PHƯƠNG TRÌNH CHỨA dấu GIÁ TRỊ TUYỆT đối

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐIA.. Định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số Giá trị tuyệt đối của số x, ký hiệu là , x được định nghĩa là khoảng cách từ số x để số 0 trên trục số

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

A Lý thuyết

1 Định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số

Giá trị tuyệt đối của số x, ký hiệu là

,

x

được định nghĩa là khoảng cách từ số x để số 0 trên

trục số Như vậy ta có

, 0 , 0

x x x

x x

≥



= − <



2 Tính chất

a

0

x ≥

b

x = −x

c

2 2

x =x

3 Cách giải phương trình chứa trị tuyệt đối cơ bản

a Giải phương trình dạng

x = y

Ta có:

x y

=



= ⇔  = −

b Giải phương trình dạng:

x = y

Cách giải:

+) Cách 1: Xét 2 trường hợp

- Trường hợp 1: Với

0

x≥ ⇒ =x y

- Trường hợp 2: Với

0

x< ⇒ − =x y

+) Cách 2: Ta có:

0

y

x y

≥





= ⇔ =



 = −



B Bài tập

Dạng 1: Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau

Bước 1: Dựa vào định nghĩa giá trị tuyệt đối để bỏ dấu giá trị tuyệt đối

Bước 2: Sử dụng các kiến thức biến đổi để thu gọn biểu thức

Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau a)

7 2 3

A= − +x x−

b)

3 8 2 ( 2)

B= − x − x + −x x≥

c)

3

( 1)

−

+ −

Lời giải

a) Từ định nghĩa

7, 7 7



b)

x≥ ⇒ − = − −x x x = x ⇒ =B x + −x

c)

3 2

( 1)

x x

x x

+

Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau a)

3 1 2

D= x+ − −x

b)

2

2 1 3 5( 0)

E= x + − − x + x≥

c)

( 0) ( 1)

+ −

Lời giải

a) Ta có:

( )

1

b) Ta có:

2 1 3 5( 0) 0 3 0 3 3 2 1 3 5 2 3 6

E= x + − − x + x≥ x≥ ⇒ − ≤ ⇒ −x x = x⇒ =E x + − x+ = x − x+

c)

x



− = = −



Bài 3: Thu gọn các biểu thức sau

a

3

2

4 3 4 1 2

( 1) 1

x x

+ +

b

13 ( 3)( 3 1) 4 13 (3 )

4

B= +x x− − + x− ≤ <x

Lời giải

a)

3

2

x x

> > ⇒ − = + − = − = − ⇒ =

+ +

3

2

1

1 1

x

x x

−

+ +

b

2 13

4

x≥ → − = −x x x< ⇒ x− = − x⇒ = +B x x− + − x x= − +x

Bài 4: Thu gọn các biểu thức sau

a

x

+

b

2

D x= + + x + x − ≤ ≤x

Lời giải

a) Ta có:

b) Ta có:

( )2

1

Dạng 2: Giải các phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Cách giải: Thực hiện theo các bước sau

Bước 1: Sử dụng các công thức linh hoạt theo từng cách viết để chuyển về giải phương trình bậc nhất

Bước 2: Đối chiếu điều kiện rồi kết luận tập nghiệm

Bài 1: Giải các phương trình sau

a

1

5 1

3

x+ − =

b

1

4

x− + =

c

3 4 − x− = − + 3 5 4x− 3

d

3 11 7 1

11

x

x

−

Lời giải

a)

1 6

1

6 3

x

x

 + =

 + = −



b)

x− + = ⇔ x− = − < ⇒ ∈∅x

c)

7 1

4 4

d)

11 2 {13;9}

Bài 2: Giải các phương trình sau

a

2 5x − = 3 4

b

3 5 2

2 − − x = 2

c

3x− + = − 1 4 6 3x− 1

d

1

x+

− =

Lời giải

a)

7 5

2 5 3 4 2 5 7 5

7

5 2

x

x

 =

 = −



b)

−

c)

2

3 1 4 6 3 1 2 3 1 2 3 1 1 0;

3

x− + = − x− ⇔ x− = ⇔ x− = ⇔ ∈ x   

d)

Bài 3: Giải các phương trình sau

a

4 5 − x = − 5 6x

b

3x+ − 2 7x+ = 1 0

c

x − x− + + =x

d

1

5 3 1

4 x− = x+

Lời giải

a)

1

11

x

=



b)

+ − + = ⇔ + = + ⇔  + = − − ⇒ ∈  

c) Do

d)

( ) 5 4 3( ( 1) )



Bài 4: Giải các phương trình sau

a

2x+ = − 4 1 2x

b

15x− − 7 5x+ = 3 0

c

2

9 3 3 0

x − + x+ =

d

1

3 2 4

3x− = −x

Lời giải

a)

2 4 1 2

b)



c)

2

3 0

x

x

 − =



+ =



d)

1

3 1

3

  − = −



  − = − +

  ÷



Bài 5: Giải các phương trình sau

a

5x = +x 2

b

7x− − 3 2x+ = 6 0

c

x − − + =x x

d

2

4x − + 1 3 2x x− = 1 0

Lời giải

x

+ ≥



b)

2 6 0

7 3 (2 6)

x

− ≥



c)

2

2

0

3

x

− ≥



⇔ − − = − ⇔  − − = ± ⇒ ∈

d)

1

x x

 =







+ = ±





Bài 6: Giải các phương trình sau

a

9 − =x 2x

b

15 1 3 0

x− + − x=

c

x − + − =x x

d

x − − x x− =

Lời giải

a)

2 0

x

≥



− = ⇔  − = ± ⇒ =

b) ( )

3 1 0

x

− ≥



c)

9

5 12 4 11

5 4(3 1)

1

5 12 4

13

x

x

−

 =





d)

2 − =x 2x− 3

Cách 1:

1

3

x

x

=





 =



Cách 2 :

2 2 3 (2 ) (2 3) 1;

3

Dạng 3: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối lồng nhau

Bài 1: Giải các phương trình sau

a

3 − + =x 1 4

b

2 1 1 2

Lời giải

a

6;-8

x

− + = ⇔ − + = − ⇔ + = ⇒  ∈ ⇒ ∈

b

2

2

x

− − = ⇔ − − = ⇔ − = ⇔  ∈ ± ⇒ ∈ ±

Bài 2: Giải các phương trình sau

a

2 7 9

b

2x− − = 1 3 5

Lời giải

a

9 7

2 1 3 5 2 1 3 5 ;

2 2

BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau

a

9 7 ( 9)

A= − + −x x x≥

b

3 8 2( 0)

B= − x − x + −x x≥

c

2

C= +x x − +x x+ x>

Hướng dẫn giải

a

9 7 ( 9) 2

A= − + −x x x≥ =

b

B= − x − x + −x x≥ =x + −x

c

C = +x x − +x x+ x> = +x

Bài 2: Giải các phương trình sau

a

2

3 + x + = 1 5

b

2 5

x− − = − −x

c

3x 4

d

4 5 4

2 5

x

=

Hướng dẫn giải

a

2

3 + x + = ⇔ = ± 1 5 x 1

b

x− − = − − ⇔ ∈x x

c

4

3

d

x

x

= ⇔ ∈

Bài 3: Giải các phương trình sau

a

2x− = 1 2x− 5

b

7 − − −x 2 3x = 0

c

2

x− + x − x+ =

d

0 1

x x

x

x− − − =

−

Hướng dẫn giải

a

3

2

x− = x− ⇔ =x

b

-5 9

2 4

c

2

x− + x − x+ = ⇔ =x

d

1

x x

x− − − = ⇔ =

−

Bài 4: Giải các phương trình sau

a

6 5 9

x− = − +x

b

2

1

x+ = x +x

c

x − x + = x

d

2 1

x x

x

x+ − = −

−

Hướng dẫn giải

a

3

4

x− = − + ⇔ =x x

b

2

x+ =x + ⇔ = ±x x

c

x − x + = x⇔ =x

d

1

x x

x+ − = − ⇔ =

−

Bài 5: Giải các phương trình sau

a

4 4

x x + = x

b

(x+ 3) 2x− = 5 2x− 5

Hướng dẫn giải

a

{0; }

x x + = x⇔ ∈x

b

5 ( 3) 2 5 2 5

2

x+ x− = x− ⇔ =x

Bài 6:

Giải phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ

2 5 5 2 2 10 11

x − x+ = − x + x−

Hướng dẫn giải

Đặt t=x2 − 5x+ ⇒ = − − ⇔ = − ⇒ ∈ 5 t 2 1t t 1 x { }2;3