Giáo án Hình học 8 - Chủ đề: Diện tích đa giác

Giáo án Hình học 8 - Chủ đề: Diện tích đa giác được biên soạn với nội dung giúp các em học sinh nắm được các kiến thức về: mỗi đa giác có một diện tích xác định; diện tích đa giác là một số dương; công thức tính diện tích đa giác, cung cấp một số bài tập để các em vận dụng nâng cao kiến thức và kỹ năng. Mời thầy cô và các em cùng tham khảo.

CH  Đ  10. DI N TÍCH ĐA GIÁC Ủ Ề Ệ

A/ KI N TH C C N NHẾ Ứ Ầ Ớ

1/ M i đa giác có m t di n tích xác đ nh. Di n tích đa giác là m t s  dỗ ộ ệ ị ệ ộ ố ương có các tính ch t ấ

sau:

+ Hai tam giác b ng nhau thì có di n tích b ng nhau.ằ ệ ằ

+ N u m t đa giác đế ộ ược chia thành nh ng đa giác không có đi m trong chung thì di n tích ữ ể ệ

c a nó b ng t ng di n tích c a nh ng đa giác đó.ủ ằ ổ ệ ủ ữ

+ Hình vuông c nh có đ  dài b ng 1 thì có di n tích là 1.ạ ộ ằ ệ

2. Các công th c tính di n tích đa giácứ ệ

+ Di n tích hình ch  nh t b ng tích hai kích thệ ữ ậ ằ ướ ủc c a nó    S = a.b 

(a, b là kích thước hình ch  nh t)ữ ậ + Di n tích hình vuông b ng bình phệ ằ ương c nh c a nó     S = aạ ủ 2

. (a là đ  dài c nh hình vuông)ộ ạ

Chú ý: Di n tích hình vuông có đ ng chéo dài b ng d là .ệ ườ ằ + Di n tích tam giác vuông b ng n a tích hai c nh góc vuông    .ệ ằ ử ạ

(a , b là đ  dài hai c nh góc vuông)ộ ạ + Di n tích tam giác b ng n a tích c a m t c nh v i chi u cao  ng v i c nh đó  .  ệ ằ ử ủ ộ ạ ớ ề ứ ớ ạ

(a, h là đ  dài c nh và độ ạ ường cao tương  ng)ứ

+ Di n tích hình thang b ng n a tích c a t ng hai đáy v i chi u cao: S =     ệ ằ ử ủ ổ ớ ề

( a, b là đ  dài hai đáy, h là đ  dài độ ộ ường cao)

+ Di n tích hình bình hành b ng tích c a m t c nh v i chi u cao  ng v i c nh đó: S = a.hệ ằ ủ ộ ạ ớ ề ứ ớ ạ

(a, h là đ  dài m t c nh và độ ộ ạ ường cao tương  ng).ứ

+ Di n tích t  giác có hai đệ ứ ường chéo vuông góc b ng n a tích hai đằ ử ường chéo: S =     

(d1 ; d2 là đ  dài hai độ ường chéo tương  ng).ứ + Di n tích hình thoi b ng n a tích hai đệ ằ ử ường chéo    S =  

(d1 ; d2 là đ  dài hai độ ường chéo tương  ng).ứ

d 2

d 1

d2

d1

3. B  sungổ

+ Hai tam giác có chung m t c nh (ho c m t c p c nh b ng nhau) thì t  s  di n tích b ng tộ ạ ặ ộ ặ ạ ằ ỉ ố ệ ằ ỉ 

s  hai đố ường cao  ng v i c nh đóứ ớ ạ

+ Hai tam giác có chung m t độ ường cao(ho c m t c p đặ ộ ặ ường cao b ng nhau) thì t  s  di nằ ỉ ố ệ   tích b ng t  s  hai c nh  ng v i đằ ỉ ố ạ ứ ớ ường cao đó

+ T  giác ABCD là hình thang( AB // CD). Hai đứ ường chéo AC và BD c t nhau t i O thì .ắ ạ + Trong cách hình ch  nh t có cùng chu vi thì hình vuông có di n tích l n nh t. ữ ậ ệ ớ ấ

+ Hai hình ch  nh t có cùng chi u cao thì t  s  di n tích b ng t  s  hai đáy.ữ ậ ề ỉ ố ệ ằ ỉ ố

