CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM TRONG HỆ PHI QUÁN TÍNH

Chuyển động của chất điểm trong hệ phi quán tính có khác so với trong hệ quán tính. Đối với học sinh chuyên lý việc hiểu rõ và vận dụng tốt vào giải bài tập cũng như lý giải một số hiện tượng trong thực tế là rất cần thiết. Hơn nữa, trong các kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia, quốc tế thì các em vẫn thường bắt gặp các bài toán dạng này, vì vậy tôi chọn đề tài này để nghiên cứu học hỏi nhằm giúp cho việc giảng dạy được tốt hơn.

CHUYÊN ĐỀ HỘI THẢO:

CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM TRONG HỆ PHI QUÁN TÍNH

V CÁC ĐỊNH LUẬT NĂNG LƯỢNG TRONG HỆ PHI QUÁN TÍNH

VI MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHẦN MỞ ĐẦU

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Chuyển động của chất điểm trong hệ phi quán tính có khác so với trong hệ quán tính Đối với học sinh chuyên lý việc hiểu rõ và vận dụng tốt vào giải bài tập cũng như lý giải một số hiện tượng trong thực tế là rất cần thiết Hơn nữa, trong các kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia, quốc tế thì các em vẫn thường bắt gặp các bài toán dạng này, vì vậy tôi chọn đề tài này để nghiên cứu học hỏi nhằm giúp cho việc giảng dạy được tốt hơn.

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Hệ thống kiến thức lý thuyết về chuyển động của chất điểm trong hệ phi quán tính.

-Sưu tầm một số bài tập liên quan đến kiến thức này.

PHẦN NỘI DUNG CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM TRONG HỆ PHI QUÁN TÍNH

I KHÁI NIỆM HỆ QUI CHIẾU KHƠNG QUÁN TÍNH

Như chúng ta đã biết các định luật Newton chỉ đúng trong hệ quy

chiếu quán tính, tức là hệ quy chiếu cố định hay chuyển động thẳng đều

đối với nhau Ta không thể áp dụng máy móc định luật I và II Newton

trong hệ quy chiếu không phải là hệ quy chiếu quán tính Nhưng làm thế

nào để biết được một hệ quy chiếu nào đó là hệ quy chiếu quán tính hay

không quán tính? Không thể được nếu không dựa vào định luật I

Trong một toa tàu đang đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều so với mặt đất, mọi thínghiệm cơ học đều tuân theo định luật I Một hòn bi đang đứng yên trên mặt bàn nằm ngangsẽ đứng yên mãi Con lắc luôn có phương thẳng đứng Bây giờ con tàu tăng (giảm) tốc độhoặc đổi hướng chuyển động Các hiện tượng cơ học diễn ra hoàn toàn khác trước Hòn bithu gia tốc và chuyển động về phía ngược lại Con lắc lệch khỏi phương thẳng đứng về phíangược lại Mặc dù, ta không thấy có vật nào ở xung quanh đã tác dụng lên chúng và gây ragia tốc ấy Như vậy trong con tàu chuyển động có gia tốc, các định luật Newton không đượcnghiệm đúng Hệ quy chiếu gắn với con tàu có gia tốc trong trường hợp này là hệ quy chiếukhông quán tính

Vậy, hệ quy chiếu không quán tính đó là một hệ bất kỳ chuyển động có gia tốc tươngđối với hệ quy chiếu quán tính Các định luật Newton không nghiệm đúng trong các hệ quychiếu không quán tính

Hệ quy chiếu không quán tính đơn giản nhất là hệ quy chiếu chuyển động thẳng cógia tốc và hệ quy chiếu quay đều

II LỰC QUÁN TÍNH

Lực quán tính là lực xuất hiện do tính chất không quán tính của hệ quy chiếu chứ không

do tương tác giữa các vật nên nó không tuân theo định luật III Newton, tức là không có phảnlực tương ứng Tuy nhiên, nếu thêm lực quán tính thì định luật II Newton mới áp dụng đượccho các hệ quy chiếu không quán tính và việc giải thích nhiều hiện tượng vật lý cũng nhưgiải một số bài toán cơ học trở nên dễ dàng hơn

III ĐỘNG HỌC

1 Vận tốc trong hệ phi quán tính

Xét 3 hệ quy chiếu:

K0(O0x0y0z0): là HQC quán tính.

