Trên hình 1, vị trí của vật tại mỗi thời điểm được xác định bằng góc φ giữa một mặt phẳng động P gắn với vật và một mặt phẳng cố định P 0 hai mặt phẳng này đều chứa trục quay Az.. Vận tố
Trang 1GV : Nguyễn Xuân Trị - 0937 944 688
1
Chương I ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN
CHỦ ĐỀ 1 CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH
A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Toạ độ góc
Khi vật rắn quay quanh một trục cố định (hình 1) thì:
- Mỗi điểm trên vật vạch một đường tròn nằm trong mặt phẳng vuông
góc với trục quay, có bán kính r bằng khoảng cách từ điểm đó đến trục quay,
có tâm O ở trên trục quay.
- Mọi điểm của vật đều quay được cùng một góc trong cùng một khoảng
thời gian
Trên hình 1, vị trí của vật tại mỗi thời điểm được xác định bằng góc φ
giữa một mặt phẳng động P gắn với vật và một mặt phẳng cố định P 0 (hai
mặt phẳng này đều chứa trục quay Az) Góc φ được gọi là toạ độ góc của vật.
Góc φ được đo bằng rađian, kí hiệu là rad.
Khi vật rắn quay, sự biến thiên của φ theo thời gian t thể hiện quy luật
chuyển động quay của vật
2 Tốc độ góc
Tốc độ góc là đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của chuyển
động quay của vật rắn
Ở thời điểm t, toạ độ góc của vật là φ Ở thời điểm t + Δt, toạ độ góc của
vật là φ + Δφ Như vậy, trong khoảng thời gian Δt, góc quay của vật là Δφ.
Tốc độ góc trung bình ωtb của vật rắn trong khoảng thời gian Δt là :
t tb
∆
∆
Tốc độ góc tức thời ω ở thời điểm t (gọi tắt là tốc độ góc) được xác định bằng giới hạn của tỉ số
t
∆
∆ khi cho
Δt dần tới 0.
Như vậy :
t
∆
=
→
∆
0 lim hay ='(t)
- Nếu =constthì vật rắn quay đều
- Nếu ≠constthì vật rắn quay không đều
Đơn vị của tốc độ góc là rad/s.
3 Gia tốc góc
Tại thời điểm t, vật có tốc độ góc là ω Tại thời điểm t + Δt, vật có tốc độ góc là ω + Δω Như vậy, trong khoảng thời gian Δt, tốc độ góc của vật biến thiên một lượng là Δω.
Gia tốc góc trung bình γtb của vật rắn trong khoảng thời gian Δt là :
t tb
∆
∆
Gia tốc góc tức thời γ ở thời điểm t (gọi tắt là gia tốc góc) được xác định bằng giới hạn của tỉ số
t
∆
∆ khi cho
Δt dần tới 0 Như vậy :
t
∆
=
→
∆
0 lim hay ='(t)=''(t)
Đặc trưng của chuyển động này là gia tốc góc Nếu lấy chiều quay của vật làm chiều dương (chiều quay ) thì:
-Nếu >0,>0(tăng): vật quay nhanh dần
-Nếu >0,<0(giảm): vật quay chậm dần
-Nếu =0,=const: vật rắn quay đều
Chú ý: Khi gia tốc góc và vận tốc góc cùng dấu thì chuyển động nhanh dần, còn ngược lại là chậm dần
Đơn vị của gia tốc góc là rad/s 2
P0
P
A z
Hình 1
Trang 2GV : Nguyễn Xuân Trị - 0937 944 688
2
4 Các phương trình động học của chuyển động quay
a. Trường hợp tốc độ góc của vật rắn không đổi theo thời gian (ω = const, γ = 0) thì chuyển động quay của
vật rắn là chuyển động quay đều.
Chọn gốc thời gian t = 0 lúc mặt phẳng P lệch với mặt phẳng P 0 một góc φ 0, ta có : φ = φ 0 + ωt
b. Trường hợp gia tốc góc của vật rắn không đổi theo thời gian (γ = hằng số) thì chuyển động quay của vật
rắn là chuyển động quay biến đổi đều.
Các phương trình của chuyển động quay biến đổi đều của vật rắn quanh một trục cố định :
t
= 0 +
2 0
0
2
1
t
= + +
) (
2 0
trong đó φ 0 là toạ độ góc tại thời điểm ban đầu t = 0.
ω 0 là tốc độ góc tại thời điểm ban đầu t = 0.
φ là toạ độ góc tại thời điểm t.
ω là tốc độ góc tại thời điểm t.
γ là gia tốc góc (γ = hằng số).
Nếu vật rắn chỉ quay theo một chiều nhất định và tốc độ góc tăng dần theo thời gian thì chuyển động quay là
nhanh dần.
