ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2011 HƯỚNG DẪN GIẢI MÔN THI TOÁN Vòng 2 Câu I... 1 Tứ giác BPIM nội tiếp và AD/ /BC
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2011
HƯỚNG DẪN GIẢI MÔN THI TOÁN (Vòng 2) Câu I 1) Điều kiện 0≤ ≤ , phương trình tương đương với: x 1
3
3
x
Nếu 0≤ < ⇒x 1 3 ( 1− + > đồng thời x 1) 3 x+ x+ <3 1+ 4 = 3
Suy ra VT > VP (loại)
Thử lại ta thấy x = là nghiệm 1
2) x= = là nghiệm Xét y 0 x≠0,y≠ hệ phương trình tương đương với: 0
⇔
Thay (1) vào (2) ta thu được
3
2
8 1 1
xy
+ =
= ⇔
1
⇔ = =
Câu II
,
27 3
K = n− +
1
27 3
K ≤ n− + <K+ 1 3 1 2 3
⇔ − ≤ − < +
2
K
3
K
( 1)
⇔ < + < + Suy ra
2
27 3
không biểu diễn được dưới dạng lập phương của một số nguyên dương
2) Ta có:
6 x +5 + 6 y +5 + z + =5 6 x+y x+z + 6 y+z y+x + z+x z+y
Trang 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Suy ra
3
P
+ + + + + Đẳng thức xảy ra ⇔ = =x y 1,z=2.
Vậy min 2
3
Câu III
1) Tứ giác BPIM nội tiếp và AD/ /BC ⇒MAD=BPM=BIM⇒ tứ giác AMID nội tiếp Tương tự tứ giác DNIA nội tiếp Vậy năm điểm , A M I N D thuộc một đường tròn , , , ( )K
2) Do các tứ giác BPIM và CPIN nội tiếp nên ta có QMI=BPI =CNI
⇒ tứ giác MINQ nội tiếp
Vậy Q thuộc đường tròn( )K (đpcm)
3) Khi , ,P I Q thẳng hàng, kết hợp với Q thuộc đường tròn( )K ta có:
AIQ=PIC (đối đỉnh)
PIC=PNC (do tứ giác NIPC nội tiếp)
PNC=QND(đối đỉnh)
QND=QID(do tứ giác INDQ nội tiếp )
IQ
⇒ là phân giác DIA nên IP là phân giác gócBIC
+
Câu IV Giả sử A có n số, chúng ta xếp chúng theo thứ tự 1=x1<x2<x2 <⋯⋯< x n =100 1( )
Suy ra với mỗi k∈{1, 2, 3,…,n−1}ta có x k+1= +x i x j≤x k +x k =2x k( )2 với 1≤i j, ≤ k
K
Q
N
P
K
Q
N M
P
I
Trang 3Áp dụng kết quả ( ) 2 ta thu đượcx2≤ + =1 1 2,x3≤ + =2 2 4,x4≤8,x5≤16,
6 32, 7 64
x ≤ x ≤ Suy ra tậpA phải có ít nhất 8 phần tử
+) Giả sứ n =8⇒ x8= 100
Vì x6+x7 ≤32+64=96⇒x8 =2x7 ⇒x7 =50
Vì x5+x6 ≤16 32+ =48⇒x7 =2x6 ⇒x6 =25
2
x +x ≤ + = < ⇒x = x ⇒x = (mâu thuẫn)
+) n= ta có tập 9 {1, 2, 3, 5,10, 20, 25,50,100 thỏa mãn yêu cầu bài toán }
Đáp số: n= 9
Nguồn: Hocmai.vn