vẽ hình thì không chấm điểm bài hình
