(SKKN HAY NHẤT) ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMĐỀ TÀI: "ỨNG DỤNG CỦA GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ THAM SỐ"... Lí do chọn đề tài Đối với học sinh học

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

"ỨNG DỤNG CỦA GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ

NHẤT TRONG BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT

PHƯƠNG TRÌNH CÓ THAM SỐ"

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lí do chọn đề tài

Đối với học sinh học toán ở trường trung học phổ thông, nhất là các học sinh chuẩn bị thi đại học thường gặp bài toán không mấy dễ dàng liên quan đến nghiệm của

phương trình, bất phương trình chứa tham số Khi giảm tải chương trình thì các dạng

toán phải sử dụng định lí đảo của tam thức bậc hai không thể vận dụng được nên học

sinh phải vận dụng chủ yếu định lý Viét và một số cách giải khác như hàm số hoặc

“điều kiện cần - đủ” để giải quyết các bài toán chứa tham số dẫn đến cách giải phức tạp

do đó học sinh rất khó rèn luyện tốt phần này Với việc ứng dụng giá trị lớn nhất và giá

trị nhỏ nhất của hàm số thì phần lớn các bài toán về phương trình, bất phương trình

chứa tham số sẽ được giải quyết một cách rất tự nhiên, ngắn gọn và dễ hiểu Đó là lí do

để tôi chọn đề tài : “ Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán

giải phương trình và bất phương trình có tham số”.

II Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm

Các vấn đề được trình bày trong đề tài này có thể hỗ trợ cho các em học sinh

trung học phổ thông có cái nhìn toàn diện hơn về cách tiếp cận bằng giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải bài toán phương trình, bất phương trình có tham số

III Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Đề tài này nghiên cứu trên các dạng toán về phương trình, bất

phương trình chứa tham số

Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình đại số và giải tích của trung học phổ

thông đặc biệt phương trình, bất phương trình vô tỉ, phương trình lượng giác, phương

trình, bất phương trình mũ và logarit chứa tham số Tuy nhiên không phải mọi bài toán

chứa tham số mà phạm vi của nó là các bài toán có thể cô lập được tham số về một vế

trong phương trình hoặc bất phương trình

IV Phương pháp nghiên cứu

Trình bày cho học sinh những kiến thức cơ bản về lý thuyết về giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của hàm số Thông qua những ví dụ cụ thể với cách giải đơn giản, tự nhiên

nhằm làm cho học sinh thấy được những thế mạnh của việc sử dụng phương pháp trên

Các ví dụ minh họa trong đề tài này được lọc từ các tài liệu tham khảo và các đề thi đại

học các năm gần đây và sắp xếp từ dễ đến khó Trong các tiết học trên lớp tôi ra cho học

sinh giải các vi dụ này dưới nhiều phương pháp để từ đó đánh giá được tính ưu việt của

phương phấp trên

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I Cơ sở lý luận.

Trong đề tài này sử dụng kết quả sau đây: Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên miền

D, và tồn tại , Khi đó ta có

1 Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

2 Hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

3 Bất phương trình đúng với mọi x khi và chỉ khi m

4 Hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

5 Bất phương trình đúng với mọi x khi và chỉ khi M

Chứng minh

1 Giả sử hệ phương trình đã cho có nghiệm, tức tồn tại sao cho

Đảo lại, giả sử Vì f(x) là hàm số liên tục nên nó nhận giá trị từ

đến Do đó khi f(x) nhận giá trị , tức là tồn tại sao cho f( )

= Điều đó có nghĩa là phương trình đã cho có nghiệm trên D

2 Giả sử hệ đã cho có nghiệm, tức là tồn tại sao cho

Ta giả thiết phản chứng rằng hệ đã cho vô nghiệm, tức là , từ đó suy ra

(2)

Từ (1) và (2) ta thấy vô lí, do đó giả thiết phản chứng không xảy ra, tức là hệ đã cho có

Đảo lại, giả sử f(x) , khi đó do mminxfD(x) nên theo định nghĩa tồn tại

(4 và 5 ta chứng minh tương tự như 2, 3).

II Thực trạng và giải pháp.