Nếu vật rắn chỉ quay theo một chiều nhất định và tốc độ góc giảm dần theo thời gian thì chuyển động quay là
chậm dần.
5 Vận tốc và gia tốc của các điểm trên vật quay
Tốc độ dài v của một điểm trên vật rắn liên hệ với tốc độ góc ω của vật rắn và bán
kính quỹ đạo r của điểm đó theo công thức :
r
Nếu vật rắn quay đều thì mỗi điểm của vật chuyển động tròn đều Khi đó vectơ vận
tốc v
của mỗi điểm chỉ thay đổi về hướng mà không thay đổi về độ lớn, do đó mỗi
điểm của vật có gia tốc hướng tâm an
với độ lớn xác định bởi công thức :
r r
v
2
=
=
Nếu vật rắn quay không đều thì mỗi điểm của vật chuyển động tròn không đều Khi đó vectơ vận tốc v
của mỗi điểm thay đổi cả về hướng và độ lớn, do đó mỗi điểm của vật có gia tốc a
(hình 2) gồm hai thành phần : + Thành phần an
vuông góc với v
, đặc trưng cho sự thay đổi về hướng của v
, thành phần này chính là gia tốc hướng tâm, có độ lớn xác định bởi công thức :
r r
v
2
=
= + Thành phần at
có phương của v
, đặc trưng cho sự thay đổi về độ lớn của v
, thành phần này được gọi là
gia tốc tiếp tuyến, có độ lớn xác định bởi công thức :
r t
v
∆
∆
=
Vectơ gia tốc a
của điểm chuyển động tròn không đều trên vật là :
t
a
a +
=
Về độ lớn : a = an2 + at2
Vectơ gia tốc a
của một điểm trên vật rắn hợp với bán kính OM của
nó một góc α, với :
2 tan
= =
n
t a a
v
t
a
n
a
a
r
O
M
Hình 2
Trang 3GV : Nguyễn Xuân Trị - 0937 944 688
3
6 Các công thức của chuyển động quay cần nhớ
= + ;
R
v
=
v= +v0 at; v=R
2
1 2
= + + ;
R
s
=
1 2
s= +s v t+ at
v − =v a s−s
2
n
a = R
R
v
a n
2
=
R
a t
=
Gia tốc toàn phần:
+
=
+
=
2 2 2
t n
t n a a a
a a
a
7 Các chú ý:
+ Trong chuyển động quay của vật rắn mọi điểm trên vật rắn đều có cùng vận tốc góc và gia tốc góc
+ Trong chuyển động quay của vật rắn các điểm có khoảng cách đến trục quay càng lớn sẽ có vận tốc dài và gia tốc tiếp tuyến càng lớn
+ a t >0hay >0chuyển động quay nhanh dần, a t <0hay <0chuyển động quay chậm dần
8 So sánh các đại lượng đặc trưng của chuyển động quay và chuyển động thẳng
Tọa độ góc ban đầu (lúc t = 0) là0 Tọa độ ban đầu làx0
Vận tốc góc
dt
d
dt
dx
v=
Gia tốc góc
dt
d
dt
dv
a =
Phương trình chuyển động quay đều:
Vận tốc góc =const
Phương trình tọa độ góc =0 +t
Phương trình chuyển động thẳng đều:
Vận tốc v=const
Phương trình tọa độ: x =x0 +vt
Phương trình chuyển động quay biến đổi đều:
Phương trình vận tốc góc =0 +t
2
1
t
= + +
Phương trình chuyển động quay biến đổi đều:
Phương trình vận tốc v=v0+at
2
1
at t v x
B CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Một vật rắn đang quay xung quanh một trục cố định đi qua vật, một điểm xác định trên vật rắn ở cách trục
quay khoảng r ≠ 0 có độ lớn vận tốc dài là một hằng số Tính chất chuyển động của vật rắn đó là
A quay đều B quay nhanh dần C quay chậm dần D quay biến đổi đều
Câu 2: Khi một vật rắn quay đều quanh một trục cố định đi qua vật thì một điểm xác định trên vật ở cách trục
quay khoảng r ≠ 0 có
A vectơ vận tốc dài biến đổi B vectơ vận tốc dài không đổi
Câu 3: Một vật rắn đang quay đều quanh một trục cố định đi qua vật Vận tốc dài của một điểm xác định trên vật
rắn ở cách trục quay khoảng r ≠ 0 có độ lớn
Trang 4GV : Nguyễn Xuân Trị - 0937 944 688
4
Câu 4: Một vật rắn đang quay đều quanh một trục cố định đi qua vật Một điểm xác định trên vật rắn ở cách trục
quay khoảng r ≠ 0 có
A vận tốc góc biến đổi theo thời gian B vận tốc góc không biến đổi theo thời gian
C gia tốc góc biến đổi theo thời gian D gia tốc góc có độ lớn khác không và không đổi theo thời gian
Câu 5: Một vật rắn đang quay xung quanh một trục cố định xuyên qua vật Các điểm trên vật rắn (không thuộc
trục quay)
A quay được những góc không bằng nhau trong cùng một khoảng thời gian
B ở cùng một thời điểm, không cùng gia tốc góc
C ở cùng một thời điểm, có cùng vận tốc dài
D ở cùng một thời điểm, có cùng vận tốc góc
Câu 6: Phát biểu nào sau đây là không đúng đối với chuyển động quay đều của vật rắn quanh một trục ?
