Chứng minh rằng d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.. 2,0 điểm Cho hình vuông ABCD tâm O, điểm E nằm trên đoạn thẳng OB E khác O, B, H là hình chiếu vuông góc
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2021-2022 ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01 trang)
Môn thi: TOÁN (Chuyên Toán)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Khóa thi ngày: 03-05/6/2021 Câu 1 (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức
A
(với x>1, x≠4, x≠9)
b) Tìm tất cả bộ ba số nguyên tố p, q, r thỏa mãn pq r= +1 và 2( p2+q2) = +r2 1
Câu 2 (1,0 điểm)
Cho parabol (P): y x= 2 và đường thẳng (d): y = − (2 2 ) m x m + (m là tham số).
Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m Khi đường
thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm A, B sao cho
1
M ;1 2
÷
là trung điểm của đoạn thẳng AB, hai điểm K, H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên trục hoành Tính độ dài đoạn thẳng KH
Câu 3 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình (x−1) 7 2− x =x2−3x+2.
x y xy
Câu 4 (2,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD tâm O, điểm E nằm trên đoạn thẳng OB (E khác O, B), H là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AE Gọi F là giao điểm của AC và DH
a) Chứng minh HD là tia phân giác của gócAHC
b) Chứng minh diện tích hình vuông ABCD bằng hai lần diện tích tứ giác AEFD
Câu 5 (2,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F, E Gọi H là giao điểm của BE và CF, đường thẳng AH cắt BC tại D
a) Chứng minh tứ giác ODFE nội tiếp đường tròn
b) Gọi K là giao điểm của AH và EF, I là trung điểm của AH Đường thẳng CI cắt đường tròn (O) tại điểm M (M khác C) Chứng minh CI vuông góc với KM
Câu 6 (1,0 điểm)
Cho ba số thực dương x y z , , thỏa mãn xy yz zx xyz + + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
H
z zx x xy y yz
HẾT
Trang 2-Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2021-2022
MÔN: TOÁN (CHUYÊN TOÁN)
(Bản hướng dẫn này gồm 06 trang)
Câu 1
(2,0)
a) Rút gọn biểu thức
A
( x>1, x≠4, x≠9) 1,0
2
A
0,5
2
x
−
2( 4)
x
−
b) Tìm tất cả bộ ba số nguyên tố p, q, r thỏa mãn pq r= +1 và 2(p2+q2) = +r2 1 1,0
+ Nếu p, q cùng là số lẻ ⇒ pq là số lẻ ⇒ r +1 là số lẻ ⇒ r là số chẵn ⇒ r =2
Mà p, q lẻ nên , p q≥ =>3 p q. ≥9 Khi đó r+ = + <1 2 1 9 (không thỏa) 0,5
+ p, q khác tính chẵn lẻ, giả sử p=2, q là số nguyên tố lẻ
Khi đó, ta có 2 2
q r
= +
⇒ 16 ( + +r 1) 2 = 2r2 + 2
5
r
r
= −
⇔ − − = ⇔ =
r = => =q .
0,25
Vậy có hai bộ số thỏa yêu cầu là: ( p q r, , ) (= 2,3,5 ;) ( p q r, , ) (= 3; 2;5 ) 0,25
Cách khác:
Từ 2( p2 +q2) = +r2 1suy ra r là số lẻ. 0.25
Suy ra pq r= +1 là số chẵn, nên pq chẵn, giả sử p chẵn, p nguyên tố nên p=2 0.25
Khi đó, ta có 2 2
q r
= +
⇒ 16 ( + +r 1) 2 = 2r2 + 2
5
r
r
= −
⇔ − − = ⇔ =
r = => =q .
Vai trò p,q như nhau nên có hai bộ số thỏa yêu cầu là: (p q r, , ) (= 2,3,5 ; 3; 2;5 ) ( ) 0.25
Câu 2
(1,0) Cho parabol
2
(P): y x= và đường thẳng (d): y = −(2 2 )m x m+ (m là tham số) Chứng
minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m Khi đường thẳng
(d) cắt (P) tại hai điểm A, B sao cho
1
2
là trung điểm của đoạn thẳng AB, hai
1,0
Trang 3điểm K, H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên trục hoành, tính độ dài đoạn
thẳng KH.
- Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
2 (2 2 ) 2 2(1 ) 0 (*)
2 4
∆ = − + = − + = − + > ∀ ∈¡
Suy ra pt (*) luôn có hai nghiệm phân biệt, hay (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
0,25
+ Gọi x x lần lượt là hai hoành độ của A,B (giả sử 1, 2 x x1< 2), khi đó x x là hai nghiệm của 1, 2
pt (*)
N là hình chiếu vuông góc của M lên trục hoành
+ M là trung điểm của AB, khi đó N là trung điểm của KH
1 2
2
x x+ =
(vì 1 2
)
2− = −x x 2 2(1 ) 1 1
2
⇔ − = ⇔ =
0,25
Khi đó pt(*) trở thành
1
2
1 3
0 2 2 1 0
2
−
− − = ⇔ − − = ⇔
+
Suy ra KH = x2− =x1 3.
0,25
Cách khác:
Gọi x x lần lượt là hoành độ của A,B, khi đó 1, 2 x x là hai nghiệm của pt (*) 1, 2
M trung điểm AB nên
1
1
0.25
KH=|x − ⇒x | KH = x −x = x +x −4x x
Theo định lý Viet ta có
1 2
1 2
1
1 2
m
=
Do đó
2
−
0.25
Câu 3
(2,0) a) Giải phương trình
2
Điều kiện:
7
2
0,25
Trang 4(x−1) 7 2− x =x − +3x 2 ⇔ −(x 1) 7 2− x = −(x 1)(x−2)
1 th/m
x
=
⇔
2
2
2 0
3
x x
x
≥
− ≥
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=1, x=3 0,25
b) Giải hệ phương trình 2 2 2 2
+ − − =
+ Với x=2 thay vào phương trình còn lại ta được:
2
3y +8y+ = ⇔ = −5 0 y 1 hoặc y= −53 Suy ra
2 1
x y
=
= −
,
2 5 3
x y
=
= −
0,5
+ Với y=1 thay vào phương trình còn lại ta được:
2
3x +2x= ⇔ =0 x 0 hoặc
2 3
x= −
Suy ra
0 1
x y
=
=
,
2 3 1
x y
= −
=
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm: ( ; ) 0;1); 2; 1 ; 2;( ) 5 ; 2;1
3
(
3
−
* Lưu ý: Nếu học sinh làm đúng 1 trong 2 trường hợp trên (với x = 2, với y = 1) thì cho 0,5đ
0,25
2 2 2( 2 2)( ) 1 0
⇒ − + + − + + = ⇔3x2+3y2+6xy−4x−4y+ =1 0
0,25
2
3(x y) 4(x y) 1 0
1 1 3
x y
x y
+ =
⇔
+ =
0,25
- Với x y+ = ⇔ = −1 y 1 x thay vào x+2y xy− − =2 0 ta được:
2 2(1 ) (1 ) 2 0 2 0
x+ − −x x − − = ⇔x x − x= ⇔ =x 0 hoặc x=2
Suy ra
0 1
x
y
=
=
hoặc
2 1
x y
=
= −
0,25
- Với
x y+ = ⇔ = −y x
thay vào x+2y xy− − =2 0 ta được:
2
x+ −x−x −x− = ⇔ x − x− =
2 3
x= −
Suy ra
2 5 3
x
y
=
= −
hoặc
2 3 1
x y
= −
=
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm: ( ; ) 0;1); 2; 1 ; 2;( ) 5 ; 2;1
3
(
3
−
0,25
Trang 52 2 2 2
+ − − =
( )( ) 2 ( ) 1 0
+ − − =
( )[( ) 2 ] 1 0 ( )[( ) 2( )] 1
+ Đặt a x y b xy y= + , = − Hệ phương trình (*) trở thành:
2 ( 2 ) 1
a b
− =
+ = −
+ Giải hệ (**) tìm được:
5
,
3
a a
b
b
= −
=
= −
0,25
+ Với
1 1
a b
=
= −
, giải tìm được
0 1
x y
=
=
,
2 1
x y
=
= −
+ Với
5 3 1 3
a b
= −
=
, giải tìm được
2 5 3
x y
=
= −
,
2 3 1
x y
= −
=
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm: ( ; ) 0;1); 2; 1 ; 2;( ) 5 ; 2;1
3
(
3
−
0,25
Câu 4
(2,0) Cho hình vuông ABCD tâm O, điểm E nằm trên đoạn thẳng OB (E khác O, B), H là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AE Gọi F là giao điểm của AC và DH.