1 Phương trình chứa tham số.

Ví dụ 1 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

Hướng dẫn giải

Ta tìm miềm xác định của t, xét hàm số với

Từ đó ta có bảng biến thiên

x 1 3 4

f’(x) + 0

và từ đó suy ra khi , thì

vì thế bài toán trở thành: Tìm m để hệ sau có nghiệm

Ta có g’(t) = , và ta có bẳng biến thiên sau

t 2 1

g’(t) - 0 +

g(t)

1 0

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Hướng dẫn giải

Đặt f(x) ; Lúc này phương trình đã cho có dạng

(1) Phương trình (1) xác định trong miền Ta có

Nên ta có bảng biến thiên sau:

x 0 2 6

f’(x) + 0

x 0 2 6

g’(x) + 0

-g(x)

Vì thế ta có bảng biến thiên đối với hàm số h(x), như sau

x 0 2 6

h’(x) + 0

-h(x)

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt

Chú ý:

1 Nếu bài toán hỏi tìm m để phương trình có nghiệm thì đáp số của bài toán sẽ là

2 Trong bài này cần lưu ý khi khi đó phương trình đã cho chỉ có một

nghiệm duy nhất Vì thế khi làm bài học sinh cần phải kết hợp với cả bảng biến thiên để

suy ra kết quả

Ví dụ 3 Tìm m để phương trình có nghiệm

Hướng dẫn giải

Điều kiện: pt(1)

Bài toán đã cho trở thành: Tìm m để hệ có nghiệm

Ta có nên có bảng biến thiên sau:

t

0 1

f’(t) + 0

; còn (chú ý rằng ở đây không tồn tại ) Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

Chú ý:

1 Ở đây vì xét khi , nên không tồn tại nhưng tồn tại Do đó

điều kiện theo lý thuyết phải thay bằng (tức là đã thay điều kiện

2 Ta có thể giải bài toán trên bằng định lý Viét

Trước tiên ta tìm điều kiện m để hệ trên vô nghiệm

TH1) Phương trình (1) vô nghiệm

TH2) PT (1) có nghiệm nhưng không thỏa mãn (2)

m

Do đó hệ vô nghiệm khi Vậy phương trình có nghiệm

Ví dụ 4 Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt

Hướng dẫn giải

Do x = 0 không là nghiệm của (1) với mọi m, nên hệ trên

Ta có f’(x) = và bảng biến thiên

x

0

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt

Nhận xét: Bài này có thể hướng dẫn học giải bằng cách sử dụng lý Viét.

Yêu cầu trên tương đương với phương trình (1) có hai nghiệm sao cho

Áp dụng định lý Viét ta có

Như vậy cách giải thứ nhất vẫn gọn hơn cách hai

Ví dụ 5 Cho phương trình Tìm m để phương trình có ít nhất

một nghiệm thuộc đoạn

Hướng dẫn giải

Bài toán trở thành: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

Ta có và có bảng biến thiên sau:

t

1 2

f(t)

Vậy các giá trị cần tìm của tham số m là

Ví dụ 6 Tìm m để phương trình có nghiệm

Hướng dẫn giải

Do Nên phương trình (1) Vì thế bài toán trở thành: Tìm

Ta có và có bảng biến thiên sau đây:

f(t)

; Vậy các giá trị m cần tìm là:

Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn

Hướng dẫn giải

Phương trình (1)

Bài toán trở thành: Tìm m để hệ

Ta có và có bảng biến thiên sau:

t

0 1

f’(t) - 0 +

f(t)

0

; Vậy giá trị m cần tìm là

Ví dụ 8 Tìm m để hệ sau có nghiệm

Hướng dẫn giải

Đặt ; Bài toán trở thành tìm m để hệ sau có nghiệm:

Nếu hệ vô nghiệm

Hệ đã cho

Do đó ta cần tìm m để cho

Ta có bảng biến thiên sau

u

0 m

f’(u) - 0 +

f(u)

; Nên

Vây các giá trị cần tìm của m là:

Bài tập

1 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm trên đoạn

3 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

4 Tìm m để phương trình sau có nghiệm trong khoảng

5 Tìm m để hệ sau có nghiệm (ĐS: )

2 Bất phương trình chứa tham số

Ví dụ 1 Cho bất phương trình

Tìm m để bất phương trình đúng với

Hướng dẫn giải

Cách 1.(Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ)

Điều kiện cần : Giả sử bất phương trình đã cho đúng thì điều đó cũng đúng

Điều kiện đủ : Giả sử

Theo bất đẳng thức Côsi

Vậy

Cách 2.(Sử dụng định lý Viét)

Đặt t =

Ta có bảng biến thiên sau:

x - 4 1 6

g’(x) + 0

-g(x) 25

, Bài toán đã cho có dạng: Tìm m để bất phương trình đúng với mọi

TH2) Nếu f(t) = 0 có hai nghiệm phân biệt Lúc này yêu cầu bài toán tương đương với

Vậy bất phương trình có nghiệm khi

Cách 3.(Phương pháp đồ thị).