K’(O’x’y’z’) là HQC chuyển động tịnh tiến đối với hệ K0

K(Oxyz) là HQC có O trùng với O’, Oz ≡O z', K quay quanh K’ với vận tốc góc ⃗ω=ω ⃗e z

Gọi r, v lần lượt là bán kính vectơ vị trí và vận tốc của chất điểm M đối với hệ K

ω× ⃗r Là vận tốc dài của K đối với K’ tại vị trí M

Từ hai biểu thức trên: ⃗v0=⃗v +⃗ V (t )+⃗ ω× ⃗r

Phát biểu: Vận tốc tuyệt đối bằng vận tốc tương đối cộng vận tốc kéo theo

Vận tốc kéo theo này phụ thuộc vào những yếu tố sau:

+ Vận tốc tịnh tiến của O’ so với O0 (K’/K0) ( có thể thẳng hoặc cong )

+ Vận tốc góc của K so với K’

+ Vị trí điểm M ở thời điểm đang xét

Trong trường hợp K’ trùng với K, tức là K không quay mà tịnh tiến như K’ thì vận tốc kéo theonày độc lập với mọi vị trí của chất điểm vì ⃗ω × ⃗r=0

⃗

v=⃗v0−⃗V (t )−⃗ ω× ⃗r

Vận tốc tương đối bằng vạn tốc tuyệt dối trừ đi vận tốc kéo theo

2 Gia tốc trong hệ phi quán tính

Gia tốc kéo theo có 3 số hạng:

+ Chuyển động tịnh tiến của O’ so với O0

+ Gia tốc pháp tuyến của điểm đứng yên đối với K tại M

+ Gia tốc tiếp tuyến của điểm đứng yên đối với K tại M

Gia tốc Coriolic a⃗Coriolic=2 ⃗ω × ⃗v ≠0 ↔{ ω ≠ 0 v ≠ 0

(⃗ω|⃗v )≠ kπ

⃗

a tươngđối=⃗a tuyệt đối−⃗a kéotheo−⃗a Coriolic

Gia tốc tương đối bằng gia tốc tuyệt đối trừ đi gia tốc kéo theo và gia tốc Coriolic

Chú ý: Đối với vật rắn, ta chọn gốc O’ của K’ trùng với một điểm cực của vật rắn; hệ K gắn liềnvới vật rắn Khi đó hiển nhiên vận tốc tương đối, gia tốc tương đối, gia tốc Coriolis đều bằng 0

Vì vậy, ta có: Vận tốc tuyệt đối = Vận tốc kéo theo; Gia tốc tuyệt đối = Gia tốc kéo theo

Nếu chọn điểm A trên vật rắn làm cực thì vận tốc, gia tốc của một điểm B bất kì trên vật sẽ là:

Từ biểu thức gia tốc tương đối, ta suy ra:

m ⃗a tương đối=m ⃗a tuyệt đối−m ⃗a kéo theo−m ⃗a Coriolic

⃗F quántínhkéo theo1=−m⃗a K '

/K0: Xuất hiện một trường lực đều ở mỗi thời điểm

⃗F quántínhkéo theo2=−m⃗ ω× (⃗ ω× ⃗r ) : Lực quán tính li tâm

Về độ lớn: F quántính litâm=m ω2r0 Trong đó r0là khoảng cách từ M đến trục quay

⃗F quántính kéo theo3=−m ⃗γ × ⃗r : lực này xuất hiện khi hệ K quay không đều quanh K’ với gia tốc góc

 Lực quán tính coriolis luôn vuông goc với phương chuyển động của vật nên nó khôngsinh công, mà chỉ làm lệch qũy đạo mà thôi, không làm thay đổi độ lớn vận tốc của vậtchuyển động

Tĩm lại khi chuyển sang hệ phi quán tính, tổng quát sẽ cĩ xuất hiện thêm 4 lực so với ở trong

hệ quán tính

Với kết quả trên có thể phát biểu định luật II Newton trong trường hợp hệ quy chiếukhông quán tính: phương trình động lực học của chuyển động trong hệ quy chiếu khôngquán tính có cùng dạng như trường hợp hệ quy chiếu quán tính, nhưng ngoài các lực tácdụng thông thường lên chất điểm phải đưa vào 2 lực: lực quán tính kéo theo và lực quán tínhcoriolis

