PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ SỬ DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ SỬ DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 2 Cơ sở lí thuyết 2 1 Kiến thức toán Bảng tính đạo hàm của một số hàm số thường gặp , C là hằng số với với ; Giả sử u.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ SỬ DỤNG TÍCH PHÂN VÀ

- Giải phương trình vi phân là tìm dạng tường minh của hàm số y  f x  

- Trong Vật lí các phương trình vi phân thường gặp là các hàm số của tọa độ phụ thuộc thời gian ví dụ như phương trình dao động điều hòa , các hàm số của dòng điện, hiệu điện thế, điện tích phụ thuộc thời gian

Một số dạng phương trình vi phân thường gặp

- Phương trình vi phân cấp 1 với biến số phân li

+ Dạng tổng quát: f x dx1   f y dy2 

Chú ý rằng ở vế trái chỉ chứa biến x và vi phân của nó, ở vế phải chỉ chứa biến y và vi phân của nó

+ Phương pháp giải: Lấy tích phân hai vế theo hai biến độc lập x và y

- Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất, khuyết y’

+ Dạng tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

Nghiệm tổng quát: y A  cos   x   

- Hiện tượng cảm ứng điện từ: Là hiện tượng xuất hiện một dòng điện cảm ứng trong

một mạch điện kín khi có sự biến thiên từ thông qua mạch

Chú ý rằng nếu mạch điện không kín thì trong mạch có xuất hiện một suất điện động nhưng không có dòng điện

- Định luật Len-xơ về chiều dòng điện cảm ứng: Dòng điện cảm ứng có chiều sao cho từ

trường do nó sinh ra có tác dụng chống lại sự biến thiên từ thông qua mạch ( hoặc chống lạinguyên nhân sinh ra nó )

- Định luật Fa-ra-đây về cảm ứng điện từ: Suất điện động cảm ứng xuất hiện trong một

mạch điện kín tỉ lệ với tốc độ biến thiên từ thông qua mạch

c

d e

dt



 

* Lực từ tác dụng lên một đoạn dây dẫn mang dòng điện đặt trong từ trường đều

- Phương : Lực từ tác dụng lên đoạn dòng điện có phương vuông góc với mặt phẳng chứa

đoạn dòng điện và cảm ứng tại điểm khảo sát

- Chiều lực từ : Tuân the quy tắc bàn tay trái

Quy tắc bàn tay trái : Đặt bàn tay trái duỗi thẳng để các đường cảm ứng từ xuyên vào lòngbàn tay và chiều từ cổ tay đến ngón tay trùng với chiều dòng điện Khi đó ngón tay cái choãi ra

90o sẽ chỉ chiều của lực từ tác dụng lên đoạn dây dẫn

- Độ lớn (Định luật Am-pe) Lực từ tác dụng lên đoạn dòng điện cường độ I, có chiều dài

l hợp với từ trường đều B ur

một góc 

F = BIl sin

B là độ lớn của cảm ứng từ Trong hệ SI, đơn vị của cảm ứng từ là Tesla, kí hiệu là T

* Suất điện động cảm ứng trong một đoạn dây dẫn chuyển động

sin

c

e  Blv 

* Hiện tượng tự cảm – Năng lượng từ trường của ống dây

Độ tự cảm:   Li ( L là hệ số tự cảm của mạch – đơn vị là Henri (H) )

Suất điện động tự cảm: tc di

dt

 Năng lượng từ trường của ống dây: 1 2

Phần cuối cùng là một số bài tập để học sinh vận dụng phương pháp đã học được vào tự giải

Bài toán 1: Khung dây siêu dẫn chuyển động trong từ trường

Bài toán 2: Khung dây có điện trở chuyển động trong từ trường

Bài toán 3: Suất điện động trong mạch kín trong trường hợp một phần của mạch điện chuyển động trong từ trường

BÀI TOÁN 1: KHUNG DÂY SIÊU DẪN CHUYỂN ĐỘNG TRONG TỪ TRƯỜNG BÀI 1

Một khung dây dẫn hình vuông siêu dẫn, có khối lượng m và cạnh a nằm trong mặt phẳngngang trong một từ trường không đều, có giá trị cảm ứng từ biến thiên theo quy luật:

0

0

Hỏi khung sẽ chuyển động như thế nào và ở đâu sau thời gian t kể từ lúc thả

LỜI GIẢI

Sử dụng tính chất bảo toàn từ thông đối với mạch điện siêu dẫn

* Ta đi chứng minh rằng đối với mạch điện siêu dẫn thì từ thông tổng cộng đi qua diện tíchcủa mạch được bảo toàn:

