CHỦ đề 21 ĐỊNH lý TA – lét TRONG TAM GIÁC

Định lý Ta – lét Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì đường thẳng định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.. Chứng minh đ

BÀI 1 ĐỊNH LÝ TA – LÉT TRONG TAM GIÁC

I Tóm tắt lý thuyết

1 Đoạn thẳng tỉ lệ

Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A 'B ' và C ' D ' nếu AB A 'B '

CD C ' D ' (hoặc AB CD

A 'B ' C ' D ' )

2 Định lý Ta – lét

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì đường thẳng định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

E D

C B

A

GT ABC : DE BC

DAB, EAC

KL

AD AE

AB AC

AD AE

DB EC

DB EC

AB AC







II Các dạng bài tập

Dạng 1 Chứng minh đoạn thẳng tỉ lệ, tính độ dài đoạn thẳng hoặc tính tỉ số của hai đoạn

thẳng

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa đoạn thẳng tỉ lệ và các tính chất của tỉ lệ thức.

CD 8cm

a) Tính các tỉ số AB

BC và BC

CD b) Chứng minh 2

BC AB.CD

Hướng Dẫn:

a) Ta có 1

2

AB

2

BC

CD 

b) Ta có BC2 AB CD 16cm2

BC 5 và BC 5

CD 6 a) Tính tỉ số AB

CD

b) Cho biết AD 28cm Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BC và CD.

Hướng Dẫn:

a) Ta có 1

2

AB

CD 

b) Ta tính được AB6cm BC, 10cm và CD 12cm

AB AC

a) Chứng minh AD AE

BD EC b) Cho biết AD 2cm,BD 1cm  và AE 4cm Tính AC

Hướng Dẫn:

a) Theo tính chất của tỉ lệ thức, ta có: AD AE

AB AC

  (ĐPCM)

b) Ta có AD AE

BD EC Thay số ta tính được EC 2cm

Từ đó tìm được AC 6cm

Bài 4: Cho hình vẽ bên:

E D

C B

A

Biết BD CE

AB AC

a) Chứng minh AD AE

AB AC b) Cho biết AD=2cm, BD=1cm và AC4cm Tính EC

Hướng Dẫn:

a) HS tự làm b) Tìm được 4

3

EC cm

Dạng 2 Sử dụng định lý Ta – lét để tính tỉ số đoạn thẳng, tính độ dài đoạn thẳng

Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước:

Bước 1 Xác định cặp đoạn thẳng tỉ lệ có được nhờ định lý Ta – lét

Bước 2 Sử dụng độ dài đoạn thẳng đã có và vận dụng các tính chất của tỉ lệ thức để tìm độ

dài đoạn thẳng cần tính

D trên cạnh AE sao cho DB EC Giả sử AE ED 25,5cm  Hãy tính:

a) Tỉ số DE;

AE b) Độ dài các đoạn thẳng AE,DE và AD

Hướng Dẫn:

a) Theo định lý Ta-lét trong ACE

11

AE AC  AE 

b) Cách 1 Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có: 17

11

DE AE AE





Từ đó tính được AE16,5cm DE; 9cm và AD7,5cm

Cách 2 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Cách 3 Thay DE25,5 AE vào 6

11

DE

AE 

điểm E trên cạnh AC sao cho DE BC Giả sử EC AE 1,5cm  Hãy tính:

a) Tỉ số AE;

EC b) Độ dài các đoạn thẳng AE,EC và AC

Hướng Dẫn:

HS tự làm

Đáp số: AE2cm EC; 3,5cm và AC5,5cm

BC 4, điểm E trên đoạn AD sao cho

AE 1

AD 3 Gọi K là giao điểm của BE và AC Tính tỉ số AK

KC Hướng Dẫn:

Kẻ DM / /BK M AC

Áp dụng định lý Ta-lét trong CBK , ta có:

3 4

KC BC  KC  (1)

Tương tự với ADM , ta có: 1

2

AK

KM  (2)

Từ (1) và (2), tìm được: 3

8

AK

KC 

4

 Gọi E là giao

điểm của AG và BD Tính tỉ số DE

DB Hướng Dẫn:

Chú ý DCAB nên 1 1

AB EB   DB 

Dạng 3 Sử dụng định lý Ta – lét để chứng minh hệ thức cho trước

Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Xác định các cặp đoạn thẳng tỉ lệ có được nhờ định lý Ta – lét.