V CÁC ĐỊNH LUẬT NĂNG LƯỢNG TRONG HỆ PHI QUÁN TÍNH

V.1 Trong hệ quy chiếu quán tính

Người ta đã rút ra các định luật năng lượng từ các định luật Newton Một hệ gồm nhiềuchất điểm (hay nhiều vật mà ta có thể coi là chất điểm) tương tác với nhau được gọi là một

cơ hệ Lực tương tác giữa các chất điểm trong cơ hệ với nhau được gọi là nội lực Lực tươngtác giữa một chất điểm trong cơ hệ và các chất điểm ở ngoài cơ hệ được gọi là ngoại lực.Các cơ hệ được phân thành 2 loại:

- Cơ hệ kín: là cơ hệ không có tương tác với các vật ở ngoài hệ

- Cơ hệ không kín: là cơ hệ có chịu tác dụng của các ngoại lực

Đối với các hệ kín: do các nội lực của hệ tồn tại theo từng cặp lực-phản lực trực đối nhauvà hệ không chịu tác dụng của các ngoại lực, nên tổng các lực tác dụng lên hệ bằng không

Vì vậy, các định luật bảo toàn được phát biểu như sau:

- Định luật bảo toàn động lượng: “Tổng động lượng của một hệ kín không biến đổi theothời gian”

⃗P=const

- Định luật bảo toàn cơ năng: “Cơ năng của một hệ kín không biến đổi theo thời gian”hay “Khi một cơ hệ chỉ chịu tác dụng của những lực thế, cơ năng của hệ là một đại lượngkhông đổi”

Wđ + Wt = W = const

- Định luật bảo toàn mômen động lượng: “Khi momen của các ngoại lực tác dụng lên cơhệ bằng 0 đối với một điểm nào đó, thì momen động lượng của cơ hệ đối với điểm đó khôngđổi”

⃗L o=const

Đối với các hệ không kín: do có các ngoại lực tác dụng lên hệ Vì vậy các định luật bảotoàn được thay thế bằng định luật tổng quát hơn đó là các định luật biến thiên, chúng đượcphát biểu như sau:

- Định luật biến thiên động lượng: “Độ biến thiên động lượng của một cơ hệ trong mộtkhoảng thời gian bằng xung lượng của các ngoại lực tác dụng lên hệ trong khoảng thời gianđó”

d(m.⃗V)=⃗F.dt

- Định luật biến thiên cơ năng: “Độ biến thiên cơ năng của cơ hệ trong một khoảng thờigian bằng công của các lực khác không phải là lực thế tác dụng lên cơ hệ trong khoảng thờigian đó”

d(Wđ + Wt) = dA

- Định luật biến thiên momen động lượng: “Độ biến thiên động lượng của cơ hệ đối vớimột điểm nào đó trong một khoảng thời gian bằng xung lượng của tổng momen các ngoạilực đối với điểm đó trong khoảng thời gian đó”

d ⃗L=⃗ M(e) dt hay

d.⃗L

dt =⃗OM Λ ⃗F

V.2 Trong hệ quy chiếu không quán tính

Người ta đưa thêm vào các lực quán tính để vẫn có thể áp dụng được các định luậtNewton, nhưng lực quán tính không có phản lực Vì vậy trong hệ quy chiếu không quán tínhngay cả khi không có ngoại lực tác dụng thì vẫn có lực quán tính tác dụng lên cơ hệ, tổngngoại lực tác dụng lên cơ hệ luôn khác không Do đó, trong hệ quy chiếu không quán tínhphát biểu các định luật năng lượng theo kiểu cơ hệ không kín và phải cộng thêm các lựcquán tính vào các ngoại lực tác dụng lên hệ

- Định luật biến thiên động lượng: “Trong hệ quy chiếu không quán tính, độ biến thiênđộng lượng của một cơ hệ trong một khoảng thời gian bằng xung lượng của các ngoại lực vàcác lực quán tính tác dụng lên hệ trong khoảng thời gian đó”

