Giáo án Hình học 8 - Chủ đề: Hình thoi và hình vuông được biên soạn với nội dung củng cố kiến thức cho các em học sinh lớp 8 về định nghĩa hình thoi, tính chất hình thoi, các dấu hiệu nhận biết hình thoi, đồng thời cung cấp một số bài tập để các em luyện tập[ nâng cao kiến thức. Mời thầy cô và các em cùng tham khảo chi tiết nội dung giáo án tại đây.
Trang 1CH Đ 6. HÌNH THOI VÀ HÌNH VUÔNG Ủ Ề
A. LÝ THUY TẾ
1. Đ nh nghĩaị
Hình thoi là t giác có b n c nh b ng nhau (h.6.1).ứ ố ạ ằ
Hình vuông là t giác có b n góc vuông và có b n c nh b ng nhau (h.6.2).ứ ố ố ạ ằ
2. Tính ch tấ
* Trong hình thoi:
Hai đường chéo c a hình thoi vuông góc v i nhau;ủ ớ
Hai đường chéo là các đường phân giác c a các góc c a hình thoi;ủ ủ
* Hình vuông có đ các tính ch t c a hình ch nh t và hình thoi.ủ ấ ủ ữ ậ
3. D u hi u nh n bi t ấ ệ ậ ế
* Nh n bi t hình thoi ậ ế :
T giác có b n c nh b ng nhau là hình thoi;ứ ố ạ ằ
Hình bình hành có hai c nh k b ng nhau là hình thoi;ạ ề ằ
Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc v i nhau là hình thoi;ớ
Hình bình hành có m t độ ường chéo là đường phân giác c a m t góc là hình thoi.ủ ộ
* Nh n bi t hình vuông ậ ế :
Hình ch nh t có hai c nh k b ng nhau là hình vuông;ữ ậ ạ ề ằ
Hình ch nh t có hai đữ ậ ường chéo vuông góc là hình vuông;
Hình ch nh t có m t đữ ậ ộ ường chéo là đường phân giác c a m t góc là hình vuông;ủ ộ Hình thoi có m t góc vuông là hình vuông;ộ
Hình thoi có hai đường chéo b ng nhau là hình vuông.ằ
Trang 2B. BÀI T P V N D NG.Ậ Ậ Ụ
I. M T S VÍ D Ộ Ố Ụ
Ví d 1 ụ Cho hình thoi ABCD, đ dài m i c nh là 13cm. G i O là giao đi m c a hai độ ỗ ạ ọ ể ủ ường chéo. Vẽ
OH AD. Bi t OH = 6cm, tính t s c a hai đế ỉ ố ủ ường chéo BD và AC
Gi i ả
* Tìm cách gi i ả
V thêm BK ẽ AD đ dùng đ nh lí để ị ường trung bình c a tam giác, đ nh lí Pytago tính bìnhủ ị
phương đ dài c a m i độ ủ ỗ ường chéo
* Trình bày l i gi i ờ ả
V BK ẽ AD
Xét BKD có OH // BK (vì cùng vuông góc v i AD) và OB = OD nênớ
KH = HD.
V y OH là đậ ường trung bình c a ủ BKD
Suy ra do đó BK = 12cm
Xét ABK vuông t i K có AKạ 2 = AB2 – BK2 = 132 – 122 = 25 AK = 5cm do đó KD = 8cm Xét BKD vuông t i K có BDạ 2 = BK2 + KD2 = 122 + 82 = 208
Xét AOH vuông t i H có OAạ 2 = OH2 + AH2 = 62 + 92 = 117
Do đó
Ví d 2 ụ Cho tam giác ABC cân t i A, hai đạ ường cao BE và CF c t nhau t i H. Đắ ạ ường th ng AH c tẳ ắ
EF t i D, c t BC t i G. G i M và N l n lạ ắ ạ ọ ầ ượt là hình chi u c a G trên AB và AC. Ch ng minh r ngế ủ ứ ằ
t giác DNGM là hình thoi.ứ
Gi i ả
* Tìm cách gi i ả
Dùng đ nh lí đị ường trung bình c a tam giác ta ch ng minh đủ ứ ượ ứ c t