Bước 2: Vận dụng các tính chất của tỉ lệ thức và các kiến thức cần thiết khác để chứng minh

được hệ thức đề bài yêu cầu

Bài 1: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD Một đường thẳng song song với AB cắt các

cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở E và F Chứng minh ED BF 1

ADBC  Hướng Dẫn:

Ta có: ED FC

ADBC nên ED BF FC BF 1

AD BC BC BC 

Bài 2: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD, các đường chéo cắt nhau tại O Chứng

minh OA.OD OB.OC.

Hướng Dẫn:

Vì AB//CD, áp dụng định lý Ta-lét, ta có: OA OB

OC OD

Từ đó suy ra ĐPCM

Bài 3: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến và điểm E thuộc đoạn thẳng MC Qua E kẻ đường

thẳng song song với AC, cắt AB ở D và cắt AM ở K Qua E kẻ đường thẳng song song với AB, cắt

AC ở F Chứng minh CF DK.

Hướng Dẫn:

Chứng minh được ADEF là hình bình hành, từ đó: EF=AD (1)

Kẻ MG//AC (G AB), ta được G là trung điểm của AB Áp dụng định lý Ta-lét trong

ABC

 , ta có: CF AC

EF AB (2) Tương tự với AGM và ABC, ta có:

AD AG BG AB (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra CF = DK

Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn, M là trung điểm của BC và H là trực tâm Đường thẳng qua H và

vuông góc với MH cắt AB và AC theo thứ tự ở I và K Qua C kẻ đường thẳng song song với IK, cắt AH và AB theo thứ tự ở N và D Chứng minh:

a) NC ND b) HI HK.

Hướng Dẫn:

a) Chứng minh được M là trực tâm HNCnên: MN HC, từ đó suy ra MN/ /AB hay

/ /

MN DB Theo tính chất đường trung bình ta có N là trung điểm của CD

b) Ta có IH/ /DN và HK/ /NCnên chứng minh được HI HK

DN NC Từ đó suy ra HI = HK

Bài tập tự luyện

2

CA

CB 

a) Tính độ dài CB

b) Lấy Dthuộc tia đối cuả tia BA sao cho 3

2

DA

DB  Trong ba điểm A B D; ; điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? tính độ dài DB

c) Tính dộ dài CD

Hướng Dẫn:

D

A

     (vì Cnằm giữa A và B)

4( )

CB

Cách 2: Đăt CB x thì CA10 xTa có: 3

2

CA

CB  nên 10 3 3 20 2 4( )

2

x

CB



b) Nếu điểm Dnằm giữa hai điểm còn lại thì trái với giả thiếtD thuộc tia đối của tia BA

Nếu điểm A nằm giữa hai điểm còn lại thì DA AB DB   DA DB , trái với 3

2

DA

DB

Vậy B nằm giữa hai điểm A và D

     (vì B nằm giữa A và D)

20( )

DB

c) B nằm giữa C và D CD CB BD    4 20 24(  cm)

Bài 2: Cho đoạn thẳng AB5cm.Trên tia đối của tia AB lấy điểm C sao cho CA CB : 3: 4 Tính

độ dài AC

Hướng Dẫn:

A B C

Cách 1 Đặt ACx Giải 



x 5 4 được x 15

Cách 2     



CA CB CB CA BA

5

3 4 4 3 1 nên CA 15cm

Bài 3: Cho đoạn thẳng AB12cm Điểm C chia trong đoạn thẳng AB theo tỉ số 1: 3, điểm D chia trong đoạn thẳng BA theo tỉ số 1: 3

a) Giải thích vì sao điểm C nằm giữa A và D

b) Tính độ dàiCD

Hướng Dẫn:

D

a) Tính độ dài AC được 3 cm, Tính độ dài AD được 9cm Trên tia AB ta có các điểm C

và D mà ACAD nên C nằm giữa A và D

b) Theo câu a ta có AC CD AD  3 CD 9   CD 6cm

Bài 4: Cho tam giác ABC Một đường thẳng song song với BC cắt các cạnh AB và AC theo thứ tự

ở D và E

a) Biết AE 3, BC 28cm

EC 4  Tính độ dài DE

b) Biết AD EC

DB AE Chứng minh rằng D, E thứ tự là trung điểm của AB, AC

Hướng Dẫn:

Hình 4

E

A

D

a) Từ AE 3

EC 4 suy ra AE 3

AE EC  3 4  tức là AE 3

AC7

Áp dụng định lí Talet trong ABC với DE//BC, ta có:

DE 12 (cm)

b) Áp dụng định lí Talet trong ABC với DE//BC, ta có:

