chuyen de nhi thuc niu tontoan 10

CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON Khai triển a b n được cho bởi công thức sau: Với a b, là các số thực và n là sô nguyên dương, ta có Công thức trên được gọi là công thức nhị thức Newton viết

Quan sát các đơn thức ở vế phải của các đẳng thức trên, hãy nhận xét về quy luật số mũ của a và

b Có thể tìm được cách tính các hệ số của đơn thức trong khai triển a b n khi n  4;5

Lời giải

a) 1 0,05 4 C40 41 C1 341 0,051 1 0, 2 1, 2

b) Cách bấm: 1.05^4=

BÀI TẬP.

thuvienhoclieu com

Hiển thị

Sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a là 0,01550625

Câu 1 Khai triển các đa thức:

a) x  34; b) 3x 2y4

;c) x54x 54

Số hạng thứ 4 của khai triển là C533x 2 13 90x2

Vậy hệ số của x trong khai triển là 904 

thuvienhoclieu com

Câu 3 Biểu diễn 3 2 5 3 25

dưới dạng a b 2 với ,a b là các số nguyên.

Hiển thị:

Sai số tuyệt đối:  1,104080803 1,1 0, 004080803 

Câu 5 Số dân của một tỉnh ở thời điểm hiện tại là khoảng 800 nghìn người Giả sử rằng tỉ lệ tăng dân

số hằng năm của tỉnh đó là %r

a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau 1 năm, sau 2 năm Từ đó suy ra công thức tính số

dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa là

b) Số dân của tỉnh đó ước tính sau 5 năm nữa là

thuvienhoclieu com

TỔNG QUÁT VỀ CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU-TƠN

1 CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON

Khai triển a b n được cho bởi công thức sau:

Với a b, là các số thực và n là sô nguyên dương, ta có

Công thức trên được gọi là công thức nhị thức Newton (viết tắt là Nhị thức Newton).

Trong biểu thức ở VP của công thức (1)

a) Số các hạng tử là n 1

b) Số các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n

c) Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau

d) Số hạng thứ k (số hạng tổng quát) của khai triển là: 1

1 !

k !

n n n

Dạng 1 Khai triển biểu thức dạng a b 4

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton với n  ta có 4

a b 4 C a40 4C a b C a b1 34  42 2 2C ab43 3C b44 4

Câu 1 (NB) Khi khai triển nhị thức Newton x y 4

ta thu được bao nhiêu hạng tử

Lời giải

Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton ta được

x y 4 C x40 4C x y C x y1 34  42 2 2C xy43 3C y44 4

Vì không có hạng tử nào có phần biến giống nhau để thu gọn nên có tất cả 5 hạng tử

Câu 2 (NB) Khai triển nhị thức Newton 1 x 4

Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của a b 4

có 4 1 5  số hạng

Câu 10. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 2x  34 có bao nhiêu số hạng?

Lời giải Chọn C

Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 2x  34 có 4 1 5  số hạng

Câu 11. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của a b 4, số hạng tổng quát của khai triển là

thuvienhoclieu com

Lời giải Chọn B

Số hạng tổng quát của khai triển a b 4

k n k k k k k n

C a b C a b

Câu 12. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 2x  34

, số hạng tổng quát của khai triển là

Số hạng tổng quát của khai triển 2x  34 là  4   4   4

Tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 2x  34 chính là giá trị của biểu thức

2x  34 tại x  1

Vậy S  1 2.14  1

Câu 14. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 1 3x 4

, số hạng thứ 2 theo số mũ tăng dần của x là

Lời giải Chọn D

Do đó số hạng thứ 2 theo số mũ tăng dần của x ứng với k  , tức là 1 C41 13 x12x

Câu 15. Tìm hệ số của x y trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 2 2 x2y4