Xét một vòng dây siêu dẫn đặt trong từ trường ngoài biến thiên  trong vòng dây có mộtdòng điện cảm ứng, dòng điện này lại sinh ra một từ trường riêng Vậy từ thông qua diện tíchvòng dây là do hai từ trường tạo ra: từ trường ngoài và từ trường của dòng điện cảm ứng

Suất điện động cảm ứng trong vòng dây là: c d

e

dt



  (1) Mặt khác áp dụng ĐL Ôm cho toàn mạch ta có: ec  i R  0 (2) ( Vì vòng dây siêu dẫnnên R = 0 )

Từ (1) và (2)  d 0 const

dt     

Kết luận: Từ thông qua diện tích vòng dây siêu dẫn được bảo toàn

* Xét trường hợp của bài toán: Tại một thời điểm t, từ thông qua diện tích khung dây đượccho bởi từ thông của từ trường ngoài và từ thông do chính dòng điện cảm ứng sinh ra:

Dễ thấy rằng thành phần Bz gây ra lực từ tác dụng lên các cạnh của khung dây sẽ cân bằngnhau Chỉ có thành phần Bx gây ra các lực từ tác dụng lên các cạnh song song với trục Oy và lực

từ này có phương thẳng đứng, lực tác dụng lên hai cạnh này luôn cùng chiều

Lực từ tổng hợp tác dụng lên khung dây có độ lớn F  2 a x i a   2 i ( Vì 2 x  a và i

A a



Vậy pt dao động của khung là: z mgL4 2 cos   t 1

  

b) Xét theo phương pháp năng lượng

Xét thanh dịch chuyển xuống dưới một đoạn dz ( dz < 0 ) Chú ý rằng lực từ tác dụng lênkhung là

4 2 2

Một khung dây hình chữ nhật siêu dẫn, có các cạnh là a và b, khối lượng m và hệ số tựcảm L, chuyển động với vận tốc ban đầu v0 trong mặt phẳng của nó hướng dọc theo chiều dài

khung từ vùng không có từ trường vào một vùng có từ trường đều B0 vuông góc với mặt phẳngkhung dây Hãy mô tả chuyển động của khung như là hàm số của thời gian

LỜI GIẢI

Chọn gốc tọa độ tại điểm tiếp xúc giữa vùng có từ trường và vùng không có từ trường,chiều dương hướng theo chiều chuyển động của khung Chọn gốc thời gian là lúc khung bắt đầuchuyển động vào vùng có từ trường

Giả sử b > a  Khung hình chữ nhật sẽ chuyển động dọc theo cạnh b và phương trìnhchuyển động của khung là:

0

dv

dt   (1)( Chú ý rằng ta bỏ qua tác dụng của trọng lực )

Trong đó I là dòng điện trong khung dây Dòng điện I được cho bởi công thức tính suấtđiện động trong khung:

0

dI

L B av

dt  (2)Chú ý rằng pt ( 2 ) cũng có thể được rút ra từ tính chất bảo toàn từ thông với khung dâysiêu dẫn Thật vậy: Từ thông ban đầu qua khung dây bằng không, do vậy tại một thời điểm t, độtăng từ thông do từ trường ngoài gây ra phải bằng độ tăng từ thông do dòng điện cảm ứng trong

khung gây ra Nghĩa là: B a vdt0   LdI L dI B av0

B a dt



 Đạo hàm hai vế theo thời gian ta được:

2 2 0

.

dI m d v

dt B a dt



 Thế biểu thức này vào pt (2) ta thu được pt vi phân với hàm vận tốc phụ

thuộc thời gian:

Phương trình này chứng tỏ chuyên động của khung là một dao động điều hòa với tần số

0 0

dây trùng với trục của thanh nam châm Từ

trường xung quanh chiếc vòng có tính đối

xứng trụ và được mô tả bởi hệ thức:

Hình 2

0 0

di chuyển xuống dưới và trục vẫn thẳng đứng Từ các dữ kiện bên dưới, hãy xác định xem sau