DBEC mà AD EC

DBAE (giả thiết) nên AE EC

EC AE , do đó EC 2  AE 2 Vậy EC AE

Suy ra DB AD 

giao điểm của AD và BC Đường thẳng KO cắt AB, CD thứ tự ở M, N Chứng minh rằng:

a) MA MB

b) MA MB

c) MA MB, NC ND  

Hướng Dẫn:

M

N O K

a)Áp dụng định lí Talet vào các tam giác KDN, KNC với AB//CD

Ta có: MA KM MB, KM

ND NC (1)

b)Áp dụng định lí định lí Talet vào các tam giác ONC, OND với AB//CD , ta có:

,

c) Nhân từng vế (1) với (2) ta được:

2 2

Do đó :NC ND

3

CD BD  Tính độ dài AD

Hướng Dẫn: AD = 14 cm

CB 5 Tính độ dài các đoạn CA, CB và khoảng cách từ C đến trung điểm O của AB

Hướng Dẫn:

Tính được CA12cm CB, 30cm CO, 9cm

Bài 8: Cho tam giác ABC, điểm M bất kỳ trên cạnh AB Qua M kẻ đường thẳng song song với

BC cắt AC ở N Biết AM 11cm,MB 8cm,AC 38cm.   Tính độ dài các đoạn AN, NC

Hướng Dẫn:

Tương tự 2A Tính được AN = 22cm, NC = 16cm

Bài 9: Cho xAy , trên tia Ax lấy hai điểm D và E, trên tia Ay lấy hai điểm F và G sao cho

FD EG. Đường thẳng kẻ qua G song song với FE cắt tia Ax ở H Chứng minh 2

AE AD.AH Hướng Dẫn:

Chứng minh được

Từ đó suy ra ĐPCM

Bài 10: Cho hình bình hành ABCD Gọi E là một điểm bất kỳ trên cạnh AB Qua E kẻ đường

thẳng song song với AC cắt BC ở F và kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD ở H Đường thẳng kẻ qua F song song với BD cắt CD ở G Chứng minh AH.CDAD.CG

Hướng Dẫn:

Áp dụng định lý Ta-lét trong các

,

ADB ABC

  và BCD ta có:

AD AB CB CD

Từ đó  AH CD AD CG.

Bài 11: Cho tam giác ABC vuông cân có C 900 Từ C kẻ 1 tia vuông góc với trung tuyến AM cắt AB ở D Hãy tính tỉ số BD

DA

Hướng Dẫn:

Kẻ CH  AB tại H vì tam giác ABC vuông cân tại C nên đường cao CH đồng thời là đường trung tuyến

Gọi G là giao điểm AH và AM

Suy ra G là trong tâm tam giác ABC AG 2

GM

Trong tam giác ACD có CH AG CD AD

  H là trực tâm tam giác ADC

Suy ra DGAC

Ta lại có BCAC nên BC//DG

Hay DG//BM AG AD

  (định lí Talet)

Mà AG 2

GM  do đó AD 2

Vậy 1

2

BD

Bài 12: Cho tam giác ABC, G là trọng tâm Qua G vẽ đường thẳng song song với cạnh AC, cắt

các cạnh AB, BC lần lượt ở D và E Tính độ dài đoạn thẳng DE, biết DA+EC=16cm và chu vi tam giác ABC bằng 75cm

Hướng Dẫn:

Vẽ DN // BC  DNCE là hbh  DE = NC Và DB=2DA, DE = 18 cm

Bài 13: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Đường thẳng song song hai đáy cắt cạnh AD tại M,

cắt cạnh BC tại N sao cho MD = 3MA

a) Tính tỉ số NB

NC .

b) Cho AB = 8cm, CD = 20cm Tính MN

Hướng Dẫn:

a) Vẽ AQ // BC, cắt MN tại P  ABNP, PNCQ là các hbh  NB

NC

1 3

b) Vẽ PE // AD  MPED là hbh  MN = 11 cm

Bài 14: Cho tam giác ABC Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm B, C sao cho

 Qua B vẽ đường thẳng a song song với BC, cắt cạnh AC tại C

a) So sánh độ dài các đoạn thẳng AC và AC

b) Chứng minh BC // BC

Hướng Dẫn:

a) AC = AC b) C trùng với C  BC // BC

Bài 15: Cho tam giác ABC, đường cao AH Đường thẳng a song song với BC cắt các cạnh AB,

AC và đường cao AH lần lượt tại B, C, H

a) Chứng minh AH B C

b) Cho AH 1AH

3

  và diện tích tam giác ABC là 67,5cm2 Tính diện tích tam giác ABC Hướng Dẫn:

b) S AB C 1S ABC 7,5cm2

9

  

Bài 16: Cho tam giác ABC Gọi D là điểm chia cạnh AB thành hai đoạn thẳng có độ dài AD =

13,5cm, DB = 4,5cm Tính tỉ số các khoảng cách từ các điểm D và B đến cạnh AC

Hướng Dẫn:

Vẽ BM  AC, DN  AC  DN

BM 0,75.