Lời giải Chọn C

thuvienhoclieu com

Số hạng chứa x y trong khai triển trên ứng với 2 2

22

k

k k

Vậy hệ số của x y trong khai triển của 2 2 x2y4 là C42.22 24

Câu 16. Tìm số hạng chứa x2 trong khai triển nhị thức Niu-tơn của P x  4x2x x  24

Lời giải Chọn B

Hệ số của x3 trong khai triển trên ứng với k  3

Vậy hệ số của x3 trong khai triển 1 3x 4 là 3  3

Câu 18. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của

4 31

x x

Số hạng không chứa x trong khai triển trên ứng với 4 k 4 0  k 1

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển

4 31

x x

Nhận thấy ( )P x có dấu đan xen nên loại đáp án B.

Hệ số của x5 bằng 32 nên loại đáp án D và còn lại hai đáp án A và C thì chỉ có C phù hợp (vìkhai triển số hạng đầu tiên của đáp án C là 32 x5 )

Câu 7: Khai triển nhị thức ( )5

2x+y Ta được kết quả là

Nhận thấy ( )P x có dấu đan xen nên loại đáp án B.

Hệ số của x5 bằng 1 nên loại đáp án C và còn lại hai đáp án A và D thì chỉ có A phù hợp (vì khaitriển số hạng cuối của đáp án A là - y5)

Câu 9: Khai triển của nhị thức

5

1

x x

Dạng 3 Xác định một hệ số hay một số hạng trong khai triển của bậc 4 hay bậc 5:

Câu 1: Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển 2x  14

Số hạng chứa x4 trong khai triển ứng với giá trị k thỏa mãn : k  4

Vậy hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển là: C542 35 4 4 810

Số hạng chứa x trong khai triển ứng với giá trị k thỏa mãn : 4 k 1 k 3

Vậy số hạng chứa x trong khai triển là: C43 4 33   23x 96x

Câu 5: Tìm hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển

5

3 1

x x

Số hạng chứa x3 tương ứng với giá trị k thỏa mãn: 15 4 k 3  k 3

Vậy hệ số của số hạng chứa x3 là C 53 10.

Câu 6: Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển

442

x x

x x

thuvienhoclieu com

Số hạng không chứa x trong khai triển tương ứng với giá trị k thỏa mãn: 4 2 k  0 k  2

Vậy hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển là C42 2 3.2 4 24



Câu 7: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

43

2x x

2x x

Số hạng không chứa x trong khai triển tương ứng với giá trị k thỏa mãn: 2 k 4 0  k  2

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là C422 32 2 216

Câu 8: Tìm số hạng chứa 2

1

x trong khai triển

4 2

1

2x x

1

2x x

x x

Số hạng không chứa x tương ứng 5 5 k 0 k1

Suy ra số hạng không chứa x là: C15.21 10

Câu 11: (VD) Cho khai triển 1 2 n 0 1 2 2 n

n

      thỏa mãn a08a12a21 Tìm giátrị của số nguyên dương n

Do n là số nguyên dương nên n  5

Câu 12: (VDC) Tìm hệ số của x10 trong khải triển thành đa thức của (1 x x2x3 5)

Số hạng chứa x10 tương ứng với k l, thỏa mãn k2l10 k10 2  l

Kết hợp với điều kiện, ta có hệ :

(Điều kiện : n Z n , 3).

Vì hệ số của x5 là 32 và dấu trong khai triển đan xen nên chọn đáp án C.

Câu 17: Trong khai triển 2 a b5

, hệ số của số hạng thứ 3 bằng:

Lời giải

Suy ra hệ số của a b3 2 trong khai triển trên là: 40

Câu 19: Số hạng chính giữa trong khai triển 3x2y4

Số hạng chứa x trong khai triển trên ứng với số hạng thứ 2

Câu 22: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức

5 3 2

1

x x

Số hạng tổng quát khai triển của 1 3 xn

Số hạng chứa x2 trong khai triển ứng với số mũ của x là: 12 5 k 2  k  2

Vậy hệ số của x2 trong khai triển là: C 42 6.

