Giáo trình cơ kỹ thuật II

Biến dạng của vật thể lớn hay bé tùy theo tính chất và giá trị của các ngoại lựcThí nghiệm chứng tỏ rằng, đôi với mỗi loại, nếu lực tác động chưa vượt quá một giới hạn xác định thì bỏ lự

GIẢO trình

t

Chương 12

MỞ ĐAU12.1 NHIỆM YỤ VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN c ứ u CỦA MÔN HỌC

Trong các phần trên ta đã nghiên cứu các quy luật về chuyển động cơ học của các vật thể trong không gian theo thời gian Các vật thể được xây dựng dưới dạng các mô hình: chất điểm,-cơ hệ và một dạng rất quan trọng đó là vật rắn tuyệt đôi

Trong nghành cơ khí chế tạo máy hoặc trong các công trình, các vật liệu như thép, gang, bê tông,.v.v Là các vật rắn thực (còn gọi là vật biến dạng) Nghĩa là vật thể sẽ biến dạng, bị phá hủy dưới tác dụng của ngoại lực, nhiệt độ Khi thiết kế các bộ phân công trình hoặc các chi tiết máy, ta phải bảo đảm:

- Chi tiết không bị phá hỏng tức là đủ bền

- Chi tiết không bị biến dạng tức là đủ cúng

- Chi tiết luôn giữ được hình dạng ban đầu là đảm bảo điều kiện ổn định

Môn sức bền vật liệu có nhiệm vụ đưa ra các phương pháp tính về độ bền độ cứng

và độ ổn định của các bộ phận công trình hoặc các chi tiết máy

Đối tượng nghiên cứu của môn học sức bền vật liệu là các vật rắn biến dạng, về vật liệu là các vật thể có tính đàn hồi tuyệt đối, về mặt hình học chủ yếu là các tha nh.12.2 KHÁI NIỆM VỀ THANH

Thanh là một vật thể được tạo ra do một hình phẳng F có tiết diện là một hình tròn, hình chữ nhật, v.v di chuyển trong không gian sao cho trọng tâm o của nó luôn luôn ở trên một đoạn đường cong Trong không gian, hình phẳng F thì luôn luôn vuông góc với đoan đường cong đó Chiều dài của đoạn đường cong À lớn gấp nhiều làn so với kích thước lớn nhất của hình phẳng F Khi di chuyển di chuyển như vậy hình phẳng F dựng lên trong không gian một vật thể mà ta gọi là thanh Vậy thanh là vật thể có kích thước theo hai phương nhỏ hơn so với phương thứ ba

Đoạn đường cong hay đoạn đường thẳng A được gọi là trục thanh Hình phẳng F được gọi là mặt cắt ngang của thanh Trục thanh và mặt cắt ngang của thanh là hai yếu tô" hình học đăc trưng cho mô hình thanh Trong tính toán ta thường biễu diễn một thanh bằng đường trục của nó

12.3 TÍNH TOÁN H ồ i CỦA VẬT THỂ

Dưới tác dụng của ngoại lực (dù là rất nhỏ) hay nhiệt độ V.V Vật thể đều bị biến dạng Biến dạng của vật thể lớn hay bé tùy theo tính chất và giá trị của các ngoại lựcThí nghiệm chứng tỏ rằng, đôi với mỗi loại, nếu lực tác động chưa vượt quá một giới hạn xác định thì bỏ lực, vật thể sẽ trở lại hình dáng và kích thước ban đầu, tức biến dạng bị mất đi Ta nói vật thể chỉ biến dạng đàn hồi, tính chất đó gọi là tính đàn hồi của vật thể Nếu lực tác động vượt quá một giới hạn xác định nói trên thì khi bỏ lực thì vật thể sẽ không trở lại hình dáng và kích thước ban đầu nữa Chúng chỉ phục hồi một phần biên dạng ban đầu Phần biến dạng không khôi phục được gọi là biến dạng dư