- Định luật biến thiên cơ năng: “ Trong hệ quy chiếu không quán tính, độ biến thiên cơnăng của cơ hệ trong một khoảng thời gian bằng công của các lực khác không phải là lựcthế và công của lực quán tính tác dụng lên hệ trong khoảng thời gian đó”

d(W’đ + W’t) = dA + dAFie

- Định luật biến thiên momen động lượng: “Trong hệ quy chiếu không quán tính, độ biếnthiên momen động lượng của cơ hệ đối với một điểm nào đó trong một khoảng thời gianbằng xung lượng của tổng momen các ngoại lực và momen của các lực quán tính đối vớiđiểm đó trong khoảng thời gian đó”.

Δ Wđ =A(⃗F)+ A(⃗ F ie) Trong hệ K, công của lực quán tính coriolis bằng 0

A(⃗ F ic)=0  Thế năng của lực quán tính ly tâm: hệ quy chiếu không quán tính K quay với vận tốc

⃗

ω=ω ⃗e z không đổi xung quanh một trục cố định Oz ≡O z ' của K’..

Xét chất điểm có khối lượng m Tính công nguyên tố của lực quán tính ly tâm tác dụng lênchất điểm trong hệ K

Qui ước: U = 0 khi r = 0 nên const = 0

VI MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA

PHẦN ĐỘNG HỌC

Bài1

Hình vẽ là một kết cấu nằm trên mặt phẳng thẳng đứng tạo thành từ 3 thanh cứng AB, BC, CDcủa một tam giác AB và CD có thể chuyển động quanh 2 trục A, D cố định vuông góc với mặthình vẽ ; 2 điểm A, D cùng ở trên 1 đường nằm ngang Hai đầu của thanh BC nối với AB và CD

có thể quay quanh chỗ tiếp xúc (tương tự bản lề)

Cho AB quay quanh trục A với tốc độ góc  tới vị trí như trên hình vẽ, AB ở vị trí thẳng đứng,

BC và CD đều tạo với phương nằm ngang góc 450 Biết rằng độ dài của AB là l, độ dài của BC

và CD được xác định như trong hình vẽ Khi đó hãy tìm giá trị và hướng gia tốc a c của điểm C(biểu diễn qua góc với thanh CD)

Vì điểm B quay tròn quanh trục A, tốc độ của nó là

v B  l (1)

gia tốc hướng tâm của điểm B là

a B  2l (2)

Vì chuyển động với tốc độ góc không đổi nên thành phần gia tốc tiếp tuyến của điểm B bằng

0 và a Bcũng là gia tốc toàn phần của B, nó có hướng dọc theo BA Điểm C quay tròn quanhtrục D với tốc độ vC, tại thời điểm khảo sát có hướng vuông góc với thanh CD Từ hình 1cóthể thấy hướng đó dọc theo BC Vì BC là thanh cứng nên tốc độ của B và C theo hướng BC ắtphải bằng nhau và bằng

0 2 os45

2

v v c  l

(3)Lúc đó thanh CD quay quanh trục D theo hướng thuận chiều kim đồng hồ, gia tốc pháp tuyếncủa C bằng

2

C Cn

v a CD



(4) Hình 1 cho thấy CD 2 2l, từ (3), (4) ta được

2

2 8

Cn

a   l

(5) Gia tốc này có hướng dọc theo hướng CD

Bây giờ ta sẽ phân tích gia tốc của điểm C theo hướng vuông góc với thanh CD, tức là gia tốctiếp tuyến a Ct Vì BC là thanh cứng nên chuyển động của C đối với B chỉ có thể là quay quanh

B, phương của vận tốc ắt phải vuông góc với thanh BC Gọi v CB là độ lớn của vận tốc này, theo(1) và (3) ta có

2

CB CB

v a CB

CB

a   l

(8)Gia tốc này có hướng vuông góc với CD

Từ công thức (2) và hình 1 thấy rằng thành phần gia tốc dọc thanh BC của điểm B là