Câu 27: Tìm hệ số của x2 trong khai triển :   3 22

  , với x  , biết tổng ba hệ số đầu của x0

trong khai triển bằng 33

Lời giải Chọn B

Ta có : C n02C n14C n2 33 n4

thuvienhoclieu com

Số hạng tổng quát của khai triển  

4 3

k k

Số hạng chứa x2 trong khai triển ứng với số mũ của x là: 12 5 k 2  k  2

Vậy hệ số của x2 trong khai triển là : 22C 42 24.

Câu 28: Tìm hệ số của x7 trong khai triển :   3

  , với x  , biết tổng ba hệ số đầu của x0

trong khai triển bằng 33

Lời giải Chọn B

Ta có : C n02C n14C n2 33 n4

Số hạng tổng quát của khai triển  

4 3

k k

Số hạng chứa x2 trong khai triển ứng với số mũ của x là: 12 5 k 2  k  2

Vậy hệ số của x2 trong khai triển là : 22C 42 24.

Câu 29: Cho khai triển:  

0

i i



Tính tổng S a 0a1a2 a n1 Biết : C n02C n14C n2 2 n C n n 243

Lời giải Chọn A

1 n 2 n

f x  x  x

Tìm n để a3n3 26n

5 5

5 0

k k

k k k k

k k k k

k k k k

k k k k

Câu 5: (TH) Cho n là số tự nhiên thỏa mãn n2 6n 7 0 Tính tổng S C n0C n1 C n n

k k k k

Câu 6: (TH) Cho đa thức P x   1 x8 Tính tổng các hệ số của đa thức P x .

Lời giải

Ta có    

8 8

8 0

k k k k

k k k k

k k k k



.Chọn a b  , ta thu được 1  

1 1 C C C C C

.Chọn a1;b1, ta thu được  20 0 1 2 3 20

1 1 C  C C  C  C

.Cộng theo vế hai phương trình ta được

x C x C x  C x

.Khi x 1 C n0C1n C n n 2n

Mặt khác ta lại có:  

1 1

Theo khai triển nhị thức Niuton    

Theo khai triển nhị thức Niuton    

Theo khai triển nhị thức Niuton    

thuvienhoclieu com

Câu 4: (NB) Với n  , tổng 4 T C n1 C n3 C n5  bằng

A 22n1 B 2n1 C 2n D 2n  1

Lời giải Chọn D

Theo khai triển nhị thức Niuton    

C 

k n

thuvienhoclieu com

1 3

2!

n n

thuvienhoclieu com

Chọn

11

a b

11

a b

11

a b

a b

Xét khai triển: 1 2 x x 220 1 x40C400 C x C x140  402 2 C x4040 40

.Chọn 1x ta được    S a0 a1 a40240.

Câu 15: Tính tổng (C ) + (C ) + (C ) + + (C )0 2n 1 2n 2 2n n 2n

ta được kết quả là:

A 2

n n

2

n n

C 

C 22n1 D 22n

thuvienhoclieu com

Lời giải Chọn A

Câu 23: Tìm giá trị gần đúng của x , biết 9x559705,1

khi ta dùng 2 số hạng đầu tiên trong khaitriển 9 x 5

Vậy x 0, 02

Câu 24: Một người có 500 triệu đồng gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 7, 2% /năm Với giả thiết sau

mỗi tháng người đó không rút tiền thì số tiền lãi được nhập vào số tiền ban đầu Đây được gọi là

hình thức lãi kép Biết số tiền cả vốn lẫn lãi T sau n tháng được tính bởi công thức

0 1 n

T T r , trong đó T là số tiền gởi lúc đầu và 0 r là lãi suất của một tháng Dùng hai sốhạng đầu tiên trong khai triển của nhị thức Niu – tơn, tính gần đúng số tiền người đó nhận được(cả gốc lẫn lãi) sau 6 tháng