+ Tam giác đ u c nh a có di n tích là .ề ạ ệ

B/ BÀI T P V N D NG.Ậ Ậ Ụ

I/ M T S  VÍ D Ộ Ố Ụ

Ví d  1.ụ  Cho hình ch  nh t ABCD có AB = 12 cm, AD = 6,8 cm. G i H, I, E, K là các trung đi mữ ậ ọ ể  

tương  ng c a BC, HC, DC, EC.   ứ ủ

a) Tính di n tích tam giác DBE.ệ

b) Tính di n tích t  giác EHIK.ệ ứ

Gi iả

Tìm cách gi i. ả

D  dàng tính đễ ược di n tích hình ch  nh t ABCD. M t khác, đ  bài xu t hi n nhi u y u tệ ữ ậ ặ ề ấ ệ ề ế ố  trung đi m nên chúng ta có th  v n d ng tính ch t : hai tam giác có chung để ể ậ ụ ấ ường cao thì t  s  di nỉ ố ệ   tích b ng t  s  hai c nh đáy  ng v i đằ ỉ ố ạ ứ ớ ường cao đó. T  đó rút ra nh n xét: đừ ậ ường trung tuy n c aế ủ   tam giác chia tam giác  y thành hai ph n có di n tích b ng nhau.ấ ầ ệ ằ

T  nh n xét quan tr ng đó, chúng ta l n lừ ậ ọ ầ ượt tính được di n tích các tam  giác BCD, BCE,ệ   DBE, BEH, ECH, HKC, CKI, 

Trình bày l i gi iờ ả

a) ABCD là hình ch  nh t nên ữ ậ

E là trung đi m c a CD, suy ra: ể ủ

b) H là trung đi m BC ể

K là trung đi m CE ể

I là trung đi m CH ể

V y ậ

Ví d  2.ụ  Cho tam giác ABC cân   A, AB = AC = 5cm, BC = 6cm. G i O là  trung đi m c a đở ọ ể ủ ườ  ng cao AH. Các tia BO và CO c t c nh AC và AB l n lắ ạ ầ ượ ởt   D và E. Tính SADOE ?

Tìm cách gi i. ả

Đ  tính di n tích đ i v i bài t p này h c sinh ph iể ệ ố ớ ậ ọ ả. nh n th yậ ấ  

S ABC đã bi t nên ta c n tìm m i quan h  v  Sế ầ ố ệ ề ADOE v i Sớ ABC. L i có Hạ  

và O là nh ng đi m đ c bi t trên các đo n AC, AH nên ta d  dàngữ ể ặ ệ ạ ễ  

tìm được m i quan h  đó b ng cách l y thêm đi m N là trung đi mố ệ ằ ấ ể ể  

c a DC. ủ

Trình bày l i gi iờ ả

G i N là trung đi m c a CD.ọ ể ủ

=> AD = DN = NC = 3

1

AC

1 AC

AD S

S

AOC

AOD

(Chung chi u cao h  t  O xu ng AC)ề ạ ừ ố

H

K

B A

D

I

           2

1 AH

AO S

S

AHC

AOC

 (Chung chi u cao h  t  C xu ng AH)ề ạ ừ ố

Mà SAHC = 2

1

SABC (Chung chi u caoAH)ề  (2)

T  (1) và (2) => Sừ AOD = 12

1

SABC  . Mà SAOE = SAOD 

=> SADOE = 2 SAOD = 6

1

 SABC

Áp d ng đlí Pitago vào ụ AHC vuông t i H => AH = 4cmạ

=> SABC  = 

2

12cm 2

4.6 2

AH.BC

V y Sậ ADOE = 6

1

.12 = 2 cm2

Ví d  3.ụ  Cho hbh ABCD có di n tích b ng 1. G i M là trung đi m c a BC, AM c t BD   Q. Tínhệ ằ ọ ể ủ ắ ở  

di n tích MQDC ?ệ

Tìm cách gi i. ả

Hs c n nh n th y Sầ ậ ấ ABCD = 1  nên d  dàng suy ra Sễ BCD  = 2

1

. 

Đ  tính Sể MQDC  thì ph i thông qua Sả BCD  và SBMQ 

Do đó ta c n ph i tìm m i quan h  c a Sầ ả ố ệ ủ BMQ  v i Sớ BCD 

Đ  tìm để ược m i liên h  đó ta ph i xét xem Q n m trênố ệ ả ằ  

BD có   v  trí đ c bi t không b ng cách l y thêm đi m N làở ị ặ ệ ằ ấ ể  

trung đi m c a AD. ể ủ

Trình bày l i gi iờ ả

L y N là trung đi m c a AD.ấ ể ủ

Ch  ra AMCN là hình bình hành => AM // CNỉ

=> QB = QE ; ED = QE ( Đ nh lí đị ường trung bình)

=> BQ = QE = ED

1

SBCQ  ; SQBC = 3

1

SBCD.