(Hình vẽ phục vụ câu a: 0,25 điểm)
0,25
Các điểm B, H, D cùng nhìn đoạn AC dưới 1 góc vuông nên 5 điểm A, B, H, C, D cùng
Suy ra CHD CAD 45 , AHD ABD 45· =· = 0 · =· = 0. 0,25
CHD AHD
b) Chứng minh diện tích hình vuông ABCD bằng hai lần diện tích tứ giác AEFD 1,0
Ta có SABCD=AD2 (1)
Tứ giác AEFD có hai đường chéo vuông góc nhau nên AEFD
1
2
=
(2)
0,25 Xét hai tam giác AFD và DAE có:
+
Suy ra hai tam giác AFD và DAE đồng dạng
0,5
Trang 6Từ đó có tỉ lệ
hay AD2 =AF.DE (3)
Từ (1), (2), (3) ta có SABCD =2SAEFD (đpcm) 0,25
Câu 5
(2,0)
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại
F, E Gọi H là giao điểm của BE và CF, đường thẳng AH cắt BC tại D.
(Hình vẽ phục vụ câu a: 0,25 điểm)
+ Tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn nên EDH ECH ECF· =· =· 0,25 + Tứ giác BDHF nội tiếp đường tròn nên FDH FBH FBE· =· =· 0,25
Vậy tứ giác ODFE nội tiếp đường tròn
0,25
b) Gọi K là giao điểm của AH và EF, I là trung điểm của AH Đường thẳng CI cắt đường
tròn (O) tại điểm M (M khác C) Chứng minh CI vuông góc với KM. 1,0
AEI OEC EAI ECO 90+ = + = ⇒IEO 90=
Suy ra IE là tiếp tuyến của đường tròn (O) 0,25 + Chứng minh được hai tam giác IEM và ICE đồng dạng Suy ra IE2 = IM.IC (1) 0,25 + Tứ giác ABDE nội tiếp đường tròn nên ADE ABE IEK· =· =·
Suy ra được hai tam giác IEK và IDE đồng dạng Suy ra IE2 = IK.ID (2)
0,25
+ Từ (1) và (2) suy ra IM.IC = IK.ID hay
ID = IC× Suy ra được hai tam giác IMK và IDC đồng dạng
Hơn nữa tam giác IDC vuông tại D nên tam giác IMK vuông tại M
0,25
Câu 6
, ,
x y z thỏa mãn xy yz zx xyz+ + = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
H
1,0
Từ giả thiết, suy ra :
1 1 1
1
xy yz zx xyz
Trang 72 2 2
1
H
Đặt
, khi đó a b c, , >0 và a b c+ + =1.
(9 1) 9 (9 1) 9 (9 1) 9 H
9
a b c
1 9
3
ab bc ca
Suy ra
3
2 ab bc ca
0,25
Chứng minh được
2
3
a b c
ab bc ca+ + ≤ + +
Thật vậy:
2
( ) ( ) ( ) 0 3
a b c
ab bc ca+ + ≤ + + ⇔ −a b + −b c + −c a ≥
(đúng)
Suy ra
1 3
ab bc ca+ + ≤
Do đó
1 H 2
≥
0,25
Dấu bằng xảy ra khi
1 3
a b c= = =
hay x y z= = =3 Vậy giá trị nhỏ nhất của H bằng 12. 0,25
* Lưu ý:
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì vẫn cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
