Định lý Ta – lét Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì đường thẳng định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.. a Tính AE AC
Trang 11 ĐỊNH LÍ TALET TRONG TAM GIÁC
I KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Đoạn thẳng tỉ lệ
Hai đoạn thẳng AB
và CD
gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A 'B'
và C'D'
nếu ' '
' '
AB A B
CD =C D
(hoặc ' ' ' '
A B =C D
)
2 Định lý Ta – lét
Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì đường thẳng định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ GT
ABC
D
: DE BC/ / (DÎ AB,E Î AC)
KL
AD AE
AB AC
AD AE
DB EC
DB EC
AB AC
=
=
=
Chú ý: Định lý Ta – lét vẫn đúng trong trường hợp đường thẳng song song với
một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại
III BÀI TẬP
Bài 1: Cho tam giác ABC, các trung tuyến
, ,
AD BE CF
cắt nhau tại G a) Tính
AE AC
b) Tính
AG GD b) Kể hai cặp đoạn thẳng tỉ lệ với AG và GD
Toán Họa
1
Trang 2Bài 2: Cho đoạn thẳng AM, M là một điểm trên đoạn AB Tính các tỉ số
AM AB
và
MB AB
nếu:
1 )
2
MA a
MB =
7 b)
4
MA
MB = n
Bài 3: Cho góc xOy Trên tia Ox, lấy theo thứ tự 2 điểm A, B sao cho
OA 2cm, AB 3cm.= =
Trên tia Oy, lấy điểm C với OC 3cm=
Từ B, kẻ đường thẳng song song với AC cắt Oy tại D Tính độ dài CD
Bài 4: Cho tam giác ACE có AC 11cm.=
Lấy điểm B trên cạnh AC sao cho
BC 6cm=
Lấy điểm D trên cạnh AE sao cho DB ECP
Giả sử AE ED 25,5cm+ =
Hãy tính:
a) Tỉ số
DE
; AE
b) Độ dài các đoạn thẳng AE,DE
và AD
Bài 5: Cho tam giác ABC và điểm D trên cạnh BC sao cho
3 4
BD
BC =
, điểm E trên đoạn AD sao cho
AE 1
AD 3=
Gọi K là giao điểm của BE và AC Tính tỉ số
AK KC
Bài 6: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến và điểm E thuộc đoạn thẳng MC Qua E kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB ở D và cắt AM ở K Qua E kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở F Chứng minh CF DK.=
Bài 7: Cho ∆ABC
Từ D trên cạnh AB, kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC
tại E Trên tia đối của tia CA, lấy điểm F sao cho CF DB.=
Gọi M là giao điểm của DF và BC Chứng minh
DM AC
MF =AB
Toán Họa
2
Trang 3Bài 8: Cho tam giác ABC có đường cao AH Trên AH, lấy các điểm K, I sao cho
AK =KI =IH
Qua I, K lần lượt vẽ các đường thẳng EF/ /BC , MN BC/ / ( E, M
∈
AB, F, N ∈
AC)
a) Tính
MN BC
và
EF
BC
b) Cho biết diện tích của tam giác ABC là 90 cm2 Tính diện tích tứ giác MNFE
Tự luyện:
Bài 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E theo thứ tự trên một đường thẳng Biết
AB 6cm, BC 9cm= = CD=4cm
và
BC =DE
Tính AE.
Bài 2: Cho 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự trên một đường thẳng và
2 3
AD =CD =
a) Nếu BD 10cm=
, tính CB;DA.
b) Chứng minh rằng
5
c) Gọi O là trung điểm của BD Chứng minh rằng
2
OB =OAOC
Bài 3: Cho ∆ABC
có AB 7,5cm=
Trên AB lấy điểm D với
1 2
DB
DA =
a) Tính
,
DA DB
b) Gọi DH, BK lần lượt là khoảng cách từ D, B đến cạnh AC Tính
DH BK c) Cho biết
4,5
AK = cm
Tính HK.
