TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁCI.. KIẾN THỨC CƠ BẢN Định lý: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấ
Trang 13 TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
I KIẾN THỨC CƠ BẢN
Định lý: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.
ADlà phân giác trong của ∆ABC
Tính chất trên vẫn đúng với phân giác ngoài
AE
(DABC không cân ở A)
EC =AC
II BÀI TẬP
Bài 1: Tính độ dài x, y trong các hình vẽ sau:
Bài 2: Cho tam giác ABC có AB =4 ,cm AC =5 ,cm BC =6 ,cm
các đường phân giác BD và CE cắt nhau ở I.
a) Tính các độ dài AD DC, .
b) Tính các độ dài AE BE, .
Bài 3: Cho tam giác cân ABC có AB =BC.
Đường phân giác góc A cắt BC tại ,
M
đường phân giác góc C cắt BA tại N. Chứng minh MN // AC.
Bài 4: Cho ΔABC có AD, BE, CF là các đường phân giác Chứng minh rằng: 1
AE CD BF
EC DB FA =
Toán Họa
1
Trang 2Bài 5: Cho hình bình hành ABCD Phân giác của µA
và µD
cắt các đường chéo
BD và AC lần lượt tại M và N Chứng minh: MN song song với AD
Bài 6: Cho ΔABCcó phân giácAD, biếtAB =m AC, =n
a) Tính tỉ số diện tích của ΔABDvà ΔACDtheo mvà n
b) Vẽ phân giác DEcủa ∆ADB
và vẽ phân giác DFcủa ∆ADC
Chứng minh rằng:
AF CD BE =AE BDCF
Bài 7: Cho ΔABC, trung tuyến AM, đường phân giác của ·AMB
cắt ABở D, đường phân giác của ·AMC
cắt ACở E a) Chứng minh rằng DE / /BC
b) Gọi Ilà giao điểm của AMvà DE Chứng minh rằng DI IE.=
c) Tính DE, biết BC 30cm,AM 10cm.= =
d) ΔABCphải thêm điều kiện gì để ta có DE AM?=
e) Chứng minh rằng ΔABCcân nếu biết MD ME=
Bài 8: Cho ∆ABC vuông cân tại A Đường cao AH và đường phân giác BE cắt nhau tại I Chứng minh rằng: CE =2 .HI
Tự luyện
Bài 1: Cho tam giác ABC , đường phân giác AD Biết rằng BC = 10cm và 2AB =
3AC
Tính độ dài đoạn thẳng BD và CD
KQ: BD = 6 cm; CD = 4cm.
Bài 2: Gọi AI là đường phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là các đường
phân giác của góc AIC và góc AIB Chứng minh rằng: AN BI CM . =BN IC AM .
Bài 3: Cho tam giác ABC có chu vi bằng 18cm Đường phân giác của góc B cắt
AC tại M , đường phân giác của góc C cắt AB tại N Biết rằng
1; 3
, tính độ dài các cạnh của tam giác ABC
Toán Họa
2
Trang 3KQ: AB = 4cm; AC = 6cm, BC = 8 cm.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB 6cm,AC 8cm,= =
đường phân giác BD a) Tính các độ dài DA, DC
b) Tia phân giác của µC
cắt BD ở I Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh
BIM 90=
KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ
Bài 1:
a) Xét ΔABC có AM là đường phân giác trong nên:
MC =AC
Hay
( )
15 24 3 15.4
20
b) Xét ΔABC có AD là đường phân giác ngoài nên:
DC = AC
(1)
Mà là trung điểm của đoạn thẳng DC nên:
1 2
DB
DC =
(2)
Toán Họa
3
Trang 4Từ (1) và (2) suy ra:
( )
1
8
2 16
y
= ⇒ =
Bài 2: a) Theo tính chất đường phân giác:
Do đó, AD =2 ,cm CD =3 cm
b) Ta có: Theo tính chất đường phân giác:
Do đó,
20 , 24 .
AE = cm BE = cm
Bài 3: AM là phân giác của µA
nên
CM = AC
CN
là phân giác của
µ
C
nên
AN = AC
Lại có: AB =BC.
Suy ra:
AC = AC ⇒ AN =CM ⇒
// AC.
Bài 4: Xét ΔABC, áp dụng tính chất đường phân
giác ta có:
AE AB
EC = BC
(1)
DB = AB
(2)
FA = AC
(3)
Toán Họa
4
Trang 5Nhân (1), (2), (3) theo vế ta được:
AE CD BF AB AC BC
EC DB FA = BC AB AC =
Bài 5: Gọi O là giao điểm của BD và AC
Xét tam giác ABD, phân giác AM, ta có:
=
AB BM
AD DM
Tương tự,
=
CD CN
AD AN
;
Mà AB =CD , suy ra
=
BM CN
Từ đó, ta có:
Suy ra MN AD/ / .
Bài 6: a) Vẽ đường cao AHcủa ∆ABC
.Vì ΔABCcó phân giácADnên:
CD =AC = n
Vậy
1. . 2
1. . 2
ABD ACD
AH BD
D D
b) Ta có:
CF =CD
(do DFlà phân giác ·ADC
)
AE =AD
(do DElà phân giác ·ADB
)
AF CD BE AD CD BD
CF BD AE CD BD AD
AF CD BE AE BDCF
Bài 7: a) Ta có
Toán Họa
5
Trang 6BD MB
AD =MA
(do MDlà phân giác của ·AMB
)
CE MC
AE=MA
(do MElà phân giác của ·AMC
)
Mà MB =MC (Mlà trung điểm của BC)
BD CE
DE / /BC
AD AE
b) Xét ∆ABM
và ∆ACM
lần lượt có DI / /BMvà EI / /CM
DI EI AI
BM CM AM
= = ÷
Mà BM CM= ⇒ DI EI =
c) Ta có:
BD MB
AD=MA
Mà
BD IM
AD = AI
(do DI / /BM)
BM IM
AM AI
Ta lại có:
BM AM
DI = AI
( do DI / /BM)
15.10 150 6
10 15 25
BM AM DI
2 2.6 12
(do
1
DI IE DE
2
= =
) d) Để DE AM=
ta cần tứ giác ADMElà hình chữ nhật Hay
DM / /AE,EM / /AD,BAC 90=
Khi
BAC 90 =
thì AM MB MC= =
(đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC) ABM, ACM
cân tại M
Toán Họa
6
Trang 7MD AB,ME AC
(đường phân giác của tam giác cân đồng thời là đường cao
Mà AB⊥AC
Suy ra DM / /AE,EM / /AD Suy ra tứ giác ADMElà hình chữ nhật Vậy ∆ABC
vuông tại Athì DE AM=
e) Khi DM EM=
thì ∆DME
cân tại Mcó MIlà trung tuyến (DI IE=
) nên đồng thời
là đường cao ⇒MI⊥DE
Mà DE / /BC(cmt) nên MI⊥BC
ABC
∆
có AIvừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên là tam giác cân
Bài 8: Ta có
AIE BAH ABI (A B) 45 B 45 C AEI
Suy ra ∆AIE cân tại A ⇒ AI =AE (1)
Áp dụng tính chất đường phân giác của ∆ABH và ∆BAC
ta có:
IH BH AB BH
IA =BA⇒ AI = IH
(2);
EC BC AB BC
EA =BA⇒ AE = EC
(3)
Từ (2) và (3) suy ra:
BH BC
(4)
IH = EC
Vì ∆ABC vuông cân tại A nên BC =2.BH
Từ đó kết hợp với (4) suy ra EC =2.IH
I H B
Toán Họa
7