Gia tốc toàn phần của điểm C bao gồm gia tốc pháp tuyến a Cn khi C chuyển động tròn quanh D

và gia tốc tiếp tuyến a Ct, nghĩa là

Lời giải

- Quỹ đạo của B là tròn

- Do thanh BC cứng, hình chiếu của B và C lên phương thanh

* Pháp tuyến:  

0 2

4 sin

B n

a

L L  (2)

* Tiếp tuyến at hướng theo v B

Xét trong hệ quy chiếu quán tính gắn với C



Vận tốc này vuông góc với BC do B quay quanh C

Gia tốc pháp tuyến của B trong hệ này (hướng từ B về C):

a ⃗

n BA

4 sin cos

t

v a

a  

  = , tức là gia tốc của B hướng dọc theo phân giác góc 2

Bài 3

Thanh AB chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng

với đầu A chuyển động theo phương ngang và đầu B

chuyển động theo phương đứng Tại thời điểm khảo

sát đầu A có vận tốc VA = 40 cm/s và gia tốc

WA= 20 cm/s2 Trong đó AB = 20 cm và  = 30o

Tìm gia tốc điểm B và gia tốc của thanh AB

Lời giải

Gia tốc điểm B và gia tốc của thanh AB

P là tâm vận tốc tức thời : Sin  =PA/L vậy PA=L.Sin , AP = 10 cm

Vận tốc góc của thanh AB: ω AB=

D C

B A

a ⃗

BA

a ⃗

n CBaCB

a ⃗

Một tấm hình vuông cạnh a chuyển động trong mặt

phẳng như hình vẽ Lúc khảo sát các đỉnh A,B có

gia tốc WA = WB=16 cm/s2 và tương ứng hướng theo

các cạnh AD, BA Tìm gia tốc của đỉnh C

Hình vuông chuyển động song phẳng

aB = a BA n = AB 2 = a.2   =

B

a a

B

a⃗ 

n B

O1B đều vuông góc với OO1 Tìm gia tốc góc của thanh AB và gia tốc của B tại vị trí đó

Chọn điểm A làm cực, định lý về quan hệ gia tốc cho ta:

Chiếu hai vế của (*) lên trục AB

l A

I

O o

l A

I

BP1 K

O o

D 1

A

V⃗

n A

a⃗

n BA

V A=rω0 , 2

0

n A

 Gia tốc điểm B: a B a A a BA a A n a BA n a BA

(1)(Giả thiết chiều a⃗B và a⃗BA

như hình vẽ)Chiếu (1) lên hệ trục Oxy:

B

r l r a

o O

B

C

45o A

o O

B

C

45o A

n B

a ⃗B

a ⃗ an BA B

Cơ cấu 4 khâu như hình vẽ Tay quay OA quay

đều với vận tốc góc o = 4 rad/s , OA = r = 0,5 m

 Gia tốc góc thanh AB,BC

a BC

BA

a AB

x B

M

a ⃗M

a ⃗

n DO

a ⃗

x C

B O

a ⃗

A

a ⃗

n A

a ⃗A

B n

B

a ⃗B

a ⃗

A

a ⃗

n A

a ⃗

O

B

a Vận tốc thanh AB: Dùng tâm vận tốc tức thời

 Tâm vận tốc tức thời trùng với O

 Tìm vận tốc góc của thanh AB : vA = r0 = PA.AB  ω AB= v A

PA=

rω0

r =ω0

vậy thanh AB quay ngược chiều kim đồng hồ

- Điểm B thuộc thanh AB nên: v B=PB.ω AB=r√3ω0 =BO 1 ω BO

Và thanh BO1 quay quanh trục qua O1 theo chiều kim đồng hồ

b Gia tốc góc thanh AB:

 Chọn điểm A làm cực, định lý về quan hệ gia tốc cho ta:

3 2 6 2

a ⃗

Bài 10

Một cơ cấu culít OA quay quanh trục đi qua O với phương trình:

 = 5t – 0,5t2 Một con chạy M chuyển động dọc theo rãnh của culít với phương trình S = OM

= 0.5t3 ( S tính bằng cm , t tính bằng giây)