12.4 KHÁI N Ệ M VỀ NỘI Lực, ỨNG SUẤT

12.4.1 Nội lực

Những lực tác dụng từ mỗi trường bên ngoài hay từ vật khác lên vật thể đang xét được gọi là ngoại lực Ngoại lực bao gồm tải trọng tác động và phản lực tại các liên kết

Tải trọng được coi là tĩnh nếu nó tăng rất chậm từ không đến một giá trị xác định rồi giữ nguyên giá ưị đó Nghĩa là có thể bỏ qua lực quán tính trong quá trình tăng lực Dưới tác dụng của ngoại lực, vật thể bị biến dạng, giữa các phần tử của vật thể có thể xuất hiện thêm phần lực tác dụng tương hỗ để chống lại tác dụng của ngoại lực Phần lực đó gọi là nội lực theo nghĩa của sức bền vật liệu.

Muôn xác 4ịnh nội lực ta dùng phương pháp mặt cắt Phương pháp mặt cắt được trình bày như sau: xét một vật thể chịu lực ở trạng thái cân bằng (hình 12.1) Để tìm nội

lực tại mặt cắt a nào đó, ta tưởng tượng dựng mặt phẳng 7t qua mặt cắt a, cắt vật thể làm hai phần I và II Ta xét riêng một phần nào đó, ví dụ phần I (hình 12.2) Phần I cân bằngdưới tác dụng của ngoại lực tác động lên nó (# ,# ) Và lực tương hỗ tác động từ phần II phần II lên phần I Hệ lực đó chính là nội lực trên mặt cắt aa

12.4.2 ứng xuất

Chẳng hạn đối với điểm M nào đó, ta lấy ta lấy một diện tích AF vô cùng bé chứa

M Trên AF có nội lực phân bố, hợp lực véctơ Ap (hình 12.3)

Tỷ số giữa AP và AF là một vec tơ cùng chiều với véc tơ AP, kí hiệu là :

- Ap

APh=——

,b AF Ptb được gọi la ứng suất trung bình tại điểm M.

Nếu cho AF tiến đến không thì Plb tiến đến một giới hạn Giới hạn đó được gọi là ứng suất toàn phẫn tại điếm M, ký hiệu p :

Thành phần vuông góc với mặt cắt gọi là ứng suất pháp , kí hiệu ơ

- Thành phần nằm trong mặt cắt gọi là ứng suất tiếp , kí hiệu là T Như vậy:

(12-2)

Theo nguyên lý tác dụng và phản tác dụng, ứng

suất tại mỗi điểm trên phần II sẽ có cùng trị số, cùng

phương nhưng ngược chiều với ứng suất điểm tương ứng

trên phần I

( hình 12.4)

Ta quy ước cách viết ứng suất như sau:

- ứng suất pháp kèm theo một chỉ số chỉ chiều

của pháp tuyến, ví dụ ơ x

- Ưng suất tiếp kèm theo hai chỉ số, chỉ số chỉ

chiều pháp tuyến ngoài mặt cắt, chỉ sô" thứ hai

Hình 12.5

chỉ chiều ứng suất tiếp song song Ví dụ V

12.5 CÁC THÀNH PHAN n ộ i L ự c TRÊN MẶT CAT n g a n g c ủ a t h a n h

Giả sử xét sự cân bằng của phần phải, hớp lực R của hệ nội lực trên mặt cắt phải cân

bằng với hệ lực tác dụng lên phẩn phải, ta có:

R + ỵ ĩ = 0

Hợp lực R đặt tại điểm k nào đó như (hình 12.6).

Bây giờ ta thu gọn hợp lực R về trọng tâm o của mặt cắt ngang, ta sẽ được lực R có véctơ lực bằng R và một ngẫu lực có mômen M (véctơ chính và mômen chính của hệ nội lực) Nói chung lực R và mômen M có phương, chiều bất kỳ trong không gian Để

thuận lợi ta chọn hệ trục như sau:

Oz theo trục của thanh

Ox, Oy nằm trong mặt cắt ngang

Sau đó phân R làm ba thành phần trên hệ trục tọa độ.