A Tốc độ góc là một hàm bậc nhất của thời gian
B Gia tốc góc của vật bằng 0
C Trong những khoảng thời gian bằng nhau, vật quay được những góc bằng nhau
D Phương trình chuyển động (phương trình toạ độ góc) là một hàm bậc nhất của thời gian
Câu 7: Phát biểu nào sau đây là không đúng đối với chuyển động quay nhanh dần đều của vật rắn quanh một
trục ?
A Tốc độ góc là một hàm bậc nhất của thời gian
B Gia tốc góc của vật là không đổi và khác 0
C Trong những khoảng thời gian bằng nhau, vật quay được những góc không bằng nhau
D Phương trình chuyển động (phương trình toạ độ góc) là một hàm bậc nhất của thời gian
Câu 8: Khi vật rắn quay đều quanh một trục cố định thì một điểm trên vật rắn cách trục quay một khoảng r có tốc
độ dài là v Tốc độ góc ω của vật rắn là
A v
r
r
v2
=
v
r
=
Câu 9: Khi vật rắn quay đều quanh một trục cố định với tốc độ góc ω (ω = hằng số) thì một điểm trên vật rắn
cách trục quay một khoảng r có tốc độ dài là v Gia tốc góc γ của vật rắn là
A =0 B
r
v2
=
C =2r D =r
Câu 10: Hai học sinh A và B đứng trên chiếc đu đang quay tròn, A ở ngoài rìa, B ở cách tâm một đoạn bằng nửa
bán kính của đu Gọi ωA, ωB, γA, γB lần lượt là tốc độ góc và gia tốc góc của A và B Kết luận nào sau đây là đúng
A ωA= ωB, γA = γB B ωA > ωB, γA > γB C ωA < ωB, γA = 2γB D ωA = ωB, γA > γB
Câu 11: Hai học sinh A và B đứng trên chiếc đu đang quay tròn đều, A ở ngoài rìa, B ở cách tâm một đoạn bằng
nửa bán kính của đu Gọi v A , v B , a A , a B lần lượt là tốc độ dài và gia tốc dài của A và B Kết luận nào sau đây là
đúng ?
A vA= vB, aA = 2aB B vA = 2vB, aA = 2aB C vA = 0,5vB, aA = aB D vA = 2vB, aA = aB
Câu 12: Một cánh quạt dài 20 cm, quay với tốc độ góc không đổi ω = 112 rad/s Tốc độ dài của một điểm ở trên
cánh quạt và cách trục quay của cánh quạt một đoạn 15 cm là
Câu 13: Một cánh quạt dài 20 cm, quay với tốc độ góc không đổi ω = 90 rad/s Gia tốc dài của một điểm ở vành
cánh quạt bằng
A 18 m/s2 B 1800 m/s2 C 1620 m/s2 D 162000 m/s2
Câu 14: Một cánh quạt của máy phát điện chạy bằng sức gió có đường kính khoảng 80 m, quay đều với tốc độ 45
vòng/phút Tốc độ dài tại một điểm nằm ở vành cánh quạt bằng
Câu 15: Một bánh quay nhanh dần đều quanh trục cố định với gia tốc góc 0,5 rad/s2 Tại thời điểm 0 s thì bánh xe
có tốc độ góc 2 rad/s Hỏi đến thời điểm 6 s thì bánh xe có tốc độ góc bằng bao nhiêu ?
Câu 16: Từ trạng thái đứng yên, một bánh xe bắt đầu quay nhanh dần đều quanh trục cố định và sau 2 giây thì
bánh xe đạt tốc độ 3 vòng/giây Gia tốc góc của bánh xe là
A 1,5 rad/s2 B 9,4 rad/s2 C 18,8 rad/s2 D 4,7 rad/s2
Câu 17: Một cánh quạt dài 22 cm đang quay với tốc độ 15,92 vòng/s thì bắt đầu quay chậm dần đều và dừng lại
sau thời gian 10 giây Gia tốc góc của cánh quạt đó có độ lớn bằng bao nhiêu ?