Tìm vận tốc và gia tốc tuyệt đối của con chạy M tại thời điểm t = 2s

Tìm vận tốc tuyệt đối của con chạy M tại thời điểm t = 2s

B O

V ⃗

n e

o



O A

B

45o

O

n r

W ⃗

c

W ⃗n

a ⃗c

a ⃗

n e

a ⃗

Các véctơ gia tốc được biểu diễn như hình vẽ

Chiếu (*) lên trên trục tọa độ

Các véctơ gia tốc được biểu diễn như trên vẽ

Chiếu (**) lên hai trục tọa độ

Một quả bóng được ném vào rổ và từ rổ rơi xuống theo phương

thẳng đứng không vận tốc đầu Vào đúng thời điểm đó tại một

điểm cách rổ một khoảng l người ta ném một quả bóng tennis vào

quả bóng rổ đang rơi xuống Hỏi phải ném quả bóng tennis với vận

H h l

tốc ban đầu bằng bao nhiêu để nó đập vào quả bóng rổ ở điểm cách

rổ một khoảng h?

Tìm độ lớn Vo và góc hợp bởi ⃗V o và phương nằm ngang

Lời giải

- Nếu giải bài toán trong hệ quy chiếu gắn với mặt đất

Khi quả bóng tennis đập vào quả bóng rổ ở độ cao h:

V o trùng với hướng từ điểm ném đến rổ Vậy ta phải ném quả bóng

tennis đúng theo hướng tới rổ Để tìm V o ta rút t từ phương trình (1) thay

vào phương trình (4):

H=V o sin α √2h g

V o= H

sinα .√2h g =l √2h g

- Nếu giải bài toán trong hệ quy chiếu gắn với quả bóng rổ

Như vậy ta xét chuyển động của quả bóng tennis đối với quả bóng rổ

Vận tốc ban đầu của quả bóng tennis so với quả bóng rổ:

V o(1/2)=⃗V o

(1/đất) V o

(đất/2) =⃗V o

Từ một điểm người ta ném đồng thời hai vật với vận tốc đầu V o bằng

nhau nhưng dưới các góc khác nhau α1,α2 so với phương ngang Tính:

a Vận tốc chuyển động tương đối giữa hai vật

b Khoảng cách giữa 2 vật trong khi đang chuyển động

Lời giải

Cách 1: chọn hệ quy chiếu gắn với mặt đất

V12 : vận tốc của vật 1 so với vật 2

V1,V2 : vận tốc của vật 1, 2 so với đất

Câu a: Theo công thức cộng vận tốc

Cách 2: Chọn hệ quy chiếu gắn với vật 2

Đây là hệ quy chiếu không quán tính chuyển động với gia tốc g so với mặt đất Tronghệ quy chiếu này vật 2 đứng yên còn vật 1 chịu tác dụng của 2 lực cân bằng, đó là trọng lực

⃗P=m ⃗g và lực quán tính ⃗F qt=−m⃗g Do đó vật 1 chuyển dộng thẳng đều so với vật 2 với

ngang có khối lượng m2 Đặt tại đỉnh A của nêm một vật có

khối lượng m1 rồi buông cho nó trượt xuống dọc theo mặt AB

Tìm thời gian để vật đi tới B và quãng đường nêm đã đi được

trong thời gian đó Cho hệ số ma sát giữa vật và mặt nêm là

k

Giải

Vì không có ngoại lực theo phương nằm ngang nên khối tâm của cả hệ không di chuyểntheo phương ngang Khi m chuyển động xuống dọc theo mặt nêm, thì khối tâm của nêmdịch chuyển sang phải

Chọn hệ quy chiếu không quán tính gắn với mặt nêm

Khi vật m chuyển động dọc xuống mặt nêm, nêm dịch chuyển tịnh tiến sang phải với giatốc ⃗a2 so với đất

Trong hệ quy chiếu gắn với nêm vật m1 ngoài chịu tác dụng của các lực ⃗P1,⃗ f ms 1 ,⃗ N1 cònchịu tác dụng của lực quán tính

⃗

a12 : gia tốc của vật m1 đối với nêm

Phương trình động lực học viết cho vật m1:

a12=g (sin α−k cosα )+a2(cos α+k sin α )

Để tìm a2 ta xét chuyển động của nêm so với mặt đất

Phương trình động lực học chuyển động của nêm:

⃗P2+⃗N2+ ⃗f ' ms1+⃗N '1=m2⃗a2

Chiếu lên phương chuyển động với chiều (+) là chiều chuyển động của nêm:

−kN 1 cosα+N1sin α=m2a2

⃗P2

Thế biểu thức của N1 ở (3) vào ta được:

a2= m1g(sin α cos α−k cos2α)

m2−k m1sin α cosα +m1sin2α

Trên mặt dốc nghiêng 30o, đặt vật m1 và vật m2 như hình vẽ

Cho m1 =0,1kg , m2 =1kg Hệ số ma sát giữa m1 và m2 là

K1 = 0,1 Hệ số ma sát giữa m2 và mặt dốc k2 = 0,2 Khi thả

tay cho các vật chuyển động thì m1 trượt khỏi m2 chiều dài

của m2 bằng 1m, kích thước của m1 không đáng kể

Tìm gia tốc mỗi vật? Tìm lực ép của m1 lên giá đỡ m2

Gọi ⃗a1,⃗ a2 là gia tốc của vật m1, m2 đối với hệ cố định

⃗a12 là gia tốc của vật 1 đối với vật 2

Các lực tác dụng được biểu diễn trên hình vẽ

Bài toán trở nên đơn giản khi chọn hệ quy chiếu không quán tính gắn với m2 Vật m1

ngoài chịu tác dụng của trọng lực ⃗P1 , phản lực ⃗N1 , lực ma sát ⃗F ms1 , còn có thêm lựcquán tính ⃗F qt=−m1.⃗a2

Phương trình động lực học cho cơ hệ:

Cho cơ hệ như hình vẽ Hệ số ma sát giữa m và M là K1, giữa M và

mặt phẳng ngang là K2 Tác dụng vào vật M một lực ⃗F hợp với

mặt phẳng ngang một góc α Khi α thay đổi xác định giá trị

nhỏ nhất của F để vật M có thể trượt khỏi m

Các lực tác dụng lên cơ hệ được biểu diễn trên hình Trong đó:

 ⃗N1' là áp lực của m lên M

 ⃗N1=−⃗N1' là phản lực của M lên m được xuất hiện theo

định luật III Newton

 ⃗N2 là phản lực do mặt sàn tác dụng lên M

 ⃗f ms 1∧⃗f ms2 là lực ma sát do m và M chuyển động tương

đối với nhau

 ⃗f ms2 là lực ma sát giữa tấm ván M và mặt sàn

Cách 1: Chọn hệ quy chiếu quán tính gắn với mặt sàn

Phương trình động lực học cho cơ học:

⃗F+⃗ f ms 1+⃗f ms 2+⃗P2+⃗N2+⃗N1'=M1 ⃗a2 (2)Chiếu (1), (2) lên hệ trục tọa độ Oxy, ta nhận được:

α thay đổi, Fmin khi (cosα +K2sin α ) đạt cực đại Đặt y=cos α+K2sin α

Để y đạt cực trị: y '=−sin α+K2cos α=0 ⇒tg α=K2

Fmin=(K1+K2)(M +m) g

√1+K22

Cách 2: Chọn hệ quy chiếu không quán tính gắn với vật M

Trước hết tìm gia tốc a2 của vật M so với đất

Tương tự như trên ta tìm được:

a2=F cosα−K1mg−K2g(m+M )+ K2 F sin α

M

Trong hệ quy chiếu gắn với vật M, vật m còn chịu tác dụng của lực quán tính ⃗F qt=−m⃗ a2

hướng sang trái

Phương trình động lực học trong hệ quy chiếu không quán tính:

⃗P1+⃗N1+⃗F ' ms1+⃗F qt=m.⃗ a12

Chiếu lên trục Ox:

K1mg – ma2 = ma12

 a12 = K1g – a2

Để vật M có thể trượt khỏi m:

a12 < 0 (so với chiều dương trục Ox)

f

a

1/3

2 , tấm 1 vẫn có vận tốc là Vo

Lúc tấm 1 dừng lại trên tấm 3, cả ba tấm cùng chuyển động với vận tốc

2V o

3

 Khi tấm 1 sang tấm 3 một đoạn x

 Giữa tấm 1 và 3 có lực ma sát f ms=K mg x

l với

m.g x

l : áp lực của 1 trên 3

 Gia tốc của tấm 2 và 3: a=

 Cách 2 : Chọn hệ quy chiếu quán tính gắn với mặt bàn

 Áp dụng định luật bảo toàn năng lượn cho hệ 3 tấm:

Hai vật hoàn toàn như nhau, có khối lượng bằng nhau, cùng dịch

chuyển từ đỉnh 1 cái nêm dạng hình tam giác vuông dọc theo hai mặt

sườn Cái nêm phải chuyển động với gia tốc a bằng bao nhiêu để cả

hai vật cùng xuất phát từ đỉnh nêm với vận tốc ban đầu bằng không

(đối với nêm) và trượt đến chân các mặt sườn trong khoảng thời gian

như nhau? Giá trị của hệ số ma sát K giữa các vật và mặt nêm phải

nằm trong khoảng nào để có thể thỏa mãn điều kiện đặt ra của bài

toán Các góc tại đáy của nêm lần lượt bằng α=

π

3 , β=

π

6Giải

Ban đầu cơ hệ đứng yên

Khi cả hai cùng trượt dọc theo mặt nêm thì nêm sẽ chuyển động Giả sử nêm chuyểnđộng sang trái với gia tốc ⃗ a

Để đơn giản, ta chọn hệ quy chiếu không quán tính gắn với nêm

Gọi a1, a2 là gia tốc vủa vật 1 và vật 2 đối với nêm

Để cả 2 vật cùng xuất phát từ đỉnh với vận tốc ban đầu bằng không và trượt đến châncác mặt sườn trong khoảng thời gian như nhau Ta có:

N

) (

) (

Kết hợp (1), (4) và (5) ta tìm được a:

Thay biểu thức của a từ trên vào ta tìm được: K < 1

Vậy giá trị của hệ số ma sát K < 1 thỏa mãn điều kiện đặt ra của bài toán

Chiếc nêm A có khối lượng M có tiết diện thẳng là một tam giác vuông với góc nghiêng là

α Vật nhỏ B có khối lượng m ở trên mặt nghiêng của nêm Vật nhỏ C có khối lượng

m o=m

4 tựa vào mặt thẳng đứng của nêm Giữa C và mặt thẳng đứng của nêm có ma sátvới hệ số ma sát là K

Ma sát giữa A và B, giữa mặt sàn và nêm B là không

đáng kể Ban đầu giữ hệ đứng yên

Hãy xác định tỉ số

a o Xét chuyển động của nêm trong hệ quy chiếu gắn với mặt đất:

Phương trình động lực học (của nêm)

⃗p1+⃗N1+⃗N2'+⃗ N3'=M ⃗ a o

Chiếu biểu thức vectơ lên phương chuyển động với

chiều (+) là chiều chuyển động

m2

Phương trình động lực học:

- Đối với vật B:

- Đối với vật C:

Chiếu (2) lên phương vuông góc với mặt nêm:

N2−mg cos α+ma o sin α=0

Chiếu (3) lên phương song song và phương vuông góc với mặt nêm , ta được:

Do điều kiện vật C không trượt xuống đối với nêm cho nên:

fmsn = Ft = mog với Ft: ngoại lực tiếp tuyếnMặt khác:

fmsn ≤ KN3



g≤ K mg sin α cosα M+m o+m sin2α với m o=m

4Biến đổi biểu thức cuối cùng ta tìm được:

Cho cơ hệ như hình vẽ Vật A có khối lượng m1 Vật B có khối

lượng m2 Lúc bàn đứng yên thì vật m1 ở trạng thái cân bằng giới

hạn Cho bàn trượt với gia tốc ao sang phải Tính gia tốc của vật

m1 và sức căng dây

Cho ròng rọc và dây đều là lý tưởng

Cách 1: Chọn hệ quy chiếu quán tính gắn với mặt đất

Các lực tác dụng lên cơ hệ được biểu diễn trên hình vẽ

Gọi ⃗a1,⃗ a2 : là gia tốc của vật A, B so với mặt đất

⃗a A ,⃗ a B : là gia tốc của vật A, B so với bàn

Ta có: