chuyen de 15 nguyen li di rich le

Bài 3: Chứng minh răng trong 19 số tự nhiên liên tiếp bắt kỳ ta luôn tìm được một số có tổng các chữ số chia hết cho 10... Bài 8: Chứng minh răng trong 11 số tự nhiên bất kỳ bao giờ cũng

Trang 1

Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam

oAN Cam

NANG CAO PHAT TRIEN & BOI DUONG HSG THEO CHUYEN DE

MON TOAN LOP 6 THEO CHUONG TRINH MOI

(Liên tục khai giảng các khóa học bồi dưỡng Toán trực tuyến dành cho các em HS trên toàn quốc khối 6, 7, 8, 9)

CHUYÊN ĐÈ 15: PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

NGUYÊN LÍ DIRICHLET

>, ~ Gido vién giang day: Thay Thich

Tel: 0919.281.916 (Zalo) Email: doanthich@gmail.com Website: www.toanig.com — www.toanlop6.com

$% $%

LY THUYET CO BAN Nội dung nguyén li: Néu dem m tho vao n long voi m > n thì ít nhất cũng có một lông nhot khong it hon 2 thé Tuong tu, néu dem m do vat vao n 6 ngan kéo, voi m > n, thi it nhdat cting phai cé 1 6 ngdn kéo chira khong it hon 2 do vat

BAI TAP VAN DUNG

Tập trung vào các bài toán về chia hét va cac bai toán suy luận

Bài 1: Chứng minh rằng có thê tìm được một số có dạng:

19781978 197800 0 chia hết cho 2012

Bài 2: Cho bốn số tự nhiên phân biệt a > b > c > d Chứng minh rằng:

P= (a - b)(a - c)(a - d)(b - c)(b - đ)(c - đ) : 12

Bài 3: Chứng minh răng trong 19 số tự nhiên liên tiếp bắt kỳ ta luôn tìm được một số có

tổng các chữ số chia hết cho 10

Bài 4: Chứng minh răng tồn tại một số tự nhiên gồm toàn chữ số 1 chia hết cho 2013

Bài 5: Chứng minh răng trong n + 1 số bắt kì thuộc tập hợp {1; 2; 3; ; 2n} luông tìm được hai số mà số này là bội của số kia

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyển tập 150 đề thi HSG Toán 6 có dap an va Tuyén [i

tập 16 chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 | Thầy Thích — 0919.281.916 (Zalo)

Trang 2

oAN Q com

Bai 6: Chimg minh rang trong 39 s6 tu nhién liên tiếp bắt kì luôn có ít nhất một số có tổng

các chữ số chia hết cho 11

Bài 7: Cho 7 số tự nhiên bất kỳ Chứng minh rằng bao giờ cũng có thê chọn ra hai số mà

hiệu của chúng chia hết cho 6

Bài 8: Chứng minh răng trong 11 số tự nhiên bất kỳ bao giờ cũng có ít nhất hai số có chữ

số tận cùng giống nhau

Bài 9: Chứng minh răng tồn tại một bội của 11 gồm toàn chữ số 2

Bài 10: Cho dãy số: 10, 107, 10°, 1022 Chứng minh rằng tồn tại một số chia cho 19 dư

1

Bài 11: Có 6 đội bóng thi đấu với nhau vòng tròn một lượt, mỗi đội đâu đúng một trận với một đội khác Chứng minh rằng vào bất cứ thời điểm nào cũng có 3 đội trong đó từng cặp

đã đấu với nhau hoặc chưa đấu với nhau trận nào

Bài 12: Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 12

Bài 13: Cho bảy số tự nhiên bất kì, chứng minh răng ta luôn chọn được bốn số có tổng

chia hết cho 4

Bài 14: Cho năm số tự nhiên bắt kì, chứng minh rằng ta luôn chọn được ba số có tổng chia

hết cho 3

Bài 15: Một lớp học có 40 em học sinh Chứng minh răng có ít nhất 4 học sinh có tháng sinh nhật giống nhau

