Định lí: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm.. Tính chất: Trong một tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó.. BÀ
Trang 1 TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG CỦA TAM GIÁC
I KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Định lí: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi
qua một điểm Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác
đó
1 2, 1 2, 1 2
ID IE IF
2 Tính chất: Trong một tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh đồng
thời là đường trung tuyến của tam giác đó
II BÀI TẬP
Bài 1: Cho ∆ABC
có đường trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác của góc µ A
Chứng minh rằng ∆ABC
cân tại A.
Bài 2: Cho
xOy
tia phân giác Oz. Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA=3 cm.
Từ
A
kẻ đường thẳng vuông góc với Ox cắt Oz tại H, cắt Oy tại K. Lấy điểm B trên tia Ox sao cho KA là tia phân giác của góc
· .
OKB
Hạ HI ⊥OK.
a) Chứng minh AH =HI.
b) Biết OH =5 cm,
tính khoảng cách từ điểm H đến BK.
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. CP BQ, là các tia phân giác trong của ∆ABC (P AB Q AC∈ , ∈
) Gọi O là giao điểm của CP và BQ. a) Chứng minh tam giác OBC là tam giác cân
b) Chứng minh điểm O cách đều ba cạnh AB AC, và BC.
c) Chứng minh đường thẳng AO đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC và vuông góc với nó
d) Chứng minh CP BQ= .
Trang 2Bài 4: Cho tam giác MNP có
µ = °50 , µ = °60
Các tia phân giác ME PF, cắt nhau
ở H. Hãy tính số đo góc
NHP
Bài 5: Cho tam giác ABC. Các tia phân giác ở góc µB
và µC
cắt nhau ở I. a) Nếu
µ = °70 ,
A
hãy tính số đo góc
BIC
b) Nếu
· =140 ,°
BIC
hãy tính số đo góc µ A
c) Chứng minh rằng
2
= ° + A
BIC
Hết
HDG Bài 1:
Hạ MD⊥AB ME, ⊥AC.
Vì AM là tia phân giác của µA
nên MD ME= .
Do đó ∆BDM = ∆CEM
(cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Suy ra
µ =µ
B C
Vậy ∆ABC
cân tại A.
Bài 2: a) Vì H nằm trên tia phân giác của ·xOy
nên H cách đều Ox Oy, ⇒AH =HI.
b) Tính
2 2
Chứng minh H là giao điểm của ba đường phân giác
trong ∆OBK
nên H cách đều ba cạnh của tam giác đó
Vậy khoảng cách từ điểm H đến BK bằng AH =4 cm.
Trang 3a) Từ giả thiết suy ra
ABC ACB µ ¶ ·
2
= = BAC
1 2
2
= = ACB
¶ ¶ µ ¶
1 2 1 2
⇒B =B =C =C
⇒ ∆OBC
cân
b) Vì O là giao điểm các tia phân giác CP và BQ trong
∆ABC
nên O là giao điểm ba đường phân giác trong ∆ABC.
Do đó, O cách đều
ba cạnh AB AC, và BC.
c) Ta có ∆ABC
cân tại A AO, là tia phân giác ở đỉnh A nên AO đồng thời là trung tuyến và đường cao của ∆ABC.
Vậy đường thẳngAO đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC và vuông góc với nó
d) ∆PBC= ∆QCB
(g.c.g)⇒CP BQ= . e) Có AP AB BP= − , AQ AC CQ= − ( )1
Mà ∆PBC= ∆QCB⇒BP CQ= ; AB= AC ( )2
Từ ( )1
và ( )2
suy ra AP= AQ.
Vậy tam giác APQ cân tại A
Bài 4:
Từ giả thiết suy ra
¶
1= °25
N
và
µ
1 = °30
P
Do đó, ta tính được góc
· =125 °
NHP
Trang 4a) Xét ∆ABC,
ta tính được
µ + =µ 110 °
B C
Do đó,
· +· = °55
IBC ICB
Vậy
· =180° − ° =55 125 °
BIC
b) Xét ∆BIC,
từ giả thiết suy ra
· +· = °40
IBC ICB
Do đó, ta có
· +· = °80
ABC ACB
Vậy
· =100 °
BAC
c) Ta có:
· =180° −(· +· )
= ° −B C = ° − A
= ° − ° − ÷÷= ° +
Bài tập bổ sung
vuông tại A có các tia phân giác của góc B, góc C cắt nhau tại
I Vẽ ID⊥AB
tại D, IE⊥ AC
tại E.
a) Chứng minh AB AC BC+ – =2AE.
b) Cho biết AB=6cm, AC 8= cm
Tính IA, IB, IC ?
có
· =120°
BAC
, có các phân giác AD, BE, CF.
a) Chứng minh DE là phân giác giác của góc ADC
b) Đường thẳng vuông góc với CF tại C cắt đường thẳng AB tại K Chứng minh
D, E, K thẳng hàng và tính góc BED ?
c) Tính chu vi ∆DEF
biết DE 21= cm
, DF 20= cm.