Vì thế đồ thị của là nửa đường tròn (nằm phía trên trục Ox) tâm I(1; 0),

bán kính R = 5

Còn có đồ thị là Parabol có trục đối xứng x = 1 và (P)luôn nằm trên nửa

đường tròn

Do đó bài toán có dạng: Tìm m để Parabol luôn nằm trên nửa đường tròn

Xét (P) tiếp xúc với (C) tại M(1; 5)

Vậy bất phương trình có nghiêm khi

y

-4

1

6 5

Cách 4 Viết lại bất phương trình dưới dạng

Ta có:

Từ đó có bảng biến thiên sau:

x - 4 1 6

f’(x) + 0

-f(x)

Vậy bất phương trình có nghiệm

Nhận xét: qua các cách giải của bài toán trên ta nhận thấy cách 4 gọn và dễ làm nhất!

Ví dụ 2 Tìm m để bất phương trình

đúng với mọi x

Hướng dẫn giải

Bất phương trình đã cho (1)

Đặt Ta có Bài toán trở thành: Tìm m để bất phương trình đúng với mọi t Điều đó xảy ra khi và chỉ khi Ta có Bảng biến thiên sau: t 0 2 3

f’(t) - 0 +

f(t)

Vậy các giá trị cần tìm của tham số m là:

Nhận xét: khác với bài 1, bài này thì cách giải này là hợp lí nhât!

Ví dụ 3.Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với mọi x

Hướng dẫn giải

Vì , nên bất phương trình đã cho

Ta có f’(x)

Bảng biến thiên

x - 6 6

f’(x) 0 + 0

-f(x)

Vậy để bất phương trình sau có nghiệm với mọi x thì m

Ví dụ 4 Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau có nghiệm

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x

Khi đó bất phương trình

Bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m

Bảng biến thiên:

x

3 +

f’(x) + 0

-f(x)

0

Vậy bất phương trình có nghiệm khi

Ví dụ 5 Tìm m để hệ sau đây có nghiệm

(đây là bất phương trình chứa tham số và kèm theo điều kiện của x)

Hướng dẫn giải

Viết lại hệ dưới dạng

Do x = 1 không phải là nghiệm của (1) với mọi m

Hệ (1)(2)có nghiệm Ta có

Bảng biến thiên sau

x

1 2 3

f’(x) - - 0 +

-; Vậy các giá trị cần tìm của m là

Bài tập:

1 Cho bất phương trình Tìm m để bất phương trình có

2 Tìm m để bất phương trình đúng với x

3 Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x

5 Tìm m để hệ sau có nghiệm

III Hiệu quả của đề tài.

Sau khi các bài toán này được thực hành trên lớp và kiểm tra, đa số học sinh tiếp thu và vận dụng tốt

Bảng thống kê số phần trăm học sinh hiều bài và vận dụng được

Lớp

12A1

Dùng điều kiện cần và đủ

và sử dụng đồ thị

Dùng định lý Viét

Dùng GTLN,GTNN

50 HS

17% học sinh hiểu bài 8% học sinh vận dụng được

55% học sinh hiểu và vận dụng được

75% học sinh hiểu

và vận dụng được

C KẾT LUẬN

Qua các ví dụ vừa nêu trên ta thấy được ưu điểm của việc ứng dụng giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số vào giải các bài toán chứa tham số là cho ta một

cách giải ngắn gọn và dễ hiểu Mặc dù với tinh thần nghiêm túc, đầy trách nhiệm khi

viết đề tài, đồng thời kết hợp với cả giảng dạy trên lớp để kiểm nghiệm thực tế, tuy

nhiên trong quá trình viết sẽ khó tránh khỏi các khiếm khuyết rất mong được sự đóng

góp của đồng nghiệp để đề tài này có ý nghĩa thiết thực và bổ ích hơn trong nhà trường

Giúp các em học sinh tìm cho mình một phương pháp ưu việt nhất khi giải các bài toán

liên quan đến phương trình và bất phương trình có tham số

Xin chân thành cảm ơn!