ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 MÔN THI: TOÁN Vòng 1 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu I... Từ hai đẳng thức trên suy ra IB BE EI.
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
MÔN THI: TOÁN (Vòng 1) HƯỚNG DẪN GIẢI Câu I 1) Hệ phương trình tương đương với:
2 2
2 2
( 1)( 1) 2 (1)
( 2)( 1) 1 (2)
⇔
+) Nếu x >1suy ra (x−1)(y2+1)> nên từ (1)0 ⇒ − >2 y 0 2
⇒ < ⇒ − + < do đó từ (2)⇒ − <x 1 0⇒ < mâu thuẫn x 1
+) Nếu x < , tuơng tự suy ra 1 x > mâu thuẫn 1
+) Nếu x= ⇒1 y= (thỏa mãn) 2
Đáp số x=1,y=2
2) Điều kiện x > Phương trình tương đương: 0
2 3 2(x 1) x x 7
x
Chia hai vế cho x ≠ ta thu được: 0
+ + = + (x 3) 2(1 1) x 3 4 0
+) Giải x 3 2 x 3 4 x2 4x 3 0
3
x x
=
⇔ =
2
+ = ⇔ + = ⇔ + − = ⇔(x−1)(x2+ +x 4)= ⇔ = 0 x 1 Đáp số x=1,x= 3
x +y = z + ⇔x +y +z = z + (1)
Ta có a ≡4 0,1 (mod 8) với mọi số nguyên a
Trang 24 4 4
4
0,1, 2, 3 (mod 8)
8 5 5(mod 8)
z
⇒
+ ≡
Mâu thuẫn với (1) Vậy không tồn tại ( , , )x y z thỏa mãn đẳng thức
2) Phương trình tương đương với:
(x 1) (x 1) (x 1) (x 1) y
⇔(2x2+2)(4 )x =y3⇔8x3+8x= y3.
+) Nếu x≥ ⇒1 8x3<8x3+8x<(2x+1)3 3 3 3
(2 )x y (2x 1)
⇔ < < + (mâu thuẫn vì y nguyên)
+) Nếu x ≤ −1 và ( , )x y là nghiệm, ta suy ra (− −x, y)cũng là nghiệm, mà − ≥ ⇒ mâu thuẫn x 1
+) Nếu x= ⇒0 y= (thỏa mãn) 0
Vậy x= y= là nghiệm duy nhất 0
Câu III
1) Tứ giác OBCD nội tiếp và CO là phân giác góc BCD ⇒OBD =OCD=OCB=ODB⇒ ∆OBD
cân tại O⇒OB=OD (1) Tứ giác OBCD nội tiếp ODC=OBE (2) (cùng bù với góc OBC ) Trong ∆CEF có CO vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên ∆CEF cân tại C Do
AB CF ⇒ AEB= AFC=EAB⇒ ∆ABE cân tại B ⇒BE =BA=CD (3) Từ (1), (2), (3) suy ra
2) Từ câu 1) ∆OBE= ∆ODC suy ra OE=OC Mà CO là đường cao tam giác cân
CEF ⇒OE=OF Từ đó OE=OC=OF vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
CEF
∆ (đpcm)
3) Theo (3)⇒BE=CD mà CE=CF ⇒BC =DF Ta có CI là đường phân giác
góc BCD IB CB DF IB BE ID DF
Mà CO là trung trực EF và I∈CO ⇒IE=IF
E
F
O I
A
D
Trang 3Từ hai đẳng thức trên suy ra IB BE EI = ID DF FI (đpcm)
Câu IV Ta chứng minh
(x 2y ) x x( 8y )
⇔ + ≥ + ⇔4x y2 2+4y4≥8xy3
⇔ + ≥ (đúng)
Ta chứng minh
(x 2y ) y y( (x y) )
⇔ + ≥ + + ⇔(x2+2y2 2) −y4≥ y x( +y)3⇔(x2+y2)(x2+3y2)≥ y x( +y)3
Ta có
2
x +y ≥ x+y
2
(2)
⇒ đúng
Từ (1) và (2)⇒P≥ Dấu bằng xảy ra 1 ⇔ = Vậy x y Pmin = 1
Nguồn: Hocmai.vn