=> SBMQ  = 6

1

 SBCD 

=> SMQDC = 6

5

 SBCD =12

5

 SABCD = 12

5

Ví d  4.ụ  Cho hình ch  nh t ABCD, trên c nh BC l y M:  BM = ữ ậ ạ ấ 5

1

 BC. Trên c nh CD l y N sao choạ ấ  

CN = 3

1

 CD

a) Tính SAMN  theo SABCD.

b) BD c t AM   P, BD c t AN   Q. Tính Sắ ở ắ ở MNQP  theo SABCD

Tìm cách gi i. ả

(a)  hs d  dàng nh n ra ph i s  dung tính ch t 1: N u m t đaễ ậ ả ử ấ ế ộ  

giác được chia thành các đa giác không có đi m chung thì di n tíchể ệ  

c a nó b ng t ng di n tích c a các đa giác đó ( tính c ng). ủ ằ ổ ệ ủ ộ

Nên đ   tính di n tích c a ể ệ ủ AMN ta có: 

SAMN = SABCD ­ SABN  ­ SCMN ­ SADN (b) Tính SMNQP  theo SABCD c n ph i tìm m i liên h  Sầ ả ố ệ MNPQ v i Sớ AMN vì các đ nh c a t  giác n mỉ ủ ứ ằ   trên c nh c a  ạ ủ  AMN

Mu n tìm m i liên h  đó rõ ràng ph i thông qua ố ố ệ ả  APQ. 

Ta nh n th y ậ ấ  APQ và   AMN có hai đáy cùng thu c m t độ ộ ường th ng nên ta ph i k  thêmẳ ả ẻ  

đường vuông góc PK và MH. T  đó suy ra l i gi i c a bài toán.ừ ờ ả ủ

Trình bày l i gi iờ ả

a) SAMN = SABCD ­ SABN  ­ SCMN ­ SADN

SABM = 10

1

SABCD ; SCMN = 15

2

SABCD;  SADN  = 3

1

SABCD

Do đó ta tính đượ  : c SAMN = 60

13

SABCD

V y ậ SMNPQ = 60

13

SABCD

b) K  MH ẻ  AN ; PK   AN => 

AN

AQ MH

PK MH.AN 2

1

PK.AQ 2

1 S

S

AMN APQ

Vì PK// MH ( cùng vuông góc v i AN) => ớ AM

AP MH

PK

.(Theo đ nh lí Ta let).ị

5 BM

AD PM

AP

 => AM

AP

= 6 5

3 DN

AB QN

AQ

 =>  5

3 AN

AQ

Do đó  AMN

APQ

S

S

2

1 5

3 6

5 AN

AQ AM

AP

 => SAPQ = SMNPQ  = 2

1

SAMN = 60

13

SABCD

Ví d  5.ụ  Cho  ABC có AB = 3; AC = 4, BC = 5. V  các đẽ ường phân giác AD, BE, CF. Tính di nệ   tích tam giác DEF. (Đ  thi h c sinh gi i qu n Ba đình 1998 ­ 1999)ề ọ ỏ ậ

 Tìm cách gi i. ả  

­ Đ  tính để ược di n tích c a ệ ủ  DEF thì ta ph i đi tính Sả ABC, SAEF, SBFD, SDFC

  H c sinh d  dàng tính đọ ễ ược SABC, SAEF  vì đó là hai tam giác vuông. 

­ Đ  tính để ược SBFD, SDFC   thì c n ph i k  thêm đầ ả ẻ ường cao. Căn c  thêm vào gi  thi t : cóứ ả ế   phân giác c a các góc nên t  đó suy ra k  đủ ừ ẻ ường cao FH và EK 

=> FH = FA; EK = EA. 

Trình bày l i gi iờ ả

ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 5. 

Nên ddcm   ABC vuông t i A.ạ

Ta có CF là phân giác ACB  =>  5

4 CB

CA FB

FA

 =>  9

4 AB FA

=> FA = 3

4 3 9 4

3

. 