Trang 5GV : Nguyễn Xuân Trị - 0937 944 688
5
A 10 rad/s2 B 100 rad/s2 C 1,59 rad/s2 D 350 rad/s2
Câu 18: Tại thời điểm t = 0, một vật rắn bắt đầu quay quanh một trục cố định xuyên qua vật với gia tốc góc
không đổi Sau 4 s nó quay được một góc 20 rad Góc mà vật rắn quay được từ thời điểm 0 s đến thời điểm 6 s là
Câu 19: Một vật rắn đang quay quanh một trục cố định xuyên qua vật với tốc độ góc 20 rad/s thì bắt đầu quay
chậm dần đều và dừng lại sau 4 s Góc mà vật rắn quay được trong 1 s cuối cùng trước khi dừng lại (giây thứ tư tính từ lúc bắt đầu quay chậm dần) là
Câu 20: Một vật rắn quay quanh một trục cố định xuyên qua vật với phương trình toạ độ góc : = +t2, trong
đó tính bằng rađian (rad) và t tính bằng giây (s) Gia tốc góc của vật rắn bằng
A rad/s2 B 0,5 rad/s2 C 1 rad/s2 D 2 rad/s2
Câu 21: Một vật rắn quay quanh một trục cố định xuyên qua vật với phương trình tốc độ góc : =2+0,5t,
trong đó tính bằng rađian/giây (rad/s) và t tính bằng giây (s) Gia tốc góc của vật rắn bằng
A 2 rad/s2 B 0,5 rad/s2 C 1 rad/s2 D 0,25 rad/s2
Câu 22: Một vật rắn quay quanh một trục cố định xuyên qua vật với phương trình toạ độ góc : =1,5+0,5t,
trong đó tính bằng rađian (rad) và t tính bằng giây (s) Một điểm trên vật và cách trục quay khoảng r = 4 cm
thì có tốc độ dài bằng
A 2 cm/s B 4 cm/s C 6 cm/s D 8 cm/s
Câu 23: Một vật rắn quay quanh một trục cố định xuyên qua vật Góc quay φ của vật rắn biến thiên theo thời gian
t theo phương trình : =2+2t+t2, trong đó tính bằng rađian (rad) và t tính bằng giây (s) Một điểm trên vật rắn và cách trục quay khoảng r = 10 cm thì có tốc độ dài bằng bao nhiêu vào thời điểm t = 1 s ?
A 0,4 m/s B 50 m/s C 0,5 m/s D 40 m/s
Câu 24: Phương trình nào dưới đây diễn tả mối liên hệ giữa tốc độ góc ω và thời gian t trong chuyển động quay
nhanh dần đều quanh một trục cố định của một vật rắn ?
A = + 2 4t (rad/s) B =3−2t (rad/s)
C =2+4t+2t2 (rad/s) D =3−2t+4t2 (rad/s)
Câu 25: Một vật rắn quay quanh một trục cố định xuyên qua vật Góc quay φ của vật rắn biến thiên theo thời gian
t theo phương trình : = +t+t2, trong đó tính bằng rađian (rad) và t tính bằng giây (s) Một điểm trên vật rắn và cách trục quay khoảng r = 10 cm thì có gia tốc dài (gia tốc toàn phần) có độ lớn bằng bao nhiêu vào thời
điểm t = 1 s ?
A 0,92 m/s2 B 0,20 m/s2 C 0,90 m/s2 D 1,10 m/s2
Câu 26: Một bánh đà đang quay với tốc độ 3 000 vòng/phút thì bắt đầu quay chậm dần đều với gia tốc góc có độ
lớn bằng 20,9 rad/s2 Tính từ lúc bắt đầu quay chậm dần đều, hỏi sau khoảng bao lâu thì bánh đà dừng lại ?
Câu 27: Rôto của một động cơ quay đều, cứ mỗi phút quay được 3 000 vòng Trong 20 giây, rôto quay được một
góc bằng bao nhiêu ?
A 6283 rad B 314 rad C 3142 rad D 942 rad
Câu 28: Bánh đà của một động cơ từ lúc khởi động đến lúc đạt tốc độ góc 140 rad/s phải mất 2,5 s Biết bánh đà
quay nhanh dần đều Góc quay của bánh đà trong thời gian trên bằng
A 175 rad B 350 rad C 70 rad D 56 rad
Câu 29: Một bánh xe có đường kính 50 cm quay nhanh dần đều từ trạng thái đứng yên, sau 4 s thì tốc độ góc đạt
120 vòng/phút Gia tốc hướng tâm của điểm ở vành bánh xe sau khi tăng tốc được 2 s từ trạng thái đứng yên là
A 157,9 m/s2 B 315,8 m/s2 C 25,1 m/s2 D 39,4 m/s2
Câu 30: Một chiếc đồng hồ có các kim quay đều quanh một trục Gọi ω h , ω m và ω s lần lượt là tốc độ góc của kim giờ, kim phút và kim giây Khi đồng hồ chạy đúng thì
60
1 12
1
=
3600
1 60
1
=
3600
1 24
1
=
Câu 31: Một chiếc đồng hồ có các kim quay đều quanh một trục và kim giờ dài bằng ¾ kim phút Khi đồng hồ
chạy đúng thì tốc độ dài v h của đầu mút kim giờ như thế nào với tốc độ dài v mcủa đầu mút kim phút ?