Bài 16: Chứng minh rằng tổn tại số tự nhiên k sao cho 3 tận cùng bằng 001

Bài 17: Chứng minh rằng tồn tại một bội của 1989 được viết bởi toàn các chữ số 1 và 0 Bài 18: Có 10 đội bóng thi đấu với nhau vong tròn một lượt, mỗi đội phải đầu đúng một trận với đội khác Chứng minh răng vào bắt cứ lúc nào cũng có hai đội đã đấu số trận như nhau

Bài 19: Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra không có ai bị điểm dưới 2 và có 2 em học

sinh được điểm 10 Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm được 6 em học sinh có điểm kiểm

tra bằng nhau (điểm kiểm tra là một số tự nhiên từ 0 đến 10)

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyển tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyên lỗ

Trang 3

oAN Q com

Bài 20: Có 17 nha Toan hoc viét thu cho nhau trao d6i vé 3 van dé khoa hoc, méi người

déu trao đối với 16 người còn lại và mỗi cập 2 người chỉ trao đối với nhau một vẫn đề Chứng minh răng có ít nhât 3 nhà Toán học trao đôi với nhau vê cùng một vân đê Bài 21: Cho 5 người bắt kì Chứng minh rằng có ít nhất 2 người có cùng số người quen trong Š người đó

Bài 22: Chứng minh rằng trong 27 số tự nhiên tùy ý luôn tồn tại 2 số có tổng hoặc hiệu của chúng : 50

Bài 23: Chứng minh răng trong 27 số tự nhiên tùy ý luôn tồn tại 2 số có tông hoặc hiệu

của chúng chia hết cho 50

Bài 24: Chứng minh răng tồn tại số tự nhiên x lớn hơn 0 và nhỏ hơn 17 sao cho: 25*— I chia hết cho 17

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyển tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyên [i

Trang 4

oAN Q com

CHUYEN DE 15: PHUONG PHAP GIAI TOAN

NGUYEN Li DIRICHLET

+, Giáo viên giảng dạy: Thây Thích

Tel: 0919.281.916 (Zalo) Email: doanthich@gmail.com Website: www.toanig.com — www.toanlop6.com

$ $%

HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: Chứng minh răng có thể tìm được một số có dạng:

19781978 1978 00 0 chia hết cho 2012

Giải:

Giả sử ta có một dãy các số như sau:

1978; 19781978; 197819781978; ; 19781978 1978 gdm 2013 s6 1978

Trong 2013 số sẽ có hai số chia cho 2012 có cùng số dư

Giả sử ta có hai số: 19781978 1978 và 19781978 1978 chia cho 2012 có cùng số dư (m

gồm có 1n số 1978 gồm có r số 1978

>n)

Suy ra: 19781978 .1978 — 19781978 .1978 chia hét cho 2012

gồm có 1n số 1978 gồm có 1: số 1978

=> 19781978 1978 00 0 chia hết cho 2012 (đpem)

gồm có 1n—r số 1978

Bài 2: Cho bốn số tự nhiên phân biệt a > b > c > d Chứng minh rằng:

P= (a - b)(a - c)(a - d)(b - c)(b - đ)(c - đ) : 12

Giải:

- _ Trong bốn số tự nhiên a, b, c, d chia cho 3, ít nhất có hai số tự nhiên có cùng số dư khi chia cho 3 Hiệu của hai so chia hêt cho 3 Suy ra: P: 3

- _ Trong bốn số tự nhiên a, b, c, đ có hai số có cùng số dư chia cho 4, suy ra: P : 4

Ngược lại, Khi bốn số tự nhiên a, b, c, d chia cho 4 sẽ có số dư là: 0; 1; 2; 3 Vậy

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyển tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyên lế

Trang 5

trong bốn số a, b, c, d sé có hai số chăn và hai sô lẻ Giả sử a, c chan va b, d lẻ, suy

ra:

(a-c):2,(b-d):2=>P:4

- Vay, P: 12

Bài 3: Chứng minh răng trong 19 số tự nhiên liên tiếp bắt kỳ ta luôn tìm được một số có

tổng các chữ số chia hết cho 10

Giải:

Trong 19 số tự nhiên liên tiếp luôn tồn tại 10 số tự nhiên liên tiếp có chữ số hàng chục giống nhau, kí hiệu chữ số hàng chục đó là a (các chữ số hàng trăm, hàng nghìn,

cũng giống nhau), còn các chữ sé hang don vi la day: 0; 1; 2; .; 9 Do do, tong các chữ số của mỗi số cũng là một dãy 10 số tự nhiên liên tiếp, vì thế tồn tại số có tổng các chữ số

chia hết cho 10

Bài 4: Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên gồm toàn chữ số 1 chia hết cho 2013

Giải:

2014 chữ số 1

Ta có: 2014 = 2013.1 + 1, theo nguyên lí Di-rich-lê tồn tại ít nhất hai số có cùng số dư khi

chia cho 2013 Giả sử ta có hai số: 111 1, 111 1 (m>n) là hai số có cùng số dư

mm chữ số1 — Tt chữ số 1

khi chia cho 2013 Suy ra:

LAA sacs as HỆ Nhận 1:2013

+n chữ số 1 Tt chữ số 1

=> 111 1000 0 : 2013

+n—m chữ số 1 van chit sé 0

=> 111 1.10": 2013

m—n cht s6 1

Ma 10° khéng chia hét cho 2013 nén suy ra: 111 1 : 2013 (dpcm)

m—n cht s6 1

Bài 5: Chứng minh răng trong n + 1 số bắt kì thuộc tập hợp {1; 2; 3; ; 2n} luôn tìm

được hai số mà số này là bội của số kia

Giải:

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyền tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyên l5

Trang 6

Viết n + 1 số lẫy ra dưới dạng:

ay = 2*!by; ay = 2b; .5 ans = 2#n+1 bạ¿t, trong đó bị, bạ, ., bạ+¡ là các số lẻ

Taco: 1 < by, bo, ., ba S2n— T

Mặt khác, trong khoang tt 1 dén 2n — 1 co dung n so lé nén ton tai hai so m, n sao cho: bạ

= bm Khi đó, trong hai sô an và am có một sô là bội của sô kia (đpcm)

Bài 6: Chứng minh răng trong 39 số tự nhiên liên tiếp bắt kì luôn có ít nhất một số có tổng

các chữ số chia hết cho 11

Giải:

Gia sử 39 sô tự nhiên liên tiêp đó là: an, a2, a3, 39

Trong 20 sô hạng đâu tiên của dãy này sẽ có hai sô tự cùng là 0 và có một sô (trong hai sô mày) có chữ sô đứng trước chữ sô tận cùng khác 9 Gọi sô này là N

Xét các số: N+1,N+2,N+3, ,NÑ+ 19 thuộc 39 số đã cho Khi đó:

SN+j)=S(N) +[ với ¡ = 1, 2, 3, 9 và S(N + 19) = S(N) + 10

Trong 11 số tự nhiên liên tiếp S(N), S(N) + 1, , S(N) +9, S(N) + 10 luôn có một số chia

Vậy N + m là số thỏa mãn

Bài 7: Cho 7 số tự nhiên bất kỳ Chứng minh rằng bao giờ cũng có thê chọn ra hai số mà

hiệu của chúng chia hết cho 6

Ví dụ: a= 6m + k;b= 6n +k=>a—b =6m +k—6n—k=6.(m-n)

Hướng dẫn:

Theo nguyên lý Di-rich-le, Trong 7 số tự nhiên chia cho 6, tồn tại hai số tự nhiên

chia cho 6 có cùng số dư từ 0; 1;2; 3; 4; 5 Vậy hiệu của chúng chia hết cho 6

Bài 8: Chứng minh răng trong 11 số tự nhiên bất kỳ bao giờ cũng có ít nhất hai số có chữ

số tận cùng giống nhau

~ Hướng dân:

Các chữ số tận cùng của 11 số tự nhiên có thê là: 0; 1; 2; 3; .; 9

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyền tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyên

Trang 7

Vậy có 11 = 1.10 + 1, theo nguyên lí Di-rich-le tồn tại ít nhất 2 số có cùng

Bài 9: Chứng minh răng tồn tại một bội của 11 gồm toàn chữ số 2

Hướng dẫn:

Chọn dãy số gồm 12 số: 2; 22; 222; .:22 2

12 chữ số 2

Ta có: 12 = 1.11 + 1, theo nguyên lí Di-rich-lê tồn tại ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho 11 Giả sử ta có hai số: 22 2, 22 2 (m > n) là hai số có cùng số dư khi chia SS >

+n chữ số2_ +: chữ số 2

cho I1 Suy ra:

DD wun wee 2.10": 11

m—n cht s6 2

Mà 10" không chia hết cho 11 nên suy ra: 22 2 : 11 (dpcm)

m—n cht số 2

Bài 10: Cho dãy số: 10, 107, 103, 1022 Chứng minh rằng tồn tại một số chia cho 19 dư

1

Xét day sd: 10, 107, 10°, 107° cd tất cả 20 số Khi chia 20 số này cho 19 sẽ tồn tại hai số

có cùng sô dư trong phép chia cho 19

Gọi hai số đó 1a: 10", 10°(1 <n <m S20) Vay:

10™— 10": 19

> 10°(10™-1) 19

Ta cd: (10°, 19) = 1

> 10™°—1:19=> 10™"— 1 = 19k (k là số tự nhiên) => 10*= 19k + I

Hay 10""" chia I9 du 1 (dpcem)

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyền tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyên ẤM

Trang 8

oAN Q com

Bài 11: Có 6 đội bóng thi đấu với nhau vòng tròn một lượt, mỗi đội đầu đúng một trận với một đội khác Chứng minh rằng vào bất cứ thời điểm nào cũng có 3 đội trong đó từng cặp

đã đấu với nhau hoặc chưa đấu với nhau trận nào

Giải:

Giả sử có 6 đội bóng là A1, A2, A3, A4, A5, A6 Xét đội A1 Vì A1 phải đấu từ 0 đến 5

trận nên theo nguyên ly Dirichlet ta suy ra:

Hoặc AI đã đâu hoặc AI chưa đấu với ít nhất 3 đội khác Không mất tổng quát, giả sử A1

đã đấu với A2, A3, A4

Nếu A2, A3, A4 từng cặp chưa đâu với nhau thì bài toán được chứng minh

Nếu A2, A3, A4 đã có hai đội đấu với nhau, ví dụ A2 và A3 thì 3 đội A1, A2, A3 từng cặp

đấu với nhau

Như vậy, bât cứ lúc nào cũng có 3 đội trong đó từng cập đã đâu với nhau hoặc chưa đầu

với nhau trận nào

Bài 12: Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 12

Hướng dẫn:

Một số nguyên tố lớn hơn 3 chia cho 12 thì số dư có thể là một trong bốn số sau đây: 1; 5;

7; TT

Chia thành hai nhóm:

- Nhóm dư I hoặc đư 11 Ta có: 3 = 1.2 + 1, Theo nguyên lí Di-rich-le tồn tại ít nhất

2 số có cùng số dư khi chia cho 12 => Hiệu của chúng chia hết cho 12 Nếu hai số trong 3 số có số dư là 1 và 11 thì tổng của chúng chia hết cho 12

- Nhóm dư 5 hoặc 7 Ta có: 3 = 1.2 + 1, Theo nguyên lí Di-rich-le tồn tại ít nhất 2 số

có cùng số dư khi chia cho 12 => Hiệu của chúng chia hết cho 12 Nếu hai số trong

3 số có số dư là 5 và 7 thì tổng của chúng chia hết cho 12

Bài 13: Cho bảy số tự nhiên bất kì, chứng minh răng ta luôn chọn được bốn số có tổng

chia hết cho 4

Giải:

Trang 9

Gia sử ta có bảy sô tu nhién: ay, a2, a3, a4, as, a6, a7

- Chonraba SỐ, trong đó có hai SỐ cÓ tổng chia hết cho 2, p1ả sử ai + a¿ = 2m Còn lại năm số

- _ Chọn tiếp ra ba số, trong đó có hai số có tổng chia hết cho 2, gia sir a3 + a4 = 2n

Còn lại ba số

- _ Trong ba số còn lại có hai số có tổng chia hết cho 2, gia sit as + a6 = 2p

Xét ba số: m, n, p Trong ba số này, có hai số có tổng chia hết cho 2

Gia su: m+ n= 2q

> 2m+ 2n = 4q

> a, +a.t+az3t+a,=2m-+ 2n = 4q: 4 (đpcm)

Bài 14: Cho năm số tự nhiên bắt kì, chứng minh rang ta luôn chọn được ba số có tổng chia

hết cho 3

Giải:

Một số tự nhiên có thê biểu diễn ở ba dang sau: 3k, 3k + 1, 3k + 2 (k EN)

- THI: Cé it nhất 3 số thuộc cùng một dạng, tổng của ba số này chia hết cho 3

- TH2: Có hai số thuộc một dang nao đó, suy ra mỗi dang có Ít nhất là một só

= Tổng ba số ở ba dạng chia hết cho 3

Bài 1Š: Một lớp học có 40 em học sinh Chứng minh rằng có ít nhất 4 học sinh có tháng

sinh nhật giống nhau

Hướng dân:

Ta có: 40 = 3.12 + 4, theo nguyên lí Di-rich-le tồn tại ít nhất 3 + 1 = 4 bạn học sinh có

tháng sinh nhật giống nhau

Bài 16: Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k sao cho 3 tận cùng bằng 001

Giải:

Xét dãy số: 3; 32; 33; ; 31001

Ta có: 1001 = 1.1000 + 1, theo Di-rich-le tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia

cho 1000

Trang 10

Goi 2 sé do 1a: 3, 3” 1a hai s6 c6 cling s6 du khi chia cho 1000 (1 <n<m< 1001)

Suy ra: 3” — 3" : 1000

> 3737" — 1): 1000

Vi (3, 1000) = 1 nén suy ra: 3" — 1: 1000

> 37" _—1=1000k(k € N*)

> 37" = 1000k + 1 = ( 001) (đpcm)

Bài 17: Chứng minh rằng tồn tại một bội của 1989 được viết bởi toàn các chữ số 1 va 0

Giải:

Chọn dãy số gồm 1990 số: 1; 11; 111; ;111 1

1990 chữ số 1

Ta có: 1990 = 1989.1 + 1, theo nguyên lí Di-rich-lê tồn tại ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho 1989 Giả sử ta có hai số: 111 1, 11T 1 (m>n) là hai số có cùng số dư

m chữ số1 1t chữ số 1

khi chia cho 1989 Suy ra:

111 1 — 111 wc 1: 1969

=> 111 1000 0 : 1989 (đpcm) ¬—— -~—-—-ẶỐỒỒỀỒỒ

m—n chi s6 1 van cht số 0

Bài 18: Có 10 đội bóng thi đấu với nhau vong tròn một lượt, mỗi đội phải đầu đúng một trận với đội khác Chứng minh răng vào bắt cứ lúc nào cũng có hai đội đã đấu số trận như nhau

Giải:

Nếu trong 10 đội bóng có I đội chưa đấu một trận nào thì trong các đội còn lại không có đội nào đã thi đấu 9 trận

Như vậy, mỗi đội chỉ có số trận đấu hoặc từ 0 đến 8 hoặc từ 1 đến 9

Vậy theo nguyên lý Dirichlet phải có ít nhất hai đội có số trận đã đầu như nhau

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyển tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyền lu

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	7,71 MB