H  FH ạ  BC ;  EK   BC

=> FH = FA ; EK = AE ( Tính ch t tia pg c a m t góc)ấ ủ ộ

Cmtt nh  trên ta tính đư ược DB =  7

15

 ( D a vào đ nh lí đự ị ường phân giác trong tam giác) 

=> DC =  7

20

10 7

15 3

4 2

1 2

FH.BD

15 7

20 2

3 2

1 2

EK.DC

3.4 2

AB.AC

=> SDEF = SABC  ­ ( SAEF  + SBFD  + SDFC) 

      V y ậ SDEF  =  7

10

Ví d  6.ụ  Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo AC, BD c t nhau t i O. Đắ ạ ường trung tr c c a ABự ủ  

c t BD, AC t i M, N. Bi t MB = a, NA = b. Tính di n tích hình thoi theo a và b.ắ ạ ế ệ

Bài gi i ả

G i H là trung đi m c a AB. D  dàng nh n th y:ọ ể ủ ễ ậ ấ

b HB

HN MB

AN

=> HN = a HB

b

= a HA

b

*)  AHN ∽  AOB (g.g) =>  OB

HN AO

AH

b HB

HN AH

HN OA

OB

  => OB = a OA

b

O

M

N H

D

C B

A

*)  AHN vuông t i H => HNạ 2 + HA2 = AN2 ( Theo đ nh lí Pitago)ị

=> HA2(1 +  2

2

a

b

 )  = b2 . 

Do đó HA2 =  2 2

2 2

b a

b a

 => AB2 = 4HA2 =  2 2

2 2

b a

b 4a

*)  AOB vuông => OA2 + OB2  = AB2

=> OA2 +

2 2

2 OA a

b

2 2

b a

b 4a

Do đó OA2 =  2 2)2

2 4

b (a

b 4a

 => OA =  2 2

2

b a

b 2a

 và OB =  2 2

2

b a

b 2a

Mà SABCD  = 2.OA.OB 

V y Sậ ABCD  =  2 2)2

3 3

b (a

b 8a

Ví d  7.ụ  Cho hình vuông ABCD có c nh b ng 30cm. ạ ằ Trên các c nh AB, BC, CD, DA th  t  l y cácạ ứ ự ấ  

đi m E, F, G, H: AE = 10cm; ể BF =12cm, CG = 14 cm, DH = 16cm

a) Tính SEFGH 

b) Trên EF l y hai đi m M, N : sao cho EM = ấ ể MF

3

2

3

2

Trên c nh HG l y hai đi m P, Q : GP = HQ = ạ ấ ể MF

5 2 .  Tính SMNPQ .

Tìm cách gi i. ả

a) Ta nh n th y đ  tính đậ ấ ể ược  SEFGH    ph i thôngả  

qua SABCD, SAEH, SEBF, SFCG, SHGD là các hình tính được di nệ  

tích qua các công th c đã h c.ứ ọ

b) Vì t  giác MNPQ  có các đ nh n m trên c nhứ ỉ ằ ạ  

c a t  giác EFGH   nh ng v  trí đ c bi t theo gt đã nêu.ủ ứ ở ữ ị ặ ệ  

Do đó ta c n tìm m i liên h  gi a t  giác MNPQ v iầ ố ệ ữ ứ ớ  

EFGH. T  đó tính đừ ược di n tích c a t  giác MNPQ.ệ ủ ứ

P Q

N M

16cm

14cm

12cm 10cm

H

G

F E

B A

Trình bày l i gi iờ ả

a) T  gt => EB = 20cm, CF = 18cm, DG = 16cm, AH = 14cm.ừ

*) SABCD  = 900 cm2

*) SAEH =  2

AE.AH

= 70 cm2; SEBF = 2

EB.BF

 = 120cm2

SFCG  =  2

FC.CG

= 126cm2; SHGD =  2

DH.DG

 = 128 cm2

=> SEFGH  = 900 ­ ( 70 + 120 + 126 + 128) = 456 cm2

b) Vì EM =  MF

3

2

(gt) => EM =  EF

5

2

 => SHEM  =  SHEF

5

2

 => SHMF = 5SHFE

3

5

2

 (gt) => PH =  HG

5

3

 => SHFP = 5SHFG

3

=> SHMF + SHFP = 5

3

( SHEF + SHFG) = 5

3

SEFGH 

Dd ch ng t  PQ = ứ ỏ 3HP

1

, MN = 3MF

1

 => SMQP = 3

1

SMHP ; SPMN = 3

1

SMPF.