Trang 6GV : Nguyễn Xuân Trị - 0937 944 688
6
A v h v m
4
3
16
60
1
80
1
Câu 32: Một chiếc đồng hồ có các kim quay đều quanh một trục và kim giờ dài bằng 3/5 kim giây Khi đồng hồ
chạy đúng thì tốc độ dài v h của đầu mút kim giờ như thế nào với tốc độ dài v scủa đầu mút kim giây ?
A v h v s
5
3
1200
720
1
6000
1
Câu 33: Vật rắn chuyển động đều vạch nên quĩ đạo tròn, khi đó gia tốc:
Câu 34: Một đĩa đặc đồng chất có dạng hình tròn bán kính R đang quay tròn đầu quanh trục của nó Tỉ số giữa
gia tốc hướng tâm của điểm N trên vành đĩa và điểm M cách trục quay một khoảng bằng nữa bán kính của đĩa là
A 1
2
Câu 35: Phương trình toạ độ góc φ theo thời gian t nào sau đây mô tả chuyển động quay nhanh dần đều của một
chất điểm ngược chiều dương qui ước?
A φ = 5 - 4t + t2 (rad, s) B φ = 5 + 4t - t2 (rad, s)
C φ = -5 + 4t + t2 (rad, s) D φ = -5 - 4t - t2 (rad, s)
Câu 36: Bánh xe quay nhanh dần đều theo một chiều dương qui ước với gia tốc góc 5(rad/s2), vận tốc góc, toạ độ
góc ban đầu của một điểm M trên vành bánh xe là làπ(rad/s) và 450
Toạ độ góc của M vào thời điểm t là
= 45 + 5t
2
= + 5t (rad,s) 2
π
ϕ
= t+ 5t (rad,s)
2
ϕ π D.ϕ = 45 +180t +143t2(độ, s)
Câu 37: Phương trình của toạ độ góc φ theo thời gian t nào sau đây mô tả một chuyển động quay chậm dần đều
ngược chiều dương?
A φ = 5 - 4t + t2 (rad) B φ = 5 + 4t - t2 (rad)
C φ = -5 - 4t - t2 (rad) D φ = -5 + 4t - t2 (rad)
Câu 38: Một bánh xe có đường kính 4m quay với gia tốc góc không đổi 4 rad/s2, t0 = 0 là lúc bánh xe bắt đầu quay Vận tốc dài của một điểm P trên vành bánh xe ở thời điểm t = 2s là
A 16 m/s B 18 m/s C 20 m/s D 24 m/s
Câu 39: Từ trạng thái nghỉ, một đĩa bắt đầu quay quanh trục cố định của nó với gia tốc không đổi Sau 10 s, đĩa
quay được một góc 50 rad Góc mà đĩa quay được trong 10 s tiếp theo là
Câu 40: Một vật rắn quay nhanh dần đều quanh một trục cố định, trong 3,14 s tốc độ góc của nó tăng từ 120
vòng/phút đến 300 vòng/phút Lấy =3,14 Gia tốc góc của vật rắn có độ lớn là
CHỦ ĐỀ 2 PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC CỦA VẬT RẮN
QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH
A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Mối liên hệ giữa gia tốc góc và momen lực
a Momen lực đối với một trục quay cố định
Là đại lượng đặc trưng cho tác dụng làm quay của lực và được đo bằng tích của lực và cánh tay đòn
Momen M của lực F
đối với trục quay Δ có độ lớn bằng : M = Fd = rF sin
trong đó: + d là tay đòn của lực F
(khoảng cách từ trục quay Δ đến giá của lực F
) + là góc hợp bởi r
và F Chọn chiều quay của vật làm chiều dương, ta có quy ước :
M > 0 khi F
có tác dụng làm vật quay theo chiều dương
M < 0 khi F
có tác dụng làm vật quay theo chiều ngược chiều dương
b Quy tắc momen lực
+ Nếu ta quy ước momen lực của F 1 làm vật quay theo chiều kim đồng hồ là chiều dương thì M 1 = F 1 d 1 > 0
Khi đó momen lực F 2 làm vật quay theo chiều ngược kim đồng hồ sẽ có giá trị âm M 2 = - F 2 d 2 < 0
+ Momen tổng hợp khi đó là : M = M 1 + M 2 = F 1 d 1 – F.d 2
Trang 7GV : Nguyễn Xuân Trị - 0937 944 688
7
- Nếu M > 0 vật quay theo chiều kim đồng hồ
- Nếu M < 0 vật quay ngược chiều kim đồng hồ
- Nếu M = 0 vật không quay hoặc quay với vận tốc góc không đổi