đó vòng nhẫn chuyển động thế nào Tính cường độ dòng điện trong chiếc vòng

- Tọa độ ban đầu của tâm vòng nhẫn  z  0; r  0 

- Các thông số của từ trường:

m m

Theo tính chất bảo toàn từ thông đối với vòng dây siêu dẫn ta có:   const

Tại thời điểm ban đầu: z = 0 và I = 0  2

Lực tác dụng lên vòng nhẫn bao gồm lực từ và trọng lực, thành phần Bz gây ra lực từ theo

phương nằm ngang nhưng tổng lực từ do thành phần này gây ra luôn bằng không ở mọi vị trícủa vòng, thành phần Br gây ra lực từ tác dụng theo phương thẳng đứng

Nếu chọn trục Oz hướng lên thì biểu thức đại số của lực từ là

Phương trình vi phân này chứng tỏ chuyển động của vòng là một dao động điều hòa với

Từ những dữ kiện đề cho ta xác định được:   31,2 rad/s và A = 1 cm

Dòng điện trong mạch có biểu thức

Dòng điện cực đại khi vòng ở vị trí thấp nhất và Imax = 39A

BÀI TOÁN 2: KHUNG DÂY CÓ ĐIỆN TRỞ CHUYỂN ĐỘNG TRONG TỪ TRƯỜNG

BÀI 4

Một lực F không đổi tác dụng vào một thanh kim loại khối lượng m, có thể trượt trên haithanh ray, đầu của các thanh ray được nối với điện trở R Toàn bộ hệ thống đặt nằm ngang,trong một vùng có từ trường đều, các đường sức hướng thẳng đứng Thanh được kéo từ trạngthái nghỉ Giả thiết rằng thanh trượt không ma sát và bỏ qua hệ số tự cảm của khung, điện trởcủa thanh và các thanh ray

a) Xác định vận tốc của thanh là hàm số của thời gian

b) Xác định dòng điện chạy qua điện trở R là hàm số của thời gian

 Vì vậy lực từ tác dụng lên thanh có

độ lớn F  BIl lực này ngược hướng với hướng chuyển động của thanh

Phương trình động lực học cho chuyển động của thanh là

thái nghỉ từ thời điểm t = 0 ở ngay phía trên

có từ trường B0 được cho như hình vẽ 3

Vòng dây có điện trở R, hệ số tự cảm

L và khối lượng m Xét khung dây trong

suốt khoảng thời gian mà cạnh trên của

khung ở trong vùng không có từ trường

Nếu khung dây có điện trở R và độ tự cảm L thì trong khung có hai suất điện động Suấtđiện động sinh ra do cạnh dưới của khung chuyển động cắt các đường sức từ, và suất điện động

tự cảm trong khung do dòng điện biến thiên

Trong trường hợp này ta viết ĐL Ôm cho toàn mạch như sau:

IR

dI Blv L

PT này cho thấy vận tốc khung biến thiên điều hòa theo thời gian với tần số góc

2 2

B l

mL

 

Biểu thức của vận tốc có dạng v A  cos    t  

Ta giải điều kiện ban đầu Tại t = 0 thì I = 0 và v = 0 Vì I = 0 nên từ (2) suy ra dv

a) Hãy tìm biểu thức của dòng điện cảm ứng trong vành

b) Tìm biểu thức của gia tốc a và vận tốc v của vành Nêu nhận xét về độ lớn của v, giảthiết độ cao của miền từ trường là đủ lớn

LỜI GIẢI

a) Kí hiệu B là độ lớn của cảm ứng từ của của từ trường tại điểm cách trục đối xứng của tưtrường một khoảng r Tại mỗi điểm của vành kim loại, cảm ứng từ đề có trị số bằng B Xét một

phầ tử chiều dài ∆l của vành Tại thời điểm t mà vận tốc của vành là v thì suất điện động xuấthiện ở ∆l có độ lớn bằng:    E Bv l

Suy ra suất điện động xuất hiện trong toàn bộ vành là: E    E Bv 2  r

Dòng điện cảm ứng xuất hiện trong vành là:

.2

Bv r I

ĐL Len-xơ thì lực từ phải hướng lên trên để chống lại chuyển động rơi của vòng )

Lực điện tổng hợp tác dụng lên thanh có độ lớn:

1) Chứng tỏ rằng không thể có từ trường tăng theo trục z, nếu từ trường này chỉ có thành

phần theo z Xét một ống trụ có chứa các đường cảm ứng từ Hãy chứng tỏ rằng:

2

r

r dB B

dz

2) Một vòng dây tròn điện trở R bán kính r và khối lượng m rơi vào một vùng có từ trườngkhông đều có các đường sức đối xứng xung quanh trục của hình trụ tâm của vòng tròn nằm trêntrục hình trụ còn mặt phẳng vòng tròn vuông góc với các đường sức từ, cảm ứng từ biến thiên

dz

Xét mặt trụ có bán kính tiết diện là r, chiều cao

Từ thông qua mặt bên là:   2 2  r z B  r

Theo định lí Gau-xơ từ thông qua mặt kín bất kì

Hình 6

r dB B

dz

2) Xét vòng dây tại một thời điểm t, khi đó nó đang có vận tốc là v Chọn chiều dươnghướng lên

Suất điện động gây ra bởi vòng dây là: z 2 z.

  , khi đi theo chiều âm trục z thì cảm ứng từ giảm Do vậy ec  0

Ta viết lại biểu thức của suất điện động: c 2 z

BÀI TOÁN 3: SUẤT ĐIỆN ĐỘNG TRONG MẠCH ĐIỆN KÍN TRONG TRƯỜNG HỢP MỘT PHẦN CỦA MẠCH ĐIỆN CHUYỂN ĐỘNG TRONG TỪ TRƯỜNG

BÀI 8

Một từ trường đều có cảm ứng từ B, vuông góc với hai thanh ray, với khoảng cách giữahai thanh ray là l được đặt nghiêng một góc  so với phương nằm ngang Một thanh dẫn cókhối lượng m, được đặt nằm trên hai thanh ray, và có thể trượt không ma sát trên hai thanh nhưhình vẽ

Phương trình này là giống nhau cho cả ba trường hợp Kết quả khác nhau là do mối quan

hệ giữa suất điện động và dòng điện trong mạch khác nhau ở mỗi trường hợp

a) Mạch điện được khép kín bởi một điện trở thuần R Dòng điện I và suất điện động cảmứng ec  Blv tuân theo ĐL Ôm cho toàn mạch:

Blv I

R



Và điều này chỉ ra rằng lực cản tăng dần tỉ lệ thuận với vận tốc Vậy thanh sẽ chuyển độngvới gia tốc giảm dần xuống bằng không, và sau cùng nó chuyển động thẳng đều

Ta dễ tính được: max mgR2 2sin

v

B l



b) Nếu mạch được khép kín bởi một tụ điện có điện dung C thì quan hệ giữa suất điệnđộng và dòng điện trong mạch sẽ khác đi

Điện tích của tụ điện được xác định bởi: Q CBlv 

Chú ý rằng dòng điện chạy trong thanh bằng đạo hàm của điện tích Q

m B l C





c) Nếu mạch được khép kín bởi một cuộn dây có độ tự cảm L thì quan hệ giữa suất điệnđộng và dòng điện là:

dt   dt  dt

(Chọn gốc tọa độ là vị trí ban đầu của thanh và chiều dương hướng xuống dưới)

Tại thời điểm ban đầu thì x = 0 và I = 0

Giản ước dt ở hai vế của pt trên và thực hiện lấy tích phân 2 vế ta được:

Một đầu của thanh

ray nằm ngang với

khoảng cách giữa hai

thanh là l và các thanh

khôn có điện trở được

nối với một tụ điện có

điện dung C được tích

Khi đó ta có: min

max

Q Blv

C

 (1) Phương trình chuyển động của thanh là:

dt   dt   dt (Vì điện tích của tụ điện giảm )

Giản ước dt hai vế, ta viết lại pt trên như sau: mdv   BldQ

Tốc độ của thanh tăng từ 0 đến giá trị vmax trong khi đó điện tích của tụ điện giảm từmax .

Q  E C đến Qmin Lấy tích phân hai vế PT trên ta được:

 max 0   min max

m v    Bl Q  Q (2)

Giải hệ (1) và (2) ta thu được max BlC2 2

m B l C



 E

BÀI 10

Một vòng bằng kim loại bán kính 10 cm có thể lăn không trượt bên trong một vòng trònbằng kim loại đồng chất có bán kính 20 cm Ngay chính giữa quỹ đạo có một trục nhỏ, giữa trụcquay và điểm P của quỹ đạo có mắc điện trở R0  314 

Quỹ đạo nằm trong một từ trường đều vuông góc với mặt phẳng quỹ đạo có cảm ứng từ3