giác DNGM là hình bình hành. Sau đó ch ng minh hai c nh k b ng nhau.ứ ạ ề ằ
Trang 3* Trình bày l i gi i ờ ả
ABE = ACF (c nh huy n, góc nh n) ạ ề ọ
AE = AF và BE = CF
Vì H là tr c tâm c a ự ủ ABC nên AH là đường cao, đ ng th i là đồ ờ ường trung tuy n, t đó GBế ừ
= GC và DE = DF
Xét EBC có GN // BE (cùng vuông góc v i AC) và GB = GC nên NE = NC.ớ
Ch ng minh tứ ương t ta đự ược MF = MB
Dùng đ nh lí đị ường trung bình c a tam giác ta ch ng minh đủ ứ ược DM // GN và DM = GN nên
t giác DNGM là hình bình hành.ứ
M t khác, DM = DN (cùng b ng c a hai c nh b ng nhau) nên DNGM là hình thoi.ặ ằ ủ ạ ằ
Ví d 3 ụ Cho hình vuông ABCD. L y đi m M trên đấ ể ường chéo AC. V ME ẽ AD, MF CD và MH
EF. Ch ng minh r ng khi đi m M di đ ng trên AC thì đứ ằ ể ộ ường th ng MH luôn đi qua m t đi m cẳ ộ ể ố
đ nh.ị
Gi i ả
* Tìm cách gi i ả
V hình chính xác ta th y đẽ ấ ường th ng MH đi qua m t đi m c đ nh là đi m B. Vì th ta sẳ ộ ể ố ị ể ế ẽ
ch ng minh ba đi m H, M, B th ng hàng b ng cách ch ng minh ứ ể ẳ ằ ứ
* Trình bày l i gi i ờ ả
G i N là giao đi m c a đọ ể ủ ường th ng EM v i BC. ẳ ớ
Khi đó BN = AE; AE = ME (vì AEM vuông cân) suy ra BN = ME
Ch ng minh tứ ương t ta đự ược MN = MF
N i MB ta đố ược BMN = EFM (c.g.c).
Suy ra do đó
T đó ba đi m H, M, B th ng hàng.ừ ể ẳ
V y đậ ường th ng MH luôn đi qua m t đi m c đ nh là đi m B.ẳ ộ ể ố ị ể
Ví d 4 ụ Cho hình vuông ABCD c nh a. Trên c nh BC l y đi m M, trên c nh CD l y đi m N saoạ ạ ấ ể ạ ấ ể cho chu vi các tam giác CMN b ng 2a. Ch ng minh r ng góc MAN có s đo không đ i.ằ ứ ằ ố ổ
Gi i ả
* Tìm cách gi i ả
Trang 4V hình chính xác ta luôn th y Vì v y ta v hình ph t o ra góc 90ẽ ấ ậ ẽ ụ ạ o r i ch ng minh b ngồ ứ ằ
n a góc vuông đó.ử
* Trình bày l i gi i ờ ả
Trên tia đ i c a tia DC l y đi m E sao cho DE = BM.ố ủ ấ ể
BAM = DAE (c.g.c) suy ra AM = AE và
Ta có
hay
Theo đ bài, CM + CN + MN = 2a mà CM + CN + MB + ND = 2a ề
nên MN = MB + ND hay MN = DE + ND = EN
MAN = EAN (c.c.c)
V y góc MAN có s đo không đ i.ậ ố ổ
Ví d 5 ụ Cho hình vuông ABCD. Trên các c nh AB, BC, CD l n lạ ầ ượ ất l y các đi m M, N, P sao choể
AM = BN = CP. Qua N v m t đẽ ộ ường th ng vuông góc v i MP c t AD t i Q. Ch ng minh r ng tẳ ớ ắ ạ ứ ằ ứ giác MNPQ là hình vuông
Gi i ả
* Tìm cách gi i ả
T gi thi t ta nghĩ đ n vi c ch ng minh các tam giác b ng nhau đ suy ra b n c nh c a từ ả ế ế ệ ứ ằ ể ố ạ ủ ứ giác MNPQ b ng nhau, ta đằ ượ ức t giác này là hình thoi. Sau đó ch ng minh hai đứ ường chéo b ngằ nhau đ để ược hình vuông
* Trình bày l i gi i ờ ả
V ME ẽ CD, NF AD.