c Cân bằng của vật rắn có trục quay cố định
Muốn cho vật rắn có trục quay cố định ở trạng thái cân bằng thì tổng các giá trị đại số của các momen lực phải bằng 0: ∑M =0
d Chú ý:
+ Đối với vật rắn có trục quay cố định, lực chỉ có tác dụng làm quay khi giá của lực không đi qua trục quay + Đối với vật rắn có trục quay cố định, thì chỉ có thành phần lực tiếp tuyến với quỹ đạo mới làm cho vật
quay
e Mối liên hệ giữa gia tốc góc và momen lực
- Trường hợp vật rắn là một quả cầu nhỏ có khối lượng m gắn
vào một đầu thanh rất nhẹ và dài r Vật quay trên mặt phẳng
nhẵn nằm ngang xung quanh một trục Δ thẳng đứng đi qua một
đầu của thanh dưới tác dụng của lực F
(hình vẽ)
Phương trình động lực học của vật rắn này là :
) (mr2
M =
trong đó M là momen của lực F
đối với trục quay Δ, γ là gia tốc góc của vật rắn m.
- Trường hợp vật rắn gồm nhiều chất điểm khối lượng m i , m j , … ở cách trục quay Δ những khoảng r i , r j,
… khác nhau
i i
i r m
2 Chuyển động khối tâm của vật rắn.
a Trọng tâm và khối tâm
Vật rắn tuyệt đối là vật có hình dáng và kích thước tuyệt đối không đổi
- Trọng tâm là điểm đặt của trọng lực Gọi G là trọng tâm của vật rắn thì tọa độ của G được xác định như
sau: Xét hai chất điểm A, B có khối lượng m 1 và m 2, trọng lực tương ứng là P1=m1g và P2 =m2g Trọng tâm của chúng là điểm đặt G của hợp lực P của P1 và P2
1 2 1
2
m
m P
P BG
AG
=
= Ta tìm tọa độ trọng tâm G(x,y,z)
2
1
m
m
2 1
2 2 1
1
m m
x m x
m
x
+
+
=
⇒
Chú ý: G chỉ phụ thuộc vào khối lượng và tọa độ chứ không phụ thuộc vào gia tốc trọng trường g
Tương tự ta có tọa độ
2 1
2 2 1 1
m m
y m y m y
+
+
2 1
2 2 1 1
m m
z m z m z
+
+
=
Trường hợp có nhiều chất điểm thì
Với những vật đồng chất và có dạng hình học đối xứng thì trọng tâm của vật nằm trên trục đối xứng của vật Với những vật rắn có dạng hình học đặc biệt thì trọng tâm của vật có thể nằm ngoài vật
= + + +
+ + +
=
= +
+ +
+ + +
=
= + + +
+ + +
=
∑
∑ ∑
∑ ∑
∑
i
i i G
i
i i G
i
i i G
m
z m m
m m
z m z m z m z
m
y m m
m m
y m y m y m y
m
x m m
m m
x m x m x m x
3 2 1
3 3 2 2 1 1
3 2 1
3 3 2 2 1 1
3 2 1
3 3 2 2 1 1
F
Δ
Trang 8GV : Nguyễn Xuân Trị - 0937 944 688
8
- Khối tâm: là một điểm tồn tại ở trên vật mà nếu lực tác dụng lên vật có giá đi qua điểm đó thì chỉ làm vật
chuyển động tịnh tiến mà không quay Khối tâm là một điểm có khối lượng của vật (hay vị trí tập trung khối
lượng của vật) Khi không có lực tác dụng thì khối tâm chuyển động thẳng đều như chuyển động thẳng đều của
chất điểm chuyển động tự do
Công thức xác định vị trí (tọa độ) khối tâm của một hệ N chất điểm
xc = i i
i
m x m
∑
∑ ; yc= i i
i
m y m
∑
∑ ; zc = i i
i
m z m
∑
∑
- Chú ý: Khi vật ở trạng thái không trọng lượng thì vật không có trọng tâm nhưng luôn có khối tâm Ở một
miền không gian gần mặt đất, trọng tâm của vật thực tế gần với khối tâm của vật
b Chuyển động của khối tâm
Phân thành hai chuyển động:
- Chuyển động của khối tâm G (thể hiện chuyển động toàn phần của vật)
- Chuyển động quay của vật quanh G (thể hiện chuyển động của phần này đối với phần khác)
c Định lí về chuyển động của khối tâm
Khối tâm vật rắn chuyển động như là một chất điểm mang toàn bộ khối lượng của vật và chịu tác dụng của tổng các vectơ ngoại lực tác dụng lên vật.