- Thành phần nằm trên trục z gọi là lực dọc kí hiệu Nz

- Thành phần nằm trên các trục x,y gọi là lực cắt, ký hiệu Q ,Q

Ngẫu lực M cũng được phân ra làm ba thành phần:

- Thành phầ quay quanh các trục X, y (tác dụng trong các mặt phẳng zOy và vuông

góc với mặt cắt ngang) gọi là các momen ucm, ký hiệu M , M

- Thành phần quay quanh các trục z (tác dụng trên mặt phẳng của mặt Oxy)gọi là

Môn men xoắn , ký hiệu Mz(hình 12.7)

Nz, Qx, Qy, Mx, My, Mz là sáu thành phần nội lực trên mặt cắt ngang và chúng được xác định từ điều kiện cân bằng của phần đang xét dưới dạng các phương trình

Tổng hình chiếu xuống ba trục, ta được:

Tổng mô men đối với 3 trục, ta được:

M ,+ Í > ,( J ? ) = 0i=l

My+ i > ,ơ > ) = 0i=l

M , + í > , t f ) = 0i-1

Trong đó ^ mx(Pị) ,^]m y(Pị) , ^ m 2(Pị) là tổng mô men của tất cả các ngoại lực

thuộc phần đang xét đối với các trục x,y,z tương ứng Cũng như ứng s u â t, nội lực tại một mặt cắt ngang bất kỳ trên phần trái sẻ có cùng một trị s ố , cùng phương nhưng ngược chiều với nội lực tương ứng tại mặt cắt đó trên phần phải Như vậy để xác định nội lực

tại mặt cắt ngang bất kỳ, chúng ta có thể xét phần trái hoặc phần phải tùy theo phần nào đơn giản h ơ n

12.6 QUAN HỆ GIỮA ỨNG SUAT v à c á c t h à n h p h a n n ộ i Lực TRÊN MẶT CẤT NGANG

Gọi p là ứng suất tại một điểm M(x,y) bất kỳ trên mặt cắt ngang (hình 12.8) Các

thành phần hình chiếu của p là:

- ứng suất pháp ơi

- ứng suất tiếp T được phân làm hai thành phần

Lấy một diện tích phân tố AF chứa M Các lực phân tô' do các ứng suâ't gây ra là: ơ-„AF;rv AF:r„.AF

Tổng cộng tất cả các tác dụng của các lực phân bô' đó trên toàn thể mặt cắt, chính

là các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang Từ ý nghĩa đó ta có các biểu thức liên hệ giữa ứng suâ't và các thành phần nội lực như sau:

- Một thành phần vuông góc với bán kính, ký hiệu Xp

- Một thành phần hướng theo bán kính, ký hiệu T

Khi đó ta có công thức liên hệ sau:

Chương 13

KÉO NÉN ĐÚNG TÂM - CAT

13.1 KÉO NẾN ĐÚNG TÂM

xC Một thanh được gọi là chịu nén, hay nén đúng tâm khi trên mặt cắt ngang của thanh

chỉ có một thành phần nội lực là lực dọc.y/í dụ thanh thẳng AB ở trạng thái cân bằng

/ i p

Hình 13.1

dưới tác dụng của hai nội ngoại lực đặt taị A và B như (hình 13.1 a,b)

Để xác định nội lực trên mặt cắt ngang, tưởng tượng cắt thanh AB làm hai phần bởi mặt cắt 1-1 vuông góc với trục thanh Chọn hệ trục Oxyz như (hình 13.2), rồi xét sự cân bằng của phần phải (chú ý đây là bài toán phẳng từ mặt cắt có 6 thành phần nội lực rút

xuống còn 3, ở đây là Nz, Qy,Mx ):

- Tổng hình chiếu các lực đối với điểm o, suy ra M x = 0

)C 13.1.3.Biểu đồ lực dọc ya

Lực dọc có thể thay đổi từ mặt cắt ngang này sang mặt cắt ngang khác hoặc từ đoạn này sang đoạn thanh khác.Để biểu diễn sự thay đổi Vậy biểu đồ lực dọc theo trục

chính của thanh ta vẽ biểu đồ lực dọc Vậy biểu đồ lực lực dọc là đường biễu diễn sự biến thiên của lực dọc theo trục của thanh.