G i O là giao đi m c a ME và NF.ọ ể ủ
Ta có AB = BC = CD = DA mà AM = BN = CP nên BM = CN = DP
D th y t giác AMOF là hình vuông.ễ ấ ứ
EMP và FNQ có:
ME = NF (b ng c nh hình vuông);ằ ạ (hai góc có c nh tạ ương ng vuông góc)ứ EMP = FNQ (g.c.g) MP = NQ và EP = FQ
Ta có DE = AM = AF DP = AQ do đó DQ = CP
Các tam giác BNM, CPN, DQP và AMQ b ng nhau suy ra MN = NP = PQ = QM.ằ
Trang 5Do đó t giác MNPQ là hình thoi. Hình thoi này có hai đứ ường chéo b ng nhau nên là hìnhằ vuông
II. LUY N T PỆ Ậ
Hình thoi
6.1. M t hình thoi có góc nh n b ng 30ộ ọ ằ o. Kho ng cách t giao đi m c a hai đả ừ ể ủ ường chéo đ n m iế ỗ
c nh b ng h. Tính đ dài m i c nh c a hình thoi.ạ ằ ộ ỗ ạ ủ
6.2. Cho hình thoi ABCD, chu vi b ng 8cm. Tìm giá tr l n nh t c a tích hai đằ ị ớ ấ ủ ường chéo
6.3. Cho hình thoi ABCD, G i M là trung đi m c a AB. V DH ọ ể ủ ẽ CM. Tính s đo c a góc MHB.ố ủ
6.4. Cho hình thoi ABCD. Trên n a m t ph ng b BD có ch a đi m C, v hình bình hành BDEF cóử ặ ẳ ờ ứ ể ẽ
DE = DC. Ch ng minh r ng C là tr c tâm c a tam giác AEF.ứ ằ ự ủ
6.5. Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo c t nhau t i O. G i E, F, G, H l n lắ ạ ọ ầ ượt là giao
đi m các để ường phân giác c a tam giác AOB, BOC, COD và DOA. Ch ng minh t giác EFGH làủ ứ ứ hình thoi
6.6. D ng hình thoi ABCD bi t AC + BD = 8cm và ự ế
Hình vuông
6.7. Cho hình vuông ABCD. Trên c nh BC l y các đi m E và F sao cho BE = EF = FC. Trên c nhạ ấ ể ạ
AD l y đi m G sao cho Tính t ng ấ ể ổ
6.8. Cho hình vuông ABCD. Trên đường chéo AC l y m t đi m M. V ME ấ ộ ể ẽ AD, MF CD.
Ch ng minh r ng ba đứ ằ ường th ng AF, CE và BM đ ng quy.ẳ ồ
6.9. Cho tam giác ABC vuông t i A, đạ ường cao AH. V ra phía ngoài tam giác này các hình vuôngẽ ABDE và ACFG. Ch ng minh r ng:ứ ằ
a) Ba đường th ng AH, DE và FG đ ng quy;ẳ ồ
b) Ba đường th ng AH, BF và CD đ ng quy.ẳ ồ
6.10. Cho hình vuông ABCD. Trên tia đ i c a tia BA l y đi m E. Trên tia đ i c a tia CB l y đi m Fố ủ ấ ể ố ủ ấ ể sao cho AE = CF. G i O là trung đi m c a EF. V đi m M sao cho O là trung đi m c a DM. Ch ngọ ể ủ ẽ ể ể ủ ứ minh r ng t giác DEMF là hình vuông.ằ ứ
Trang 66.11. Cho tam giác ABC, V ba đẽ ường cao AD, BE, CF c t nhau t i H. G i M, N, P, Q l n lắ ạ ọ ầ ượt là trung đi m c a AB, AC, HB và HC. Ch ng minh r ng t giác MNPQ là hình vuông.ể ủ ứ ằ ứ
6.12. Cho hình bình hành ABCD. V ra phía ngoài c a hình bình hành các hình vuông có m t c nh làẽ ủ ộ ạ
c nh c a hình bình hành. G i E, F, G, H l n lạ ủ ọ ầ ượt là tâm (t c là giao đi m c a hai đứ ể ủ ường chéo) c aủ các hình vuông v trên các c nh AB, BC, CD và DA. Ch ng minh r ng EG = HF và EG ẽ ạ ứ ằ HF
6.13. D ng hình vuông ABCD bi t đ nh A và trung đi m M c a CD.ự ế ỉ ể ủ
6.14.M t bàn c hình vuông có kích thộ ờ ước 6 6. Có th dùng 9 m nh g hình ch nh t có kíchể ả ỗ ữ ậ
thước 1 4 đ ghép kín bàn c để ờ ược không?
6.15. M t hình ch nh t có kích thộ ữ ậ ước 3 6. Hãy chia hình ch nh t này thành nhi u ph n (hình tamữ ậ ề ầ giác, t giác) đ ghép l i thành m t hình vuông (s ph n đứ ể ạ ộ ố ầ ược chia ra càng ít càng t t).ố