(SKKN HAY NHẤT) sử dụng công cụ đạo hàm, tích phân và số phức nhằm giúp học sinh giải nhanh một số bài toán tổ hợp

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMĐỀ TÀI: "SỬ DỤNG CÔNG CỤ ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN VÀ SỐ PHỨC NHẰM GIÚP HỌC SINH GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP"... Để giải quyết bài toán này có nhiều phương pháp khác

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

"SỬ DỤNG CÔNG CỤ ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN VÀ SỐ PHỨC

NHẰM GIÚP HỌC SINH GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ

HỢP"

A Đặt vấn đề:

Trong chương trình phổ thông, bài toán tổ hợp là một phần quan trọng để phát triển tư

duy, tính sáng tạo của các em học sinh Những năm gần đây, các bài toán của Đại số tổ

hợp thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng khá nhiều Để

giải quyết bài toán này có nhiều phương pháp khác nhau, khi thì dùng trực tiếp các tính

chất về tổ hợp, phép biến đổi tương đương, cũng có khi là sử dụng đạo hàm, tích phân,

còn số phức thì thật sự còn mới mẻ Song trong nội dung bài viết này tôi trình bày một số

bài toán tổ hợp hay gặp mà cách giải là tổng thể sử dụng công cụ đạo hàm, tích phân và

số phức Đây thực sự là một công cụ hữu hiệu, giúp học sinh giải quyết bài toán nhanh,

gọn, chính xác Mong muốn hơn của tôi là cho các em cái nhìn tổng thể về cách giải

quyết bài toán này

Tất nhiên, tổ hợp được học ở trong chương trình lớp 11, cụ thể là ở giữa HKI Còn đạo

hàm thì được trình bày ở cuối HKII của lớp 11, tích phân được học ở trong chương trình

lớp 12, thậm chí số phức được trình bày ở cuối chương trình lớp 12 Hệ thống các bài tập

ở sách giáo khoa và sách bài tập về ứng dụng đạo hàm, tích phân và số phức để giải các

bài toán tổ hợp thì không được trình bày nhiều, học sinh không được rèn luyện kỹ năng

này trên lớp Do đó, khi gặp bài toán này ở các đề thi Đại học và Cao đẳng, phần lớn các

em không làm được

Nhằm mục đích để cho các em học sinh chuẩn bị bước vào các kỳ thi quan trọng, thấy

được tổng thể các phương pháp giải quyết bài toán tổ hợp, từ đó tạo cho các em niềm tin

sẽ làm bài tốt trong các kỳ thi sắp tới Tôi chọn đề tài “Sử dụng công cụ đạo hàm, tích

phân và số phức nhằm giúp học sinh giải nhanh một số bài toán tổ hợp” làm sáng

kiến kinh nghiệm của mình Đồng thời áp dụng đề tài ngay cho các em học sinh dang học

lớp 12 năm 2013 này

B Giải quyết vấn đề:

I Cơ sở lý luận của vấn đề.

Rõ dàng các bài tập tổ hợp mà ta giải quyết ở chuyên đề này là: Tính tổng, Chứng minh

đẳng thức, hay tìm nN* thoả mãn đẳng thức nào đó, tất nhiên là các dạng này đều chứa

và đó là những bài toán này liên quan đến những khai triển nhị thức Newton, mà việc

chọn các số hạng trong nhị thức, số mũ của nhị thức có vai trò cực kỳ quan trọng đối với

bài toán ta cần giải quyết

b) Lấy tích phân hai vế của (1) ta được:

c) Giả sử bài toán cần tính tổng của (với k = 0,1,2, n)

Ta Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp (thường ta chọn là x

= i) Mặt khác khai triển trực tiếp các số phức (thường chỉ xét các số phức có argument là

, , ) Rồi so sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách

tính Từ đó sẽ tìm được mối liên hệ cho tổng cần tính

Sau đây tôi sẽ trình bày mỗi phương pháp một ví dụ tương ứng, để làm minh chứng cho

cơ sở lý luận của đề tài này Ở phần giải quyết vấn đề tôi cố gắng trình bày các bài toán

một cách chi tiết, phân tích và nhận xét cách giải nhằm giúp học sinh thấy được khi nào

dùng công cụ đạo hàm, tích phân hay số phức có hiệu quả cao nhất

Ví dụ 1: (Đề tuyển sinh đại học KA -2005)

Tìm số nguyên dương n sao cho :

Giải

Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có :

Chọn x= -2 thay vào (2) ta được:

Từ (1) và (3) ta thấy VT (1) = VP (3) suy ra 2n+1=2005 (thoả mãn)

Kết luận: là gái trị cần tìm

Ví dụ 2: (Đề tuyển sinh đại học KA-2007)

Cho n là số nguyên dương,chứng minh:

Giải:

Xét các khai triển

(1) (2)Trừ vế theo vế (1) và (2) ta được:

Suy ra

So sánh hai cách tính trên ta được S = = -29 = -512

II Thực trạng của vấn đề:

Thuận lợi: Năm 2013 tôi đặt mục tiêu là hoàn thành chuyên đề “ Sử dụng công cụ đạo

hàm, tích phân và số phức nhằm giúp học sinh giải nhanh một số bài toán tổ hợp”.

thì lại trùng với việc tôi được trực tiếp giảng dạy hai lớp 12, mà số đông trong các em là

những học sinh quyết tâm sẽ thi vào các trường Đại học và cao đẳng Đó là thuận lợi

đáng kể để tôi áp dụng đề tài này, và tôi tin là lớp học sinh được tôi truyền đạt chuyên đề

này sẽ đạt kết quả khác biệt so với lớp học sinh có chất lượng tương tự khi tôi cũng trực

tiếp giảng dạy các em năm 2010

Khó khăn: Tỷ lệ học sinh làm được loại toán này còn rất thấp

Điều này tôi thu được vì cả hai năm lớp 10, 11 tôi đều trực tiếp dạy các em và sang năm

2013 này tôi đã tiến hành khảo sát chất lượng làm bài loại toán này thông qua một số bài

kiểm tra đối với học sinh lớp 12C1 và 12C3

(Khảo sát chất lượng khi chưa đưa chuyên đề này vào giảng dạy)

Tôi hiểu rằng, việc lĩnh hội kiến thức này và rèn luyện kĩ năng của các em học sinh đòi

hỏi nhiều công sức và thời gian Hiện tại nhận thức của học sinh thể hiện khá rõ đó là:

- Các em còn lúng túng trong việc tìm hướng giải quyết cho một bài toán tổ hợp

- Nhiều học sinh có tâm lí sợ loại bài tập này

Đây là chuyên đề đòi hỏi sự tư duy, phân tích của các em Thực sự là khó không chỉ đối

với học sinh mà còn khó đối với cả giáo viên trong việc truyền tải kiến thức, lẫn phương

pháp tới các em Cụ thể là làm thế nào để các em hiểu khi nào thì bài toán tổ hợp sử

dụng được các công cụ trên

III Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề :

Trong dạy và học toán nhiệm vụ của thầy và trò là tìm ra một phương pháp phù hợp để

giải các bài tập là quan trọng nhất Như đã nói ở trên, phần giải quyết vấn đề này, tôi sẽ

cố gắng trình bày các bài toán một cách chi tiết, phân tích và nhận xét cách giải nhằm

giúp học sinh thấy được khi nào dùng công cụ đạo hàm, tích phân hay số phức có hiệu

quả cao, giúp học sinh giải quyết bài toán nhanh, gọn, và chính xác Từ đó tạo cho các

em niềm tin sẽ làm bài tốt trong các kỳ thi sắp tới

Sau đây tôi xin đi vào từng phần cụ thể

1 SỬ DỤNG CÔNG CỤ ĐẠO HÀM TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP

Trước khi đi vào các bài toán cụ thể, ta cần nhớ các đẳng thức bắt đầu từ những khai

triển Newton và phép lấy đạo hàm các đẳng thức đó

Dấu hiệu áp dụng đạo hàm cấp 1: Khi hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần hoặc giảm

dần từ 1,2,3,…,n hay n,…,3,2,1 tức là số hạng đó có dạng hoặc thì ta có

thể dùng đạo hàm cấp 1 để tính Cụ thể:

a) (1+x)n=

 [(1+x) n]′= ′

Đến đây thay x,a bằng hằng số thích hợp ta được tổng cần tìm.

Dấu hiệu áp dụng đạo hàm cấp 2: Khi hệ số đứng trước tổ hợp có dạng 1.2,2.3,…,

(n-1)n hay (n-1)n,…,3.2,2.1 hay 12,22,…,n2 (không kể dấu) tức là số hạng đó có dạng

hay tổng quát hơn thì ta có thể dùng đạo hàm đến cấp 2 đểtính Xét đa thức

Đến đây ta chỉ việc thay a,b,x bởi các hằng số thích hợp nữa thôi.

Một số lưu ý:

- Tùy thuộc từng bài mà thế số mũ n, giá trị x và một trong các công thức trên cho phù

hợp

- Nếu mất những số hạng đầu ( , ) ta sử dụng các công thức chứa (1+x) cho tổng

không đan dấu, còn nếu tổng đan dấu ta sử dụng các công thức chứa (1- x) - Nếu mất

những số hạng sau ( , ) ta sử dụng các công thức chứa (x+1) cho tổng không đan

dấu, còn nếu tổng đan dấu ta sử dụng các công thức chứa (1- x)

- Nếu mất một số hạng thì ta đạo hàm cấp 1, nếu mất 2 số hạng thì ta đạo hàm cấp 2

Ta sẽ bàn và phân tích kỹ cách áp dụng của phương pháp này trong từng bài toán cụ thể

đạo hàm hàm số đã chọn theo hai cách:

- Lấy đạo hàm trực tiếp hàm số đã cho

- Lấy đạo hàm sau khi đã sử dụng khai triển nhị thức Newton hàm số đã chọn

(Dĩ nhiên ở đây có dạng có thể dùng công thức khai triển nhị thức Newton)

-Với phép lấy đạo hàm, ta lựa chọn một giá trị phù hợp cho x, rồi thay vào hai biểu

Phân tích: do −1 đi kèm với lũy thừa, giữa các số hạng là dấu + nên ta xem như tổng

không đan dấu, chứa tổ hợp của n, mất Ta sử dụng (−1+x)n, đạo hàm cấp 1

1 Vế phải cũng chứa tổ hợp của n nhưng không đan dấu, mất nên ta sử dụng (1+x)n,

Bài 8: Chứng minh (n+4)2 n−1=2

Phân tích: tương tự như bài trên nhưng độ chênh lệch ở đây là 2 nên ta nhân

thêm x 2 trước khi đạo hàm

HD : Xét hàm số f(x)= (1+x)n

 Đạo hàm cấp một theo x, hai vế và suy ra x.f’(x) (1)

 Thay x bởi , ta được (2)

 Nhân (1) cho (2), ta thu được hệ số của số hạng không chứa x là đẳng thức chứng

minh

Bài 4:(CĐSP Bến Tre Khối A-2002) Chứng minh rằng:

Bài 5:(CĐ Khối T-M-2004)Chứng minh rằng :

Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân

Nếu trong tổng dãy tổ hợp, các số hạng chứa các phân số và mẫu số

được xếp theo thứ tự tăng hoặc giảm đều theo một quy luật nào đó, ta nghĩ ngay đến việc

sử dụng tích phân Khi đó, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm hàm để tính tích phân với các cận thích hợp

Bước 2: Lấy tính tích phân cả hai vế: vế chưa khai triển nhị thức Newton và vế đã khai

triển

Bước 3: Cho hai kết quả bằng nhau và kết luận

Ta sẽ tìm hiểu về phương pháp cơ bản (dùng tích phân hàm đa thức) và các phương pháp

bổ sung: Như nhân thêm x,x2, (tất nhiên các phương pháp Truy hồi tích phân hay là

Dựa vào tích phân cho trước tôi xin phép sẽ không đề cập ở bài viết này do khuôn khổ

của SKKN).

Trước khi đi vào các bài toán cụ thể, ta cần nhớ các đẳng thức tích phân sau:

Tiếp theo ta nghiên cứu các bài toán cụ thể theo cách chia dạng sau:

2.2 Bài tập

Phương pháp 1: Xét tích phân dựa vào hàm đa thức.

Bài 1:

Tính: 2

Phân tích: tổng không đan dấu, có chứa phân số (dấu hiệu sử dụng tích phân), quan sát

số hạng cuối có hệ số , ta biết cận từ 1 đến 3 Nên ta sử dụng

Lưu ý: khi tính giá trị tích phân có gắn tổ hợp ta nên tách riêng từng tổ hợp một như trên

quan sát hệ số của số hạng cuối ta lấy cận từ 0 đến 2, tức là

Bài 3 (ĐH Khối B-2003)

Cho Tính tổng:

Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, mẫu số được xếp theo thứ tự tăng đều một đơn

vị, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân Bây giờ, ta suy nghĩ hàm lấy tích phân, các

cận và số được thay vào cho biến Vì số hạng cuối cùng có hệ số nên ta biết cận

từ 1 đến 2 và tổng không đan dấu nên ta sử dụng

Phương pháp 2: Nhân thêm x,x2, ( Các phương pháp bổ sung).

Thông thường sau khi lấy tích phân hệ số chứa Nếu bài cho những hệ số

dạng ta phải nhân thêm x trước khi lấy tích phân, còn dạng ta nhân

thêm x2 trước khi lấy tích phân,…

Bài 1:

Phân tích: tổng không đan dấu, độ chênh lệch so với dạng cơ bản là 1 nên ta nhân

thêm x trước khi tích phân.

HD: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân.

Tổng không đan dấu, ta sử dụng

Bài 2 (ĐH Giao thông Vận tải - 1996)

Cho Chứng minh rằng:

HD: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân Vì số hạng

cuối cùng có hệ số nên ta biết cận từ 0 đến 2 và tổng đan dấu nên ta sử dụng

Bài 3:

1/Tính tích phân

2/Chứng minh:

3 SỬ DỤNG CÔNG CỤ SỐ PHỨC TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP

3.1 Phương pháp

Các dấu hiệu nhận biết khi nào thì dùng số phức để tính tổng của các

Đây là vấn đề lớn nhất cần chú ý cho học sinh Ta dùng số phức để tính tổng của các

khi tổng này có hai đặc điểm:

+ Các dấu trong tổng xen kẽ đều nhau

+ k luôn lẻ, hoặc luôn chẵn hoặc khi chia k cho một số ta luôn được cùng một số dư

(trong chương trình phổ thông ta chỉ cho HS làm với k = 3l, k = 3l + 1, k = 3l + 2)

Lưu ý

+ Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp (thường ta chọn là

x = i) So sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính

+ Khai triển trực tiếp các số phức (thường chỉ xét các số phức có argument là ,

, ) Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách

tính

+ Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những số phức

thích hợp (thường ta chọn là x = i) Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của cùng một số

phức trong hai cách tính

Điều quan trọng là phải quan sát tổng cần tìm có những đặc điểm gì để lựa chọn một

trong các cách trên Chủ yếu là căn cứ vào hệ số của các trong tổng Để nói chi tiết

được điều này đòi hỏi phải có lượng lớn những nhận xét, sẽ vượt quá khuôn khổ cho

phép của một đề tài sáng kiến kinh nghiệm Tôi chỉ đưa ra một số ví dụ minh hoạ cho

một vài dạng hay gặp, qua đó người đọc sẽ trả lời được câu hỏi cho mình

So sánh phần ảo của 20 trong hai cách tính trên ta có:

Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)25 Đạo hàm hai vế hai lần, sau đó cho x = i So sánh

phần thực và phần ảo của hai số phức bằng nhau

4) Tính tổng sau S =

IV Hiệu quả của SKKN

Như tôi đã nói ở trên, việc áp dụng đề tài này đối với học sinh lớp 12C1 và 12C3, đã thu

được kết quả như sau (kết thúc học kì 2 năm học 2012-2013)

Lớp Sỉ số Đạt diểm dưới

5 Tỉ lệ Đạt diểm trên5 Tỉ lệ

Như vậy, qua việc áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy, điều không nằm ngoài dự đoán

của tôi là kết quả của các em học sinh đã được nâng lên đáng kể

Quan trọng hơn học sinh đã cảm thấy tự tin với loại toán này, tạo được niềm tin và sự

hứng thú cho các em trong học tập

C Kết luận:

Qua thời gian viết SKKN và vận dụng chuyên đề này vào giảng dạy, tôi nhận thấy việc

làm này đã thu được kết quả đáng kể từ phía các em học sinh Đây thực sự là một công cụ

hữu hiệu, giúp học sinh giải quyết bài toán nhanh, gọn và chính xác Đồng thời các em đã

có được cái nhìn tổng thể về cách giải quyết bài toán này Điều này phần nào tạo cho các

em học sinh có được tâm thế tốt khi sắp bước vào các kỳ thi quan trọng.

Qua việc ứng dụng đề tài này vào giảng dạy cho học sinh, tôi nhận thấy đây là một

chuyên đề có thể tiếp tục áp dụng cho các năm tiếp theo, đặc biệt rất phù hợp với đối

tượng là học sinh khá, giỏi Tất nhiên là phải tiếp tục hoàn thiện đề tài này hơn nữa

Bài học kinh nghiệm được rút ra từ quá trình áp dụng SKKN của tôi là:

Phải thường xuyên học hỏi trau rồi chuyên môn để tìm ra phương pháp dạy học phù hợp

Người Thầy phải nhiệt tình, gương mẫu, làm cho các em thấy được tinh thần nghiêm túc

và hăng say nghiên cứu khoa học của mình, có vậy học sinh mới noi gương Thầy quyết

tâm và ham mê học tập, từ đó để các em không cảm thấy áp lực trong học tập

Triếp theo là, thường xuyên tạo ra tình huống có vấn đề, kích thích sự tìm tòi học tập ở

học sinh

Loại toán dùng công cụ đạo hàm, tích phân và số phức còn rất nhiều dạng, nhưng trong

tài liệu này tôi chỉ trình bày một phần nhỏ Trong quá trình thực hiện đề tài, tôi đã nhận

được những góp ý quý báu của các đồng nghiệp, Song

do thời gian nghiên cứu và ứng dụng chưa dài, nên đề tài của tôi không tránh khỏi còn

nhiều hạn chế Rất mong tiếp tục nhận được sự đóng góp khác từ phía đồng nghiệp để tôi

có thể hoàn thiện hơn đề tài của mình