(SKKN HAY NHẤT) ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán quen thuộc

Đặt vấn đề:Trong việc dạy học Toán ở trường THPT: Cùng với việc hình thành cho học sinhmột hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lý … ; thì việc giải các bài toán có tầm quan trọng

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

“ÔN TẬP HÌNH HỌC THÔNG QUA VIỆC KHAI THÁC MỘT

BÀI TOÁN”

I Đặt vấn đề:

Trong việc dạy học Toán ở trường THPT: Cùng với việc hình thành cho học sinhmột hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lý … ; thì việc giải các bài toán có

tầm quan trọng đặc biệt và là một trong những vấn đề trọng tâm của phương pháp dạy

học Toán ở trường phổ thông Đối với học sinh THPT có thể coi việc giải bài toán là

một hình thức chủ yếu của việc học toán Trong quá trình giảng dạy, tôi thấy rằng

sách giáo khoa được biên soạn khá công phu, sắp xếp hệ thống kiến thức khoa

học Hệ thống bài tập đa dạng, số lượng bài tập ở trong sách giáo khoa đã đủ với

tất cả học sinh Tuy nhiên chúng ta có thể hướng dẫn các em “khai thác phát

triển” thành những bài toán hay hơn đa dạng hơn…Làm như vậy sẽ góp phần

quan trọng trong việc nâng cao năng lực tư duy cho học sinh, kích thích sự tìm tòi

sáng tạo phát huy được khả năng tư duy cho học sinh Đứng trước một bất cứ hệ

thống kiến thức toán học nào, nếu người giáo viên biết khéo léo khai thác thì đều có

thể rèn luyện tư duy cho học sinh một cách có hiệu quả Tuy nhiên do thời gian hạn

chế nên trong phạm vi SKKN này tôi chỉ đi sâu vào nghiên cứu việc: “ÔN TẬP HÌNH

HỌC THÔNG QUA VIỆC KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN QUEN THUỘC” Trong

sáng kiến kinh nghiệm này tôi phân loại theo các câu hỏi theo từng dạng chủ điểm của

hình học không gian lớp 11 và lớp 12 với mục đích ôn tập

II Giải quyết vấn đề:

Đề bài: Cho hình chóp

SABCD có đáy ABCD là hình

vuông tâm O cạnh a SA

(ABCD), SA= Gọi H, I,

K lần lượt là hình chiếu vuông

J

N M

P Q

ÔN TẬP 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 - 10

1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho vuông ở A ta có :

c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài xrộng

d/ Diên tích hình thoi : S = (chéo dài

x chéo ngắn)e/ Diện tích hình thang : (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao

f/ Diện tích hình bình hành : S = đáy xchiều cao

g/ Diện tích hình tròn :

* Các câu hỏi liên quan:

Bài 1 Tính độ dài các cạnh:

1) SB, SC, SD, SO

2) SH, SI, SK3) AK, AH, AI, BJ, DJ

4) AQ, OM, OQ, OJ

OQ là đường trung bình tam giác SAC nên

Tam giác BJD cân tại J (SBC=SDC), JO là đường trung tuyến nên JOBD

4) Diện tích hình tròn ngoại tiếp hình vuông:

Diện tích hình tròn nội tiếp hình vuông:

ÔN TẬP 2 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11

A.QUAN HỆ SONG SONG

§1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

1 Định nghĩa:

Đường thẳng và mặt

phẳng gọi là song song

với nhau nếu chúng

không có điểm nào

ĐL2: Nếu đường

thẳng a song song với

mp(P) thì mọi mp(Q)

chứa a mà cắt mp(P)

thì cắt theo giao tuyến

song song với a

d a (Q)

tuyến của chúng song

song với đường thẳng

đó

a d

Q P

* Các câu hỏi liên quan:

Bài 3 Chứng minh các đường thẳng song song:

1) PN//AB//CD 2)MO//AD//BC 3) QP // SB

4) MN//BD 5) KH//BD 6)OJ//AI

Bài 4 Chứng minh các đường thẳng song song với mặt phẳng:

1) PN là đường trung bình của hình vuông ABCD nên PN//AB//CD

2) MO là đường trung bình của hình vuông ABCD nên MO//AD//BC

3) QP là đường trung bình của SBC nên QP // SB

4) MN là đường trung bình của ABD nên MN//BD

5) ( , SB=SD) suy ra HK//BD

6) OJ//AI (cùng vuông góc với SC, OJ vuông góc với SC bằng định lý Talet (tính độ

dài các đoạn thẳng tỷ lệ bằng hệ thức lượng trong tam giác vuông) hoặc sử dụng kiến

2) MO// (SAD), MO // (SBC) BC // (OQM)//AD (vì MO//AD),

Hai mặt phẳng được gọi

là song song với nhau

Q P

Q P

* Các câu hỏi liên quan:

Bài 6 Chứng minh hai mặt phẳng song song:

1) (OQM)//(SAD) 2) (QNP) // (SAB) 3)(AKH) // (JBD)

Giải 1) (OQM)//(SAD)

2) (QNP) // (SAB)

3)(AKH) // (JBD)

Ta chứng minh HI// BJ và DJ//IK bằng định lý Talet (tính độ dài các đoạn thẳng tỷ lệ

bằng hệ thức lượng trong tam giác vuông)

(ta có thể chứng minh 2 mặt phẳng này song song do cùng vuông góc với SC ở phần

2) Mặt phẳng qua MN và song song với SA

Bài 8 a) T là 1 điểm di động trên cạnh SA Mặt phẳng (P) di động luôn đi qua QT và

song song với BC Tìm thiết diện của (P) và hình chóp

b) Xác định vị trí điểm T để thiết diện là hình bình hành

c) Tìm tập hợp giao điểm của 2 cạnh đối của thiết diện khi T di động trên cạnh SA

Bài 9.Một mặt phẳng (P) di động luôn song song với mp(SBD) và đi qua điểm T di

động trên đoạn OC

a) Xác định thiết diện của hình chóp với (P)

b) Tính diện tích thiết diện theo a và x = CT

Giải Bài 7 1) () là (NPQ)

R

OQ//SA (đường trung bình)

Từ N kẻ NR//SA (R thuộc SD) suy ra R là trung điểm SD QR//CD//NP Thiết diện

Q

P

R T

Kẻ MT// SA (TSB)

Kẻ NR// SA (RSD)

Q

X

Thiết diện là hình thang QRTV

b) Hình thang QRTV là hình bình hành  QR=TV  T là trung điểm

V R

U

ĐL2: (Ba đường vuông

* Các câu hỏi liên quan:

Bài 10 Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

1) BC  (SAB) 2) CD  (SAD) 3) AH  (SBC)

4) AK  (SCD) 5) SC  (AHK) 6) BD  (SAC)

7) SC  (AIK) 8) HK  (SAC) 9) OM  (SAB)

10) ON  (SAD) 11) BC  (OPQ) 12) AB  (OMQ)

1) BC  AB (g/t hình vuông), BC  SA (SA  (ABCD),BC  (ABCD))  BC 

(SAB)2) CD  AD (g/t hình vuông), CD  SA (SA  (ABCD),CD  (ABCD))  CD 

(SAD)3) AH  SB (gt), AH  BC (BC  (SAB) (câu 1))  AH  (SBC)

4) AK  SD (gt), AK  CD (CD  (SAD) (câu 2))  AK  (SCD)

5) AH  (SBC) (do câu 1)  AH  SC,AK  (SCD) (do câu 2)  AK  SC SC

 (AHK)6) BD  AC (g/t hình vuông), BD  SA (SA  (ABCD),BD  (ABCD))  BD 

(SAC)7) AK  (SCD) (do câu 2)  AK  SC, AI  SC (GT)  SC  (AIK)

8)  SAB =  SAD (c.g.c)  SB = SD và , AH  SB và AK  SD (cmt) 

có  SAH =  SAK (cạnh huyền, góc nhọn)  SH = SK   HK // BD.Mặt

khác ta lại có BD  (SAC) (câu 6) nên HK  (SAC)

9) OM là đường trung bình của tam giác ABC nên OM // BC, BC  (SAB) (cmt)

OM(SAB)

10) ON là đng trung bình của tam giác ABD nên ON// AB //CD, CD  (SAD) (cmt)

OQ và PQ lần lượt là các đường trung bình của các tam giác SAC và SBC nên đồng

thời có OQ // SA VÀ PQ // SB  (OPQ) // (SAB) mà BC  (SAB) (câu 1)  BC 

(OPQ)

12) AB  AD (gt hv), AB  SA (SA  (ABCD)  AB  (SAD)

OQ và OM lần lượt là các đường trung bình của các tam giác SAC và ABC nên

đồng thời có OQ // SA VÀ OM // BC//AD  (OMQ) // (SAD) lại có AB  (SAD)

(cmt)  AB  (OMQ)

13) AD  AB (gt hv), AD  SA (SA  (ABCD)  AD  (SAB)

OQ và ON lần lượt là các đường trung bình của các tam giác SAC và ABD nên

đồng thời có OQ // SA VÀ ON//AB  (ONQ) // (SAB) lại có AD  (SAB) (cmt) 

AB  (OMQ)

14) SC  (AHK) (câu 5))  A,H,I,K đồng phẳng  (AHIK)  SC  SC  IH

Trong mp (SBC) có HI  SC, BJ  SC  BJ // HI, lại có BD // HK  (JBD) //

(AHIK), ta lại có (AHIK)  SC (cmt) nên SC (JBD)

Bài 11 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

1) BC  (SAB) (câu 10.1), SB  (SAB)  BC  SB

2) CD  (SAD) (câu 10.2), SD  (SAD)  CD  SD

3) BD  (SAC) (câu 10.6), SO  (SAC)  BD  SO

4) BD  (SAC) (câu 10.6), SC  (SAC)  BD  SC

5) AH  (SBC) (câu 10.3), SC  (SBC)  AH  SC

a

* Các câu hỏi liên quan:

Bài 12 Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

1) (SBC)  (SAB) 2) (SCD)  