Giáo án Hình học lớp 8 - Chủ đề: Đa giác, đa giác đều được biên soạn dành cho quý thầy cô giáo và các em học sinh để phục vụ quá trình dạy và học. Giúp thầy cô có thêm tư liệu để chuẩn bị bài giảng thật kỹ lương và chi tiết trước khi lên lớp, cũng như giúp các em học sinh nắm được kiến thức môn Công nghệ. Mời quý thầy cô và các em cùng tham khảo.
Trang 1CH Đ 9. ĐA GIÁC , ĐA GIÁC Đ U Ủ Ề Ề
A/ KI N TH C C N NHẾ Ứ Ầ Ớ
1/ Đa giác l iồ là đa giác luôn n m trong m t n a m t ph ng có b là đằ ộ ử ặ ẳ ờ ường th ng ch a b t kì c nh ẳ ứ ấ ạ nào c a đa giác đó.ủ
2/ Đa giác đ uề là đa giác có t t c các c nh b ng nhau và t t c các góc b ng nhau.ấ ả ạ ằ ấ ả ằ
VD1: Tam giác đ u có 3 c nh b ng nhau và ba góc b ng nhau b ng 60ề ạ ằ ằ ằ o
VD2: T giác đ u (Hình vuông) có 4 c nh b ng nhau và b n góc b ng nhau b ng 90ứ ề ạ ằ ố ằ ằ o
3/ B sung ổ
+ T ng các góc trong c a đa giác n c nh (n > 2) là ổ ủ ạ
+ S đố ường chéo c a m t đa giác n c nh (n > 2) là .ủ ộ ạ
+ T ng các góc ngoài c a đa giác n c nh (n > 2) là (t i m i đ nh ch ch n m t góc ngoài).ổ ủ ạ ạ ỗ ỉ ỉ ọ ộ + Trong m t đa giác đ u, giao đi m O c a hai độ ề ể ủ ường phân giác c a hai góc k m t c nh làủ ề ộ ạ tâm c a đa giác đ u. Tâm O cách đ u các đ nh, cách đ u các c nh c a đa giác đ u. Có m t đủ ề ề ỉ ề ạ ủ ề ộ ườ ng tròn tâm O đi qua các đ nh c a đa giác đ u g i là đỉ ủ ề ọ ường tròn ngo i ti p đa giác đ u.ạ ế ề
B. M T S VÍ DỘ Ố Ụ
Ví d 1: ụ Cho hình thoi ABCD có góc ∠A = 60o. G i E, F, G, H l n lọ ầ ượt là trung đi m c a các c nhể ủ ạ
AB, BC, CD, DA. Ch ng minh r ng đa giác EBFGDH là l c giác đ uứ ằ ụ ề
Gi iả
ABCD là hình thoi có ∠A = 60o => ∠B = ∠D = 120o
∆AEH là tam giác đ u (Vì tam giác cân có m t góc 60ề ộ o)
=> ∠E = ∠H = 120o
Tương tự: ∠F = ∠G = 120o
V y EBFGDH có t t c các góc b ng nhau, m t khácậ ấ ả ằ ặ
EBFGDH cũng có t t c các c nh b ng nhau (b ng n a c nhấ ả ạ ằ ằ ử ạ
hình thoi)
V y EBFGDH là m t l c giác đ u.ậ ộ ụ ề
Ví d 2. ụ Tìm s c nh c a m t đa giác bi t s đố ạ ủ ộ ế ố ường chéo h n s c nh là 7. ơ ố ạ
Gi iả
thuvienhoclieu.com Trang 1
Trang 2Tìm cách gi i. ả
Bài này bi t m i liên h gi a s đế ố ệ ữ ố ường chéo và s c nh nên hi n nhiên chúng ta đ t s c nhố ạ ể ặ ố ạ
c a đa giác là ủ n bi u th s đ ng chéo là ể ị ố ườ
t đó ta tìm đừ ượ ố ạc s c nh.