A Ví dụ 13-1: vẽ biểu đồ lực dọc của một thanh chịu lực như (hình 13.4a)

ỵ dz = N l l + p ,-p 1=o

Suy ra: NZĨ = P2 — Px — 40 - 60 = - 2 0kN < 0 -lực nén.

Ta có thể xem xét phần trái, chọn gốc tọa độ tại c Khi đó phương trình được viết ưong khoản 0< z* < a (hình 13.4d) Ta nhận được kết quả như sau (xin độc giả tự làm) Biểu đồ lực dọc được vẽ ưên hình 13.4e.

Y 13.1.3.2, Biểu thức ứng suất trên mặt cắt ngang

Tại mặt cắt 1-1, ứng suất kéo có giá trị Nzx = 40kN.

ứng suất trên măt cắt: crZj = = - 9 ^ - 1 0 - ^ - ứng suất kéo.

Ưng suất trên măt cắt 2-2: cr,, = —Q. = — = - 5 —

Cắt thanh chịu lực bởi mặt cắt mn nghiêng với trục thanh góc a như (hình 13.6)

Xét sự cân bằng của phân tố ABC

Trên mặt AB có ứng suât pháp ơz = —- , ứng suất tiếp TZy = 0 Trên mặt nghiêng

F

AC có ứng suất pa = pa.s\na.

Phân tô" ABC cân bằng dưới các nội lực: ơ a.F'\xa F',ƠZF Trong đó F là diện tích

mặt cắt ngang, F’ là diện tích mặt cắt nghiêng

Tổng hình chiếu các lực xuống phương ơa , ta được

13.1.5 Đặc trưng cơ học của vật liệu

Để đưa ra lý thuyết tính toán độ bền, độ cứng của thanh, trước hết ta cần nghiên cứu đặc trưng cơ học của vật liệu Muôn hiểu rõ các tính chất cơ học của vật liệu ta thường làm các thí nghiệm để quan sát các tính chất và quá trình biến dạng của các loại vật liệu khác nhau kể từ lúc bắt đầu chịu lực cho đến khi bị phá huỷ

Vật liệu trong tự nhiên rất đa dạng, nhưng căn cứ vào biến dạng của mẫu thí nghiệm cho tới khi mẫu bị phá hỏng, ta có thể chia vật liệu ra làm hai loại:

- Vật liệu dẻo là những vật liệu bị phá hoại sau khi đã biến dạng lớn, ví dụ như thép, đồng, nhôm

- Vật liệu giòn là vật liệu bị phá hoại ngay khi bị biến dạng rất bé, ví dụ như gang, đá, bê tông

ơ

PH: lực tỷ lệ ứng với lực kéo lớn nhất trong giai đoạn tỷ lệ.

Pch : lực chảy ứng với lực kéo ở giai đoạn chảy.

Pg : lực ứng với lực kéo lớn nhất ở giai đoạn củng cố.

F0 : diện tích mặt cắt ngang của mẫu trước khi thí nghệm

L0 : chiều dài của phần mẫu trước khi thí nghiệm

Ft : diện tích mặt cắt ngang của mẫu tại chỗ thắt lúc mẫu mới bị đứt.