Lời giải

Lãi suất của một tháng

7, 2

% 0, 6% /12

Câu 25: Một người có T triệu đồng gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 0 7, 2% /năm Với giả thiết sau

mỗi năm người đó không rút tiền thì số tiền lãi được nhập vào số tiền ban đầu Đây được gọi là

hình thức lãi kép Biết số tiền cả vốn lẫn lãi T sau n năm được tính bởi công thức T T 01rn

,trong đó T là số tiền gởi lúc đầu và 0 r là lãi suất của một năm Sau 4 năm người đó nhận được

số tiền cả gốc lẫn lãi số tiền 386 400 000 đồng khi dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển củanhị thức Niu – tơn Tính gần đúng số tiền người đó đã gởi lúc đầu

2,1 2 0,1 2 2 0,1 2 0,1 2 0,1 2 0,1 0,1.2 2 0,1 40

Câu 27: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của lũy thừa 2 3x 4

để ước lượng giá trị gần đúng

của x (làm tròn sau dấy phẩy hai chữ số), biết 2 3 x4 12,8

Câu 28: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của lũy thừa T  1 a 25

để ước lượng giá trị gầnđúng của T theo a

Câu 29: Một người có 100 triệu đồng gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 6,8% /năm Với giả thiết sau

mỗi năm người đó không rút tiền thì số tiền lãi được nhập vào số tiền ban đầu Dùng hai số hạngđầu tiên trong khai triển của nhị thức Niu – tơn, tính số tiền người đó thu được (cả gốc lẫn lãi)sau 4năm

Lời giải

Gọi P là số tiền ban đầu người đó gửi vào, r là lãi suất, P là số tiền nhận được sau n năm n

Khi đó: P n P1rn

Vậy: sau 4năm người đó nhận được hơn 127 200 000 đồng.

Câu 30: Số dân ở thời điểm hiện tại của một tỉnh là 1 triệu người Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của tỉnh đó

là 5% Sử dụng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của lũy thừa a b n

, hỏi sau bao nhiêunăm thì số dân của tỉnh đó là 1, 2 triệu người?

Lời giải

Gọi A là số dân ban đầu, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm, A là số dân của tỉnh đó sau n năm n

Khi đó: A n A1rn

.Theo giả thiết:

Câu 31: Ông A có 800 triệu đồng và ông B có 950 triệu đồng gửi hai ngân hàng khác nhau với lãi suất

lần lượt là 7% / năm và 5% / năm Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của nhị thức Niu –tơn, ước lượng sau bao nhiêu năm thì số tiền của hai ông thu được là bằng nhau và mỗi ngườinhận được bao nhiêu tiền?

Ta có số hạng tổng quát    

 

5 3

Vậy trong khai triển có giá trị lớn nhất là số hạng nguyên là T4 60

thuvienhoclieu com

Câu 12: Nếu một người gửi số tiền A vào ngân hàng theo thể thức lãi kép (đến kỳ hạn mà người gửi

không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kỳ kế tiếp) với lãi suất r mỗi kì thì sau N kì, sốtiền người ấy thu được cả vốn lẫn lãi là C = A(1 + r)N (triệu đồng) Ông An gửi 20 triệu đồng vàongân hàng X theo thể thức lãi kép với lãi suất 8,65% một quý Hãy dùng ba số hạng đầu trongkhai triển1 0,0865 5

tính sau 5 quý (vẫn tính lãi suất kì hạn theo quý), ông An sẽ thu được sốtiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu (giả sử lãi suất hằng năm của ngân hàng X là không đổi) ?

A. 30.15645 triệu đồng B. 30.14645 triệu đồng

C. 30.14675 triệu đồng D. 31.14645 triệu đồng

Lời giải Chọn B

Câu 13: Để dự báo dân số của một quốc gia người ta sử dụng công thức S A1rn

Lấy năm 2015 làm mốc và tính dân số năm 2015 thì n 2020 2015 5 