Bài 17: Cho tam giác ABC có BC = 15cm Trên đường cao AH lấy các điểm I, K sao cho AK =

KI = IH Qua I và K vẽ các đường thẳng EF // BC, MN // BC (E, M  AB; F, N  AC)

a) Tính độ dài các đoạn thẳng MN và EF

b) Tính diện tích tứ giác MNFE, biết rằng diện tích của tam giác ABC là 270cm2

Hướng Dẫn:

a) EF = 10 cm, MN = 5cm b) S MNFE 1S ABC 90cm2

3

Bài 18: Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo Qua điểm I thuộc đoạn OB, vẽ

đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt các cạnh AB, BC và các tia DA, DC theo thứ tự tại các điểm M, N, P, Q

a) Chứng minh: IM IB

OA OB và

IM IB OD

IP ID OB. .

b) Chứng minh: IM IN

IP IQ .

Hướng Dẫn:

Sử dụng định lí Ta-lét.

Bài 19: Cho hình bình hành ABCD Gọi E là trung điểm của cạnh AB, F là trung điểm của cạnh

CD Chứng minh rằng hai đoạn thẳng DE và BF chia đường chéo AC thành ba đoạn bằng nhau

HD: Gọi M, N lần lượt là giao điểm của DE và BF với AC Chứng minh: AM = MN = NC

Bài 20: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Vẽ đường thẳng song song với cạnh AB, cắt cạnh AD

ở M, cắt cạnh BC ở N Biết rằng DM CN m

MA NB n Chứng minh rằng:

mAB nCD MN

m n





Hướng Dẫn:

Gọi E là giao điểm của MN với AC Tính được EN m AB ME n CD

Bài 21: Cho tứ giác ABCD có các góc B và D là góc vuông Từ một điểm M trên đường chéo AC,

vẽ MN  BC, MP  AD Chứng minh: MN MP

AB CD 1.

Hướng Dẫn:

Tính riêng từng tỉ số MN MP

AB CD; , rồi cộng lại.

Bài 22: Cho hình bình hành ABCD Một cát tuyến qua D, cắt đường chéo AC ở I và cắt cạnh BC

ở N, cắt đường thẳng AB ở M

a) Chứng minh rằng tích AM.CN không phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến qua D

b) Chứng minh hệ thức: ID2IM IN.

Hướng Dẫn:

a) AM AI AD

DC IC CN b) IC ID IN

IA IM IB

Bài 23: Cho tam giác ABC Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm B, C

Chứng minh: ABC

AB C

S   AB AC.  Hướng Dẫn:

Vẽ các đường cao CH và CH  AC CH

ACC H 

Bài 24: Cho tam giác ABC Trên các cạnh AB, BC, CD lấy lần lượt các điểm D, E, F sao cho

AD 1AB

4

4

4

 Tính diện tích tam giác DEF, biết rằng diện tích tam giác ABC bằng a cm2( 2)

Hướng Dẫn:

BED CEF ADF ABC

16

16

BK

1 2

 Trên cạnh BC lấy điểm L sao cho CL

BL

2 1

 Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AL và CK Tính diện tích tam giác ABC, biết diện tích tam giác BQC bằng a cm2( 2)

Hướng Dẫn:

Vẽ LM // CK BLQ CLQ

BLA CLA

4 7

   S ABC 7S BQC 7 ( )a cm2 2

Bài 26: Cho tam giác ABC Trên các cạnh AB, BC, CA lấy lần lượt các điểm D, E, F sao cho:

AD BE CF

AB BC CA

1 3

Tính diện tích tam giác tạo thành bởi các đ/thẳng AE, BF, CD, biết diện tích tam giác ABC là S Hướng Dẫn:

Gọi M, P, T lần lượt là giao điểm của AE và CD, AE và BF, BF và CD

Qua D vẽ DD// AE Tính được DD CM



MPT ABC CMA APB BTC

7