1, Tính thể tích khối chóp.. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và CF.. Tìm hệ số của x trong khai triển.. Luong Viet Hai - THPT Tuy Phong suu tam.
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2011 – 2012
MÔN: TOÁN KHỐI A
Thời gian làm bài: 180 phút
CÂU I ( 2 điểm): Cho hàm số: 2 1
1
x
y
x
-
= + (C)
1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2, Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận của (C). Tìm m để đường thẳng (d): y=x+ m cắt (C) tại 2 điểm
phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 4.
CÂU II ( 2 điểm):
2 1 sin 1 tan
sin cos
x
-
+
2, Giải hệ phương trình: { 4
2 2
5 6
5 6
x y
x y x
+ = + = , ( x y, Î R )
CÂU III ( 1 điểm): Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt thuộc [ ] 0; 2 :
4x + - 4 m 2x - = 1 0
CÂU IV ( 2 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có góc ÐBAC = 60 0 ; AB = a;
AC = 4a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy; SD tạo với đáy góc 0
45
1, Tính thể tích khối chóp.
2, Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC và SD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và CF.
CÂU V ( 1 điểm):Cho a, b, c là 3 số thực dương thoả mãn: abc ³ 1 . Chứng minh rằng:
CÂU VI ( 1 điểm):
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho 3 đường thẳng d1 :x+ 2y - = ; 6 0 d2 :x+ 2y = 0 và d3 : 3x-y - = 2 0
Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d3, cắt d1 tại A và B, cắt d2 tại C và D sao cho tứ giác
ABCD là hình vuông.
CÂU VII ( 1 điểm):
3x+ 1 n =a +a x+a x + +a x k k + + a x n n , ( k n, ÎN; 0 £k£ 2 n )
Biết rằng: a0-a1+a2- + -( ) 1 k a k + +a 2 n = 4096 . Tìm hệ số của x trong khai triển. 8
GV Luong Viet Hai - THPT Tuy Phong (suu tam)
Trang 2ĐÁP ÁN, THANG ĐIỂM THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1
TXĐ: D = R\ 1 { }
limy = 2
x® ¥ ± ÞĐồ thị hàm số có tiệm cận ngang: y = 2
limy =
+
x 1
limy = +
x 1
ü
ï
ý
ï
ï
¥
¥
®
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng: x = 1
3
y = > 0, x D
2 x+1
¢ " Î Þ Hàm số luôn đồng biến trên ( ;1 ; 1;+ ¥ ) ( ¥ )
và không có cực trị
Bảng biến thiên:
y’
Đồ thị:
Giao Ox tại: 1 ;0
2
; Giao Oy tại (0; 1)
5
5
x
y
0,25
0,25
0,25
0,25
Phương trình hoành độ giao:
= x + m x + m 1 x + m + 1 = 0
(d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi pt(1) có 2 nghiệm phân biệt
Trang 3m > 3 + 2 3
2
Δ = m 6m 3 > 0
m < 3 2 3
é
ê
ê
Gọi A x ; x + m ; B x ; x + m , x( ) ( ) ( x )
AB = 2 x x2 1 = 2é x + x1 2 4x x 1 2 ù
Theo Viet:
x + x = 1 m
1 2
x x = m + 1
1 2
ì
ï
í
ï
AB = 2 m 6m 3
Þ
I là giao điểm của 2 tiệm cận Þ I 1;2 ( )
m 3
I,AB I,d 2
2
m 3 m 6m 3
1
Þ
D
S = 4 m 3 m 6m 3 = 64
m 3 m 3 12 = 64
m 3 12 m 3 64 = 0
2
m 3 = 4 m = 7 (t/m)
2 m = 1 (t/m)
m 3 = 16
é
é
ê
ê
ê
ê
ê
Û
Û
Vậy: m = 7; m = 1 là các giá trị phải tìm.
0,25
0,25
0,25
0,25
Đk: cosx 0 sinx + cosx 0
ì
í
ï
¹
¹ Khi đó, pt tương đương: 2 1+sinx( ) 1 = cosx1
2 sinx+cosx cos x
=
1 sinx sinx + cosx sinx + cosx + sinxcosx + 1 = 0
Û
Û
( sinx+1 cosx+1 = 0 )( )
Û sinx = 1 cosx = 1
é
Û ê
ë
x = π + k2π
Û
0,25
0,25 0,25 ( loại )
( t/m )
Trang 4Trừ từng vế của 2 phương trình ta được:
2
x = y
x y x x + y 5 = 0 5x
y =
x
é
ê
ê
*) Với: x = y, thay vào pt(1) ta có: x 4 + 5x – 6 = 0
x 1 x + 2 x x + 3 = 0
x = 1 y = 1
x = 2 y = 2
Û
Þ
é
ë
*) Với:
3
2
5 x y=
x , thay vào pt(1) ta có:
3
x + = 6 x + + 5x = 6 (*)
Từ (2)
2 2
Lại có: 4 25 25 3 625
Cộng từng vế của 2 bất đẳng thức (a) và (b) suy ra: VT(*) > 6 Þ (*) vô
nghiệm
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm (x ; y) = (1 ; 1); (2; 2).
0,25
0,25
0,25
0,25 Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt Î [ 0 ; 2 ] 1 Đặt: x [ ]
2 =t, tÎ 1 ; 4
Pt trở thành: t +4=m t1 2
t = 1 không là nghiệm của pt. Do đó pt tương đương:
2
t + 4
= m (1)
t 1
Pt đã cho có 2 nghiệm phân biệt Î [ 0 ; 2 ] khi và chỉ khi pt(1) có 2 nghiệm
phân biệt Î ( 1 ; 4 ]
Xét: ( )
2
t + 4
f t =
t 1 trên (1 ; 4]
2
3t 4t 4
f (t) =
(t 1) t 1
¢
t = 2
f (t) = 0 2
t =
3
é
ê
ê
ë Bảng biến thiên:
0,25
0,25
Trang 5t 1 2 4
f(t) +¥
20
3
8
Từ bảng biến thiên suy ra: 8 < m 20
3
£ là các giá trị cần tìm
0,25
0,25 Hình học không gian
Ta có: (SAB) (ABCD) SA (ABCD)
(SAC) (ABCD
ý
SDA
Þ Ð là góc giữa SD và (ABCD)
0
SDA = 45
Þ Ð
Trong ΔABC có:
BC = AB + AC 2AB.ACcos Ð BAC
2
= 13a Þ AD = BC = a 13
Trong tam giác SAD vuông tại A, ta có:
SA = ADtan( SDA) = a 13 Ð
2
S = 2S = AB.ACsin(BAC) = 2a 3
3
Þ
2, Tính khoảng cách giữa DE, CF
0,25
0,25 0,25
0,25
1 Trong mp(ABCD), dựng CI // ED ( IÎ AD ) Þ ED // (CFI)
Þ
Gọi H là trung điểm của AD Þ D là trung điểm HI Þ d(D,(CFI)) = d 1 (H,(CFI))
2
Hạ HK vuông góc với CI tại K; HJ vuông góc với FK tại J
Ta có:
FH // SA ÞFH^(ABCD)ÞFH^CIÞCI^(FHK)Þ(FCI)^ (FHK)
(H,(FCI))
HJ (FCI) HJ = d
Ta thấy: SΔHCI = S1 ABCD = a2 3
2
ΔHCI
2S
HK =
CI
Þ
Ta có:
CI = DE = DE +CD 2DE.CD.cos(BCD) =
2
0,25
0,25
S
A
D
E
F
H
K
Trang 64a 3
HK =
13
Þ
HF = SA =
Trong tam giác FHK vuông tại H, có:
( D,(CFI) )
Vậy: d(DE, CF) = 2a 39
19
0,25
0,25
Ta có: a+1+ 1 +3( a+1 1+) 3( a+1 ) a+ 1 3 ( a+1) 0
Tương tự: b+ 1 3 ( b+1) 0
b+1³ 4 >
( )
1 3 c+ c+1 >0
c+1³ 4
0,5
0,25
0,25
Gọi I(a; 3a – 2)
Vì ABCD là hình vuông Þ d(I, AB) = d(I, CD) = d
Bán kính: R = d 2 = 3 2
5
Þ pt(C): ( x 1 + y 1 = ) 2 ( ) 2 18
5
0,25
0,25 0,25
0,25
3x + 1 = a + a x + a x + + a x + + a x
Thay x = 1, ta có: (2) 2n = a0 – a1 + a2 … + (1) k ak +…+ a2n
Từ giả thiết suy ra: (2) 2n = 4096 Þ n = 6
Với n = 6, ta có khai triển:
1+3x =C + C (3x) + C (3x) + + C (3x)
Þ Hệ số của x 8 trong khai triển là: C 3 12 8 8
0,25 0,25
0,25 0,25
C
D
I d