Chú ý: Nếu ngoại lực khử lẫn nhau thì khối tâm của vật rắn hoặc đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều.
d Động năng của vật rắn chuyển động tịnh tiến (bao gồm chuyển động tròn và thẳng)
2 2
i i
m v
W =∑W = ∑ Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến thì mọi chất điểm chuyển động trên những quỹ đạo giống hệt nhau, với cùng vận tốc và gia tốc (tức thời) = vận tốc và gia tốc của khối tâm
G
v = và ∑m i =M suy ra
2
2
G
đ
MV
W =
Động năng của vật rắn chuyển động tịnh tiến thì bằng động năng của khối tâm mang khối lượng của vật.
e Động lượng P = ∑ m vii = MVG
3 Ngẫu lực: Là hợp của 2 lực song song, ngược chiều, có cùng độ lớn và cùng tác dụng lên một vật Khi đó
trọng tâm của vật sẽ đứng yên nhưng vật sẽ chuyển động quay quanh một trục đi qua trọng tâm
4 Điều kiện cân bằng tổng quát: Là điều kiện để vật không có chuyển động quay và không có chuyển
động tịnh tiến
=
=
⇔
=
=
⇔
∑
∑
∑
∑
0
0 0
0
y
x F
F M
F
5 Momen quán tính
Nếu khối lượng m của vật rắn là đại lượng đặc trưng cho mức quán tính của vật trong chuyển động tịnh tiến
thì trong phương trình (*), đại lượng i2
i
i r m
∑ đặc trưng cho mức quán tính của vật quay và được gọi là momen
quán tính, kí hiệu là I.
Momen quán tính I đối với một trục là đại lượng đặc trưng cho mức quán tính của vật rắn trong chuyển động quay quanh trục ấy.
2
i i
i r m
I=∑
Momen quán tính có đơn vị là kgm 2
Momen quán tính của một vật rắn không chỉ phụ thuộc khối lượng của vật rắn mà còn phụ thuộc cả vào sự phân bố khối lượng xa hay gần trục quay
Momen quán tính của một số vật rắn có trục quay trùng với trục đối xứng:
+ Thanh đồng chất có khối lượng m và có tiết diện nhỏ so với chiều dài l
của nó, trục quay Δ đi qua trung điểm của thanh và vuông góc với thanh (hình 1) :
2 12
1
ml
I =
Δ
l
Hình 1
Trang 9GV : Nguyễn Xuân Trị - 0937 944 688
9
+ Vành tròn (hoặc trụ rỗng) đồng chất có khối lượng m, có bán kính R, trục
quay Δ đi qua tâm vành tròn và vuông góc với mặt phẳng vành tròn (hình 2) :
2
mR
I =
+ Đĩa tròn mỏng (hoặc hình trụ đăc) đồng chất có khối lượng m, có bán kính
R, trục quay Δ đi qua tâm đĩa tròn và vuông góc với mặt đĩa (hình 3) :
2 2
1
mR
I =
+ Quả cầu đặc đồng chất có khối lượng m, có bán kính R, trục quay Δ đi
qua tâm quả cầu (hình 4) :
2 5
2
mR
I=
Momen quán tính của vật rắn có trục quay Δ bất kỳ (không trùng với trục đối xứng):
2
G
I∆ =I +md
Trong đó m là khối lượng vật rắn, d là khoảng cách vuông góc giữa 2 trục, trục đối xứng và trục Δ
VD : Momen quán tính của thanh mảnh có trục Δ đi qua một đầu của thanh là :
2
G
I∆ =I +md Trong đó
2
l
d =
3 Phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục
Phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục là : M =I
I : momen quán tính của vật rắn đối với trục quay Δ
M : momen lực tác dụng vào vật rắn đối với trục quay Δ
γ : gia tốc góc của vật rắn trong chuyển động quay quanh trục Δ
4 Bài tập ví dụ
Một thùng nước khối lượng m được thả xuống giếng nhờ một sợi dây quấn quanh
một ròng rọc có bán kính R và momen quán tính I đối với trục quay của nó
(hình 6) Khối lượng của dây không đáng kể Ròng rọc coi như quay tự do không
ma sát quanh một trục cố định Xác định biểu thức tính gia tốc của thùng nước
Bài giải :
Thùng nước chịu tác dụng của trọng lực m g
và lực căng T
của sợi dây
Áp dụng định luật II Newton cho chuyển động tịnh tiến của thùng nước, ta có :
ma T
Ròng rọc chịu tác dụng của trọng lực M g
, phản lực Q
của trục quay và lực
căng T'
của sợi dây (T’ = T).