4.10

B   T Giả sử trong mỗi giây vòng kim loại nhỏ lăn được 10 vòng bên trong vòng kimloại lớn, cả hai vòng đều có điện trở tính theo đơn vị dài là   0,4 / m  ngoài ra các điện trởkhác đều không đáng kể

a) Trong mỗi giây vòng kim loại

quay quanh trục của nó bao nhiêu vòng ?

b) Dòng điện qua điện trở R0 có

chiều như thế nào?

c) Khi vòng tiếp xúc với điểm nào

trên quỹ đạo thì dòng điện qua R0 có giá

trị cực đại, giá trị đó bằng bao nhiêu?

d) Khi vòng tiếp xúc với điểm nào

trên quỹ đạo thì dòng điện qua R0 có giá

trị cực tiểu, giá trị đó bằng bao nhiêu?

Hình 10 LỜI GIẢI

a) Theo giả thiết trong mỗi giây vòng kim loại nhỏ lăn được 10 vòng xung quanh vòng

kim loại lớn  Trong mỗi giây vòng kim loại nhỏ cũng lăn được 10 vòng quanh trục của nó.Tốc độ góc trong chuyển động quay xung quanh trục là 20  rad/s

b) Xác định chiều dòng điện qua điện trở R 0

Khi vòng kim loại nhỏ lăn trong vòng

kim loại lớn thì trong vòng nhỏ sẽ xuất hiện

hai suất điện động cảm ứng trên hai nửa

vòng tròn giới hạn bởi hai điểm M và O Hai

suất điện động này tạo thành bộ nguồn song

song Mạch điện có thể vẽ lại như sau: Hình 11

Từ hình vẽ 11 ta thấy dòng điện chạy qua điện trở R0 có chiều từ dưới lên trên

Ta đi thiết lập biểu thức của dòng điện qua điện trở R0

Đặt điện trở của cung MP ( đi theo chiều kim đồng hồ ) là R1

Điện trở của cung MP ( đi ngược chiều kim đồng hồ ) là R2  0,16   R1

Cường độ dòng điện qua điện trở R0 là

0

0,16 0,16

c

t

e I

Khi R1  0,08     M trùng với Q thì dòng điện cực tiểu Imin  10 mA

BÀI 11

Một đĩa tròn bằng đồng có thể quay quanh một trục nằm ngang được đặt vào giữa hai cựccủa một nam châm, mép dưới của đĩa nhúng vào một chậu thủy ngân và trục của bánh xe đượcmắc vào một nguồn điện một chiều ( Như hình vẽ 12 ) Điện trở tổng cộng của dây dẫn ở mạchngoài là R  0,8  đường kính của đĩa là d = 0,5m Cảm ứng từ B của từ trường gây ra bởi namchâm có độ lớn B = 1 T và chỉ tồn tại trong vùng không gian giữa trục và mặt thủy ngân

Hình 12

a) Mô tả hiện tượng xảy ra khi đóng khóa K

b) Bây giờ gắn vào trục của bánh xe một ròng rọc có khối lượng không đáng kể, bán kínhcủa ròng rọc r = 2 cm Quấn vào ròng rọc một sợi dây dài, không dãn, mảnh đầu sợi dây treomột vật có khối lượng m = 200g Tính suất điện động tối thiểu của nguồn điện để vật m đượcnâng lên cao

c) Biết rằng khi suất điện động của nguồn điện có độ lớn 1,5 V thì vật m được nâng lên vớivận tốc không đổi Tính vận tốc góc của đĩa lúc này

LỜI GIẢI

a) Khi khóa K đóng thì có dòng điện chay qua đĩa Một nửa đĩa lại đặt trong từ trường gâybởi nam châm nên phần đĩa đó sẽ chịu tác dụng của lực từ làm đĩa quay

b) Để có thể nâng vật lên thì mo-men lực từ tác dụng vào vành phải lớn hơn mo-men cản

do vật treo gây ra ( Xét tại thời điểm ban đầu vật bắt đầu được nâng lên, do vậy khi đó khôngxuất hiện suất điện động cảm ứng trong đĩa )

M  mgr ( M là tổng mo-men lực từ tác

dụng vào đĩa )

Để tính mô-men lực từ ta chia nửa đĩa tròn

thành các phần nhỏ như hình vẽ 13:

Mỗi phần nhỏ đó có dòng điện I chạy qua,

đặt cách trục quay một đoạn x, và có chiều dài

dx

Mô-men lực từ tác dụng lên phần nhỏ đĩa

đó là:

 

dM  B I dx x

Hình 13