=> SMQP  + SPMN = 3

1

( SMHP + SMPF.) =  5SEFGH

3 3

1

 = 5SEFGH 1

=> SMNPQ = 5SEFGH

1

 = 5

1

.456 = 91,2 (cm2)

II/ BÀI T P V N D NGẬ Ậ Ụ

Bài 1 Cho hình thoi ABCD có . G i E, F, G, H l n lọ ầ ượt là trung đi m c a các c nh AB, BC, CD,ể ủ ạ  

DA. Ch ng minh đa giác EBFGDH là l c giác đ u.ứ ụ ề

Bài 2 Cho tam giác ABC, O là tr ng tâm c a tam giác. G i E, F, G l n lọ ủ ọ ầ ượt là các đi m đ i x ngể ố ứ  

v i đi m O qua trung đi m c a AB, BC, AC. Ch ng minh l c giác AEBFCG là l c giác đ u.ớ ể ể ủ ứ ụ ụ ề

a) Ch ng minh t  giác ABCD là hình thang cân.ứ ứ

b) Ch ng minh ngũ giác ABCDEF là ngũ giác đ u.ứ ề

Bài 4 Cho ngũ giác đ u ABCDE. G i K là giao đi m c a hai đề ọ ể ủ ường chéo AC và BE

a) Tính s  đo m i góc c a ngũ giác.ố ỗ ủ

b) Ch ng minh CKED là hình thoi.ứ

Bài 5 Cho hình ch  nh t ABCD. E là đi m b t kì n m trên đữ ậ ể ấ ằ ường chéo AC. Đường th ng qua E,ẳ   song song v i AD c t AB, DC l n lớ ắ ầ ượ ạt t i F, G. Đường th ng qua E, song song v i AB c tẳ ớ ắ  

AD, BC l n lầ ượ ạt t i H, K. Ch ng minh hai hình ch  nh t EFBK và EGDH có cùng di n tích.ứ ữ ậ ệ

Bài 6 Cho tam giác ABC. G i M, N l n lọ ầ ượt là trung đi m c a các c nh AB, AC. V  BP ể ủ ạ ẽ  MN, CQ 

 MN (P, Q   MN)

a) Ch ng minh t  giác BPQC là hình ch  nh t.ứ ứ ữ ậ

b) Ch ng minh .ứ

giác ADCM và ABCN có di n tích b ng nhau. Cho hình thang vuông ABCD (), AB = 3cm, ADệ ằ  

= 4cm và . Tính di n tích c a hình thang đóệ ủ

ĐS: . 

BCHI. Ch ng minh ứ .

Bài 9 Di n tích hình bình hành b ng . Kho ng cách t  giao đi m c a hai đệ ằ ả ừ ể ủ ường chéo đ n cácế  

đường th ng ch a các c nh hình bình hành b ng  và . Tính chu vi c a hình bình hành.ẳ ứ ạ ằ ủ

    ĐS: . 

th ng AO, BE, CN và DK c t nhau t i L, M, R, P. Ch ng minh .ẳ ắ ạ ứ

Bài 11.Cho tam giác ABC. G i E, F l n lọ ầ ượt là trung đi m c a BA, BC. L y đi m M trên đo nể ủ ấ ể ạ  

th ng EF (M ẳ  E, M   F). Ch ng minh .ứ

ABC; H và K chân đường vuông góc k  t  M đ n AB và AC. Ch ng minh: .  ẻ ừ ế ứ

Tính t  s  di n tích c a: ỉ ố ệ ủ

a) Các tam giác DAC và DCK

b) Tam giác DAC và t  giác ADLB.ứ

c) Các t  giác ABKD và ABLD.ứ

ĐS: a)  b)  c) .

b ng . Tính di n tích tam giác ABC.ằ ệ

ĐS: . 

sao cho BE = 4EC. G i F là giao đi m c a AE và CD.ọ ể ủ

a) Ch ng minh: FD = FC.ứ

b) Ch ng minh: .ứ

Bài 16.Cho tam giác đ u ABC, đề ường cao AH và đi m M thu c mi n trong c a tam giác. G i P, Q,ể ộ ề ủ ọ  

R l n lầ ượt là chân đường vuông góc k  t  M đ n BC, AC, AB. Ch ng minh: MP + MQ + MRẻ ừ ế ứ  

= AH

Bài 17.Cho tam giác ABC. G i M, N l n lọ ầ ượt là trung đi m c a các c nh AC, AB. T  N k  để ủ ạ ừ ẻ ườ  ng

th ng song song v i BM c t đwòng th ng BC t i D. Bi t di n tích tam giác ABC b ng . ẳ ớ ắ ẳ ạ ế ệ ằ

a) Tính di n tích hình thang CMND theo ệ a.

b) Cho  và . Tính chi u cao c a hình thang CMND.ề ủ

ĐS: a)  b) .

CD m t đo n DP = CD và kéo dài DA m t đo n AQ = DA. Ch ng minh ộ ạ ộ ạ ứ

HD: T  , , ,   ừ  đpcm