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD Gọi E là một điểm bất kỳ trên cạnh AB Qua E
kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC ở F và kẻ đường thẳng song song với
Toán Họa
3
Trang 4BD cắt AD ở H Đường thẳng kẻ qua F song song với BD cắt CD ở G Chứng minh AH.CD AD.CG.=
HD:
AH AE CF CG
AD AB CB CD
Bài 5: Cho ∆ABC
có AD là đường trung tuyến, G là trọng tâm Qua G kẻ đường thẳng d cắt AB AC, thứ tự tại M N, Chứng minh:
a)
3;
AB AC
AM + AN =
1
BM CN
AM + AN =
;
Bài 6: Cho tam giác ABC AB AC( < )
, đường phân giác AD Qua điểm M là trung điểm của BC kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AB và AC lần lượt tại E
và K Chứng minh:
a) AE=AK
KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ Bài 1:
a) Có E là trung điểm của AC (vì BE là trung
tuyến)
AE 1
AC 2
(tính chất trung điểm của đoạn thẳng)
b) ∆ABC
có các trung tuyến AD, BE,CF cắt nhau tại G
Toán Họa
4
Trang 5AG 2
2
GD = =1
( Glà trọng tâm ∆ABC
)
c) Glà trọng tâm ∆ABC⇒
AG BG CG
GD = GE = GF
⇒ BG
và GE là cặp đoạn thẳng tỉ lệ với AG và GD
⇒CG
và GF là cặp đoạn thẳng tỉ lệ với AG và GD
Bài 2:
a)
+
+
b) Có
+
+
c)
;
+
Bài 3:
Xét ∆OBD
có: AC / /BD (gt)
Toán Họa
5
Trang 6AO OC
(định lí Ta-let trong tam giác) 3.3 4,5( )
2
AB OC
OA
Bài 4:
a) Theo định lý Ta-lét trong ∆ACE
, ta có:
6 11
DE BC DE
AE AC AE
b) Cách 1 Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có:
17 11 + =
DE AE AE
Từ đó tính được AE=16,5cm;DE=9cm
và AD=7,5cm
Cách 2 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
Cách 3 Thay DE=25,5−AE
vào
6 11
=
DE AE
Bài 5: Kẻ DM / /BK M( ∈AC)
Áp dụng định lý Ta-lét trong ∆CBK
, ta có:
3 4
KM BD KM
KC BC KC
(1) Tương tự với ∆ADM
ADM
∆ , ta có:
1 2
=
AK KM
(2)
Từ (1) và (2), tìm được:
3 8
=
AK KC
Bài 6: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến và điểm E thuộc đoạn thẳng MC Qua E kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB ở D và cắt AM ở K Qua E kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở F Chứng minh CF DK.=
Hướng dẫn giải
Chứng minh được ADEF là hình bình hành, từ
đó: EF =AD (1)
Toán Họa
6
Trang 7Kẻ MG AC/ / (G ∈ AB), ta được G là trung điểm của AB Áp dụng định lý Ta-lét
trong ∆ABC
, ta có:
=
CF AC
EF AB
(2) Tương tự với ∆AGM
và ∆ABC
, ta có:
DK MG MG AC
AD AG BG AB
(3)
Từ (1), (2), (3) ta suy ra CF =DK
Bài 7:
Xét ∆ABC
có:DE / /BC
AC AB hay AC EC
(định lí Ta-let trong tam giác) ( )1
Xét ∆DEF
có: DE / /MC (vì DE / /BC )
(định lí Ta-let trong tam giác)( )2
Mà CF =DB
(gt)( )3
nên từ ( )1
, ( )2
và ( )3 ⇒
MF = AB
Bài 8:
a) +) NK/ /CH
1 3
AK AN AN
AH AC AC
MN BC/ /
1 3
MN AN MN
BC AC BC
+) IF/ /CH
2 3
AI AF AF
AH AC AC
EF/ /BC
3
AF
BC AC BC
Toán Họa
7
Trang 8b) MNFE có MN FE/ / và KI ⊥ MN
Do đó MNEF là hình thang có 2 đáy MN,
FE, chiều cao KI
2
1 2BC 1
ç
Toán Họa
8
