de TS toan 10 chuyen quang nam 2018 2019

Tìm m để hai đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt là ba đỉnh của tam giác đều.. Kẻ tia phân giác của ·CBI , tia này cắt cạnh CD tại N.. Điểm M nằm trên cung lớn A

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

Môn thi : TOÁN (chuyên)

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi :

Câu 1 (2,0 điểm).

a) Cho biểu thức



1 :

1

A

ab

với a 0;b0 và ab 1

Rút gọn biểu thức A và tìm giá trị lớn nhất của A khi a + b = ab

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ; )x y thỏa mãn đẳng thức x y2 2x26y22 xy

Câu 2 (2,0 điểm).

a) Giải phương trình 3 x24x 3 3 2x23x 2 33x22x 2 3 4x29x 3

b) Giải hệ phương trình

3 3 2 2

27

1

x y







Câu 3 (1,0 điểm).

Cho hai hàm số y2x2 và y mx Tìm m để hai đồ thị của hai hàm số đã cho cắt

nhau tại ba điểm phân biệt là ba đỉnh của tam giác đều

Câu 4 (2,0 điểm).

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho

3

AM  MD Kẻ tia Bx cắt cạnh CD tại I sao cho · ABM MBI· Kẻ tia phân giác của ·CBI , tia này cắt cạnh CD tại N.

a) So sánh MN với AM + NC.

b) Tính diện tích tam giác BMN theo a.

Câu 5 (2,0 điểm).

Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không qua O Điểm M nằm trên cung lớn AB

Các đường cao AE, BF của tam giác ABM cắt nhau ở H.

a) Chứng minh OM vuông góc với EF.

b) Đường tròn tâm H bán kính HM cắt MA, MB lần lượt tại C và D Chứng minh rằng khi M di động trên cung lớn AB thì đường thẳng kẻ từ H vuông góc với CD luôn đi qua một

điểm cố định

Câu 6 (1,0 điểm).

Cho ba số thực dương , ,a b c Chứng minh rằng

HẾT

-Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM HỌC 2018-2019 HDC CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN CHUYÊN

(Bản hướng dẫn này gồm 04 trang)

Câu

1

(2,0) a) Cho biểu thức



1

A

ab

với a 0;b0 và ab 1

Rút gọn biểu thức A và tìm giá trị lớn nhất của A khi a + b = ab

1,0

:

A



a



Khi a 0;b0,

a + b

a + b = ab

Do đó

2

A

  Dấu “ = “ xảy ra  b 4; a Vậy giá4

trị lớn nhất của A là

1

4 khi a b  4

0,25

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ; )x y thỏa mãn đẳng thức x y2 2x26y22 xy 1,0

- Với y , ta có 0 x 0

- Với y , ta có:0

 



2

y

0,25

3 1

x



Khi

3

y

y

 



Khi

3

y

y





Vậy x y;     0;0 ; 3; 1 ; 3;3 ; 3;1 ; 3; 3         

0,25

Câu Nội dung Điểm Câu

2

(2,0)

a) Giải phương trình 3 x24x 3 32x23x 2 33x22x 2 34x29x3 1,0

Đặt a 3 x24x3; b 32x2 3x 2; c 33x22x2; d  3 4x29x 3

Ta có 3 3 3 3

(1) (2)

a b c d

  





0,25

a b

ab cd





-Với a b , ta có

2

2

x

x











0,25

-Với ab cd , ta có

Vậy pt có 6 nghiệm

0,25

b) Giải hệ phương trình

3 3 2 2

27

1

x y







1,0

3

3 2

2

27

1

x

y









x

y

3

0,25

Đặt

3 2

y



Ta có



a b

ab

ab a b

1

Giải tìm được

;

;

  0,25

Tìm được nghiệm  x y của hệ là ;

3

(1,0)

Cho hai hàm số y2x2 và y  mx Tìm m để hai đồ thị của hai hàm số đã cho cắt

nhau tại ba điểm phân biệt là ba đỉnh của tam giác đều 1,0 Phương trình hoành độ giao điểm

2 2

Gọi ba giao điểm là



    và H là giao điểm của AB và trục

tung, suy ra

2

;

2

m

0,25

Tam giác OAB đều

2

m

Giải và tìm được m0;m 3; m  3, loại m Vậy 0 m 3;m  3 0,25

Câu

4

(2,0)

Trên cạnh BI lấy điểm H sao cho BH = BA = a.

Suy ra ·BHM BAM· 90 ;0 BHN· BCN· 900 0,25

Suy ra M; H; N thẳng hàng, do đó

Ghi chú: không có hình không chấm.

Đặt

3 4

a

Giải và tìm được 7

a

Diện tích tam giác BMN bằng

2

a

Câu

(2,0) Hình vẽ phục vụ câu a (không tính điểm

hình vẽ câu b, không có hình không

chấm)

0,25

Tứ giác ABEF có ·AEB·AFB900nên nội tiếp đường tròn  ·MEF ·FAB 0,25

Từ M kẻ tia tiếp tuyến Mx với đường tròn tâm O (như hình vẽ), ta có

Theo tính chất của tiếp tuyến đường tròn, ta có MOMxMOEF 0,25

b) Chứng minh rằng khi M di động trên cung lớn AB thì đường thẳng kẻ từ H vuông

Kẻ đường kính MN của đường tròn tâm O Tứ giác AHBN có AH song song với NB (cùng vuông góc với MB), có BH song song với NA (cùng vuông góc với MA) nên là

hình bình hành Suy ra HN cắt AB tại trung điểm I của mỗi đoạn Do đó

0,25

Gọi K là điểm đối xứng của O qua I, suy ra OK = 2OI và điểm K cố định 0,25

Tứ giác MHKO có MH, OK song song và bằng nhau ( cùng gấp đôi OI) nên là hình

Xét đường tròn tâm H bán kính HM, theo tính chất đường kính vuông góc với dây

cung, suy ra E là trung điểm của MD và F là trung điểm của MC Do đó

/ /

Vậy khi M đi động trên cung lớn AB thì đường thẳng kẻ từ H vuông góc với CD luôn đi qua điểm cố định K.

0,25

Câu

6

(1,0)

Cho ba số thực dương , ,a b c Chứng minh rằng;

1,0

Với ba số thực dương , ,a b c ta có

0,25

0

0,25

               

0 (2)

Với ba số thực dương , ,a b c ta có (2) luôn đúng Vậy (1) luôn đúng (đpcm) 0,25

* Lưu ý:

Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì giám khảo vẫn cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định