Trình bày l i gi iờ ả
Đ t s c nh c a đa giác là n (n ≥ 3) thì s đặ ố ạ ủ ố ường chéo là theo đ bài ta có: ề
Vì n ≥ 3 nên n – 7 = 0 n = 7. V y s c nh c a đa giác là 7.ậ ố ạ ủ
Ví d 3. ụ T ng t t c các góc trong và m t góc ngoài c a m t đa giác có s đo là . H i đa giác đó cóổ ấ ả ộ ủ ộ ố ỏ bao nhiêu c nh?ạ
Gi iả
Tìm cách gi i. ả
N u ta đ t n là s c nh , là s đo m t góc ngoài c a đa giác thì ế ặ ố ạ α ố ộ ủ
và (n 2).1800 là m t sộ ố nguyên. Do đó suy ra , t đó ta có là s d c a 47058,5ừ α ố ư ủ 0 chia cho 1800. B ng cách suy lu n nhằ ậ ư
v y, chúng ta có l i gi i sau:ậ ờ ả
Trình bày l i gi iờ ả
G i n là s c nh c a đa giác (n ọ ố ạ ủ N, n ≥ 3)
T ng s đo các góc trong c a đa giác b ng .ổ ố ủ ằ
Vì t ng các góc trong và m t trong các góc ngoài c a đa giác có s đo là nên ta cóổ ộ ủ ố
( là s đo m t góc ngoài c a đa giác v i )α ố ộ ủ ớ
V y s c nh c a đa giác là 263.ậ ố ạ ủ
Ví d 4. ụ T ng s đo các góc c a m t đa giác n c nh tr đi góc A c a nó b ng 570ổ ố ủ ộ ạ ừ ủ ằ 0. Tính s c nh ố ạ
c a đa giác đó và ủ
Gi iả
Tìm cách gi i.ả
thuvienhoclieu.com Trang 2
Trang 3Theo công th c tính t ng các góc trong ta có (n 2). 180ứ ổ 0 – = 5700. Quan sát và nhìn nh n, ta ậ
có th nh n th y ch có thêm đi u ki n là n ể ậ ấ ỉ ề ệ N, n ≥ 3 và 00 < < 1800. T đó ta có l i gi i sau:ừ ờ ả
Trình bày l i gi iờ ả
Ta có (n 2). 1800 – = 5700 = (n 2).1800 – 5700
Vì 00 < < 1800 0 < (n 2). 1800 – 5700 < 1800
5700 < (n 2). 1800 < 7500
Vì n N nên n = 6
Đa giác đó có 6 c nh và = (6 2). 180ạ 0 – 5700 = 1500
Ví d 5. ụ M t l c giác đ u và m t ngũ giác đ u chung c nh AD (nh hình v ). Tính các góc c a tamộ ụ ề ộ ề ạ ư ẽ ủ giác ABC.
Gi iả
Tìm cách gi i. ả
Vì AD là c nh c a l c giác đ u và ngũ giác đ u, nên d dàng nh n ra ∆ABD, ∆ACD, ∆BCDạ ủ ụ ề ề ễ ậ
là các tam giác cân đ nh D và tính đỉ ượ ốc s đo các góc đ nh. Do v y ∆ABC s tính đở ỉ ậ ẽ ượ ốc s đo các góc
Trình bày l i gi iờ ả
Theo công th c tính góc c a đa giác đ u, ta có:ứ ủ ề
Suy ra
Ta có ∆BDC (DB = DC) cân t i D. Do đó ạ
Suy ra
Ví d 6.ụ Cho l c giác đ u ABCDEF. G i M, L, K l n lụ ề ọ ầ ượt là trung
đi m EF, DE, CD. G i giao đi m c a AK v i BL và CM l n lể ọ ể ủ ớ ầ ượt là P,
Q. G i giao đi m c a CM và BL là R. Ch ng minh tam giác PQR làọ ể ủ ứ
tam giác đ u.ề
Gi iả
thuvienhoclieu.com Trang 3
B
A
D
C
R P
M F
B
A
Q
L
D
K
C
Trang 4Các t giác ABCK, BCDL, CDEM có các c nh và các góc đôi m t b ng nhau. Các góc c aứ ạ ộ ằ ủ
l c giác đ u b ng 120ụ ề ằ 0
Đ t ; .ặ
Trong tam giác CKQ có
Trong tam giác PBA có
T đó suy ra V y ∆PQR đ u.ừ ậ ề
Ví d 7. ụ Cho bát giác ABCDEFGH có t t c các góc b ng nhau, và đ dài các c nh là s nguyên.ấ ả ằ ộ ạ ố
Ch ng minh r ng các c nh đ i di n c a bát giác b ng nhau. ứ ằ ạ ố ệ ủ ằ
Gi iả
Các góc c a bát giác b ng nhau, suy ra s đo c a m i góc là . ủ ằ ố ủ ỗ
Kéo dài c nh AH và BC c t nhau t i M. Ta có:ạ ắ ạ
suy ra tam giác MAB là tam giác vuông cân
Tương t các tam giác CND, EBF, GQH cũng là các tam giácự
vuông cân, suy ra MNPQ là hình ch nh t. ữ ậ
Đ t AB = a; BC = b; CD = c; DE = d; EF = e; FG = f; GH = g;ặ
HA = h.
T các tam giác vuông cân, theo đ nh lí Pytago, ta có:ừ ị
nên
Tương t . Do MN = PQ nênự
.
Do f và b là s nguyên nên v ph i c a đ ng th c trên là s nguyên, do đó v trái là số ế ả ủ ẳ ứ ố ế ố nguyên. V trái ch có th b ng 0, t c là f = b, hay BC = FG. ế ỉ ể ằ ứ
Tương t có AB = EF, CD = GH, DE = HA.ự
Nh n xét ậ D a vào tính ch t s h u t , s vô t chúng ta đã gi i đự ấ ố ữ ỷ ố ỷ ả ược bài toán trên. Cũng v i kớ ỹ thu t đó, chúng ta có th gi i đậ ể ả ược bài thi hay và khó sau: Cho hình ch nh t ABCD. L y E, F thu cữ ậ ấ ộ
c nh AB; G, H thu c c nh BC; I, J thu c c nh CD; K, M thu c c nh DA sao cho hình 8 giácạ ộ ạ ộ ạ ộ ạ EFGHIJKM có các góc b ng nhau. Ch ng minh r ng n u đ dài các c nh c a hình 8 giácằ ứ ằ ế ộ ạ ủ EFGHIJKM là các s h u t thì EF = IJ. ố ữ ỉ
thuvienhoclieu.com Trang 4
h g
f e
d c
b a
D E F
B A
G
H
P
Q
C
Trang 5(Tuy n sinh l p 10, THPT chuyên, t nh H ng Yên, năm h c 2009 2010) ể ớ ỉ ư ọ
C. BÀI T P V N D NGẬ Ậ Ụ
10.1. S đố ường chéo c a m t đa giác l n h n 14, nh ng nh h n 27. H i đa giác đó bao nhiêuủ ộ ớ ơ ư ỏ ơ ỏ
c nh?ạ
10.2. T ng s đo các góc c a m t đa giác n c nh tr đi góc A c a nó b ng 2570ổ ố ủ ộ ạ ừ ủ ằ 0. Tính s c nhố ạ
c a đa giác đó và ủ
10.3. Cho ∆ABC có ba góc nh n và M là đi m b t kì n m trong tam giác. G i là các đi m đ i x ng ọ ể ấ ằ ọ ể ố ứ
v i M l n lớ ầ ượt qua trung đi m các c nh BC, CA, AB.ể ạ
a) Ch ng minh các đo n cùng đi qua m t đi m.ứ ạ ộ ể
b)Xác đ nh v trí đi m M đ l c giác ABị ị ể ể ụ 1CA1BC1 có các c nh b ng nhau.ạ ằ
10.4. M t ngũ giác đ u có 5 độ ề ường chéo và nhóm 5 đường chéo này ch có m t lo i đ dài (ta g iỉ ộ ạ ộ ọ
m t lo i đ dài là m t nhóm các độ ạ ộ ộ ường chéo b ng nhau). M t l c giác đ u có 9 đằ ộ ụ ề ường chéo và nhóm 9 đường chéo này có 2 lo i đ dài khác nhau (hình v ). ạ ộ ẽ
Xét đa giác đ u có 20 c nh. H i khi đó nhóm các đề ạ ỏ ường chéo có bao nhiêu lo i đ dài khác nhau?ạ ộ
10.5. Cho ngũ giác l i ABCDE có t t c các c nh b ng nhau và . Hãy tính .ồ ấ ả ạ ằ
a) Ch ng minh t giác ABCD là hình thang cân.ứ ứ
b) Ch ng minh ngũ giác ABCDEF là ngũ giác đ u.ứ ề
10.7. Cho ngũ giác ABCDE, g i M, N, P, Q l n lọ ầ ượt là trung đi m c a các c nh AB, BC, CD, EA vàể ủ ạ
I, J l n lầ ượt là trung đi m c a MP, NQ. Ch ng minh r ng IJ song song v i ED và .ể ủ ứ ằ ớ
10.8. Cho l c giác đ u ABCDEF. G i A’, B’,C’,D’,E’,F’ l n lụ ề ọ ầ ượt là trung đi m c a các c nhể ủ ạ AB,BC,CD, DE, EF, FA. Ch ng minh r ng A’B’C’D’E’F’ là l c giác đ u.ứ ằ ụ ề
10.9. Cho l c giác l i ABCDEF có các c p c nh đ i AB và DE; BC và EF; CD và AE v a song songụ ồ ặ ạ ố ừ
v a b ng nhau. L c giác ABCDEF có nh t thi t là l c giác đ u hay không?ừ ằ ụ ấ ế ụ ề
thuvienhoclieu.com Trang 5
Trang 610.10. Ch ng minh r ng trong m t ngũ giác l i b t kì luôn tìm đứ ằ ộ ồ ấ ược ba đường chéo có đ dài là ba ộ
c nh c a m t tam giác. ạ ủ ộ
10.11. Ch ng minh r ng t ng đ dài các c nh c a m t ngũ giác l i bé h n t ng đ dài các đứ ằ ổ ộ ạ ủ ộ ồ ơ ổ ộ ường chéo c a nó. ủ
10.12. Mu n ph kín m t ph ng b i nh ng đa giác đ u b ng nhau sao cho hai đa giác k nhau thì cóố ủ ặ ẳ ở ữ ề ằ ề chung m t c nh. H i các đa giác đ u này có th nhi u nh t bao nhiêu c nh?ộ ạ ỏ ề ể ề ấ ạ
10.13. Cho l c giác ABCDEF có t t c các góc b ng nhau, các c nh đ i không b ng nhau. Ch ngụ ấ ả ằ ạ ố ằ ứ minh r ng. Ngằ ượ ạ ếc l i n u có 6 đo n th ng th a mãn đi u ki n ba hi u trên b ng nhau và khác 0 thìạ ẳ ỏ ề ệ ệ ằ chúng có th l p để ậ ược m t l c giác có các góc b ng nhau.ộ ụ ằ
10.14. Ch ng minh r ng trong m t l c giác b t kì, luôn tìm đứ ằ ộ ụ ấ ược m t đ nh sao cho ba độ ỉ ường chéo
xu t phát t đ nh đó có th l y làm ba c nh c a m t tam giác.ấ ừ ỉ ể ấ ạ ủ ộ
10.15. Cho l c giác ABCDEG có t t c các c nh b ng nhau . Ch ng minh r ng các c p c nh đ iụ ấ ả ạ ằ ứ ằ ặ ạ ố
c a l c giác song song v i nhau.ủ ụ ớ
thuvienhoclieu.com Trang 6