Lị : chiều dài của phần mẫu thí nghiệm sau khi thí nghiệm (được tính theo tiêu

Giới hạn chảy (kí hiệu ơch) là một đặc trưng quan trọng của vật liệu:

(13-5)

ơch = ^ r FQ

bị phá huỷ nhưng biến dạng đã quá lớn so với biến dạng đàn hồi

Để đảm bảo an toàn, ưong thực tế người ta sử dụng một giá trị ứng suất bé hơn ứng

suất nguy hiểm gọi là ứng suất cho phép, kí hiệu là [ơ] :

n

n là hệ sô" an toàn, có giá trị lớn hơn 1

Như vậy đôi với vật liệu dẻo:

(13-10)[ 4 4 4 = ^

n

Đôi với vật liệu giòn, vì khả năng chịu nén tốt hơn chất chịu kéo ơ n g > ơ kg, nên ta có

hai ứng suất cho phép khác nhau:

- n

n

Trong đó [<jị- ứng suất cho phép khi nén;

[er]* - ứng suất cho phép khi kéo;

ơ n B, ơ kg - giới hạn bền khi nén, khi kéo;

ơch- giới hạn chảy.

13.1.6.2 Điều kiện bền của thanh chịu kéo - nén đúng tâm.

Đối với vật liệu dẻo:

Đối với vật liệu giòn là: [cr]^ = — < [<t]j

k L - ^ s H F

(13-13)(13-14)

Trong đó : [ơ-Ị^ -ứng suất kéo lớn nhất

[^Ln ■ ứng suất nén có trị sô" bé nhất (hay có trị tuyệt đôi lớn nhất khinén)

-Kiểm tra độ bền:

Giả sử đã biết vật liệu (tức biết ứng suất cho phép), biết kích thước mặt cắt ngang

và lực tác dụng thì ta có thể kiểm tra được độ bền của thanh Muôn vậy đầu tiên ta xác

định lực dọc trong thanh, sau đó tính trị sô" ứng suât pháp lớn nhất theo công thức (13- 13) Nếu giá trị này không vượt quá ứng suât cho phép thì ta có thể kết luận thanh đủ bền Ngược lại nếu vượt quá ứng suât cho phép thì thanh không đủ bền Trong kỹ thuật sai sô" cho phép khoảng 5%

Ví dụl3-4: một thanh thép kết câu mặt cắt ngang là hình chữ nhật h = 60m, b = 10mm chịu tải trọng tĩnh dọc trục p = 72000kN, vật liệu ứng suất cho phép [er] = 13000ÄN /c m 2 Kiểm ưa xem có đủ bền không?

Bài giải: theo công thức (13-13), ta có:

Với một chi tiết đã biết được kích thước mặt cắt ngang, biết được vật liệu sử dụng

ta có thể xác định được giá trị lực lớn nhất tác dụng lên chi tiết đó Từ điều kiện bền (13-13) suy ra lực dọc lớn nhất cho phép là:

13.1.7 Định luật Húc đốỉ với kéo - nén ^

Từ đoạn đường thẳng o u của đồ thị kéo thép 13.7 Ta cần suy ra sự liên hệ tuyến tính giữa tải trọng tác động p và độ dãn dài A/ đến giới hạn tỷ lệ

Xét các tam giác đồng dạng (hình 13.14), ta có thể viết quan hệ giữa lực p và độ dãn dài A/ như sau:

Biểu thức này thể hiện một định luật rất quan trọng trong khoa học về độ bền gọi là định luật Húc khi kéo “ứng suất pháp thì tỷ lệ thuận với độ dãn dài tỷ đối”.

Bằng lý luận tương tự, định luật Húc vẫn đúng cho thanh chịu nén trong miền tỷ lệ (miền đàn hồi tuyệt đối):

Đinh luật Húc được trình bày như sau:

ứng suất pháp thì tỷ lệ thuận với độ dãn dài tỷ đối

Môđun đàn hồi được tính từ định luật Húc, suy ra:

Trước hết ta hãy tính các giá trị của Ek và ơk :

Xét một thanh chịu kéo như hình 13.16 Tính độ dãn dài của thanh khi chịu kéo và

độ co giãn của thanh khi chịu nén (hình 13.7)

Trong đó tích sô" EF gọi là độ cứng của thanh, F là diện tích mặt cắt ngang

Công thức trên chỉ áp dụng cho ưường hợp thanh có độ cứng không đổi, lực dọc Nz không đổi theo chiều dài của thanh Trong thực tế ta còn gặp các bài toán Nz thay theo chiều dài của thanh, mặt cắt ngang thay đổi, khi đó ta phải sử dụng biểu thức tổng quát hơn

Tách từ thanh ra một phân có chiều dài vô cùng bé dz, gọi là Adz là độ dãn dài

tuyệt đôi của đoạn dz, từ đó ta có:

(a)Hay

Vậy:

e7 =

2 dz Adz = ezdz

Trong đó n là số đoạn, lị là chiều dài đoạn thứ i.

Nếu trong từng đoạn giá trị NZi,Ei Fj không đổi biểu thức (13-23) có dạng:

13.1.9 Hệ số' biến dạng ngang (hệ số' Poát Xông)

Ta nhận thấy, khi một thanh chịu kéo, chiều dài của nó bị dãn ra, còn bề ngang thì

co lại Khi thanh bị nén chiều dài thanh bị ngắn lại còn bề ngang thì phình ra (hình

Dâu (-) trong (1 3 -2 5 ) chứng tỏ £ng và £d luôn luôn ngược dâu nhau, nghĩa là theo

phương dọc thanh bị dãn ra thì theo ngang thanh bị co lại và ngược lại

Ví dụ 13-9: Một thanh thép chữ nhật có b = 20mm, chiều dài 1 = 4,3mm chịu lực kéo p =

160000kN Hãy tính

a) ứng suất.

b ) Độ dãn dài tuyệt đối.

c) Độ dãn dài tỷ đối theo các phương của hệ trục tạo độ.

d) Sự thay đổi kích thước mặt cắt ngang

E 21,5.106

Bài toán tĩnh định là các bài toán chỉ dùng các phương trình tĩnh học hoặc phương phảp mặt cắt ta có thể xác định được nội lực trong hệ như phần trên chúng ta đã làm Nếu không xác định được các phản lực hoặc nội lực trong hệ nhờ các phương trình cân bằng tĩnh học hoặc nhờ phương pháp mặt cắt thì bài toán đó được gọi là bài toán siêu tĩnh.

Để giải bài toán kéo - nén siêu tĩnh, ngoài các phương trình cân bằng tĩnh học ta phải thêm vào các phương trình phụ nhờ các điều kiện thực về biến dạng hay chuyển vị

Ví du 13-10,: vẽ biểu đồ lực dọc cho một thanh chịu lực như hình 13.20.

Bài giải:

Dưđi tác dụng của lực p tại hai ngàm A,B sẽ có phản lực ZA ,ZB Điều kiện cân bằng của thanh chỉ cho ta một phương trình hai ẩn sấ ZA ,ZB

ỵ z = p - z À- z ,

Để tìm phương ưình phụ ta dựa vào điều

kiện tại B chẳng hạn, chuyển vị là bằng không

Tưởng tượng bỏ ngàm B và thay thế vào đó phản

lực ZB (hình 13.20a) Rõ ràng dưới tác dụng của

lực p và ZB chuyển vị tại B bằng không Nói cách

khác, chiều và trị số phải bằng bao nhiêu để độ

dãn dài tuyệt đối của thanh do p và ZB gây ra là

Bài giải:

Gọi lực dọc của thanh 1 và 2 là N], N2 lấy tổng mômen các lực đối với điểm A, ta có:

ỵ imw ( ĩ ) = Nl.2 + N 2X - q H 2 -

<a)Điều kiện cân bằng chỉ cho một

phương trình với ẩn số N i ,N2 Nếu tách

nút A thì ta lại thêm hai ẩn sô" nữa là

ỵ m IA)(F)=Nl.2 + N2.E-q

(a) Điều kiện cân bằng chỉ cho một

phương trình với ẩn sốN],N2 Nếu tách

nút A thì ta lại thêm hai ẩn số nữa là