Lực căngT'
gây ra chuyển động quay cho ròng rọc Momen của lực căng
dây T'
đối với trục quay của ròng rọc là : M =T'R=TR
Áp dụng phương trình động lực học cho chuyển động quay của ròng rọc, ta có :
I
Gia tốc tịnh tiến a của thùng nước liên hệ với gia tốc góc γ của ròng rọc theo hệ thức :
Hình 6
Q
g
M T'
T
g
m Hình 7 Các lực tác dụng vào ròng rọc
và thùng nước
R
Δ
Hình 2
Δ
R
Hình 3
Δ
R
Hình 4
2
l
Trang 10GV : Nguyễn Xuân Trị - 0937 944 688
10
R
a
=
Từ (2) và (3) suy ra : 2
R
Ia R
I
m
I R
I m
mg a ma R
Ia mg
+
= +
=
⇒
=
−
2 2
2
R 1 1
B CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Đại lượng đặc trưng cho tác dụng làm quay của lực đối với vật rắn có trục quay cố định được gọi là
A momen lực B momen quán tính
Câu 2: Momen của lực tác dụng vào vật rắn có trục quay cố định là đại lượng đặc trưng cho
A mức quán tính của vật rắn B năng lượng chuyển động quay của vật rắn
C tác dụng làm quay của lực D khả năng bảo toàn vận tốc của vật rắn
Câu 3: Momen quán tính của một vật rắn không phụ thuộc vào
A khối lượng của vật B kích thước và hình dạng của vật
C vị trí trục quay của vật D tốc độ góc của vật
Câu 4: Một bánh xe đang quay đều xung quanh trục của nó Tác dụng lên vành bánh xe một lực F
theo phương
tiếp tuyến với vành bánh xe thì
A tốc độ góc của bánh xe có độ lớn tăng lên B tốc độ góc của bánh xe có độ lớn giảm xuống
C gia tốc góc của bánh xe có độ lớn tăng lên D gia tốc góc của bánh xe có độ lớn giảm xuống
Câu 5: Một momen lực không đổi tác dụng vào một vật có trục quay cố định Trong các đại lượng : momen quán tính, khối lượng, tốc độ góc và gia tốc góc, thì đại lượng nào không phải là một hằng số ?
A Momen quán tính B Khối lượng C Tốc độ góc D Gia tốc góc
Câu 6: Hai chất điểm có khối lượng 1 kg và 2 kg được gắn ở hai đầu của một thanh nhẹ có chiều dài 1 m Momen
quán tính của hệ đối với trục quay đi qua trung điểm của thanh và vuông góc với thanh có giá trị bằng
A 0,75 kg.m2 B 0,5 kg.m2 C 1,5 kg.m2 D 1,75 kg.m2
Câu 7: Hai chất điểm có khối lượng m và 4m được gắn ở hai đầu của một thanh nhẹ có chiều dài l Momen quán
tính M của hệ đối với trục quay đi qua trung điểm của thanh và vuông góc với thanh là
A 5 2
4
2
5
ml
3
5
ml
Câu 8: Một cậu bé đẩy một chiếc đu quay có đường kính 4 m bằng một lực 60 N đặt tại vành của chiếc đu theo
phương tiếp tuyến Momen lực tác dụng vào đu quay có giá trị bằng
Câu 9: Thanh đồng chất, tiết diện đều, khối lượng m, chiều dài l và tiết diện của thanh là nhỏ so với chiều dài của
nó Momen quán tính của thanh đối với trục quay đi qua trung điểm của thanh và vuông góc với thanh là
A 1 2
12
3
1
ml
2
1
ml
I = D I =ml2
Câu 10: Vành tròn đồng chất có khối lượng m và bán kính R Momen quán tính của vành tròn đối với trục quay đi
qua tâm vành tròn và vuông góc với mặt phẳng vành tròn là
A I =mR2 B 2
2
1
mR
3
1
mR
5
2
mR
Câu 11: Đĩa tròn mỏng đồng chất có khối lượng m và bán kính R Momen quán tính của đĩa tròn đối với trục
quay đi qua tâm đĩa tròn và vuông góc với mặt phẳng đĩa tròn là
A 1 2
2
3
1
mR
5
2
mR
Câu 12: Quả cầu đặc đồng chất có khối lượng m và bán kính R Momen quán tính quả cầu đối với trục quay đi
qua tâm quả cầu là
A 2 2
5
2
1
mR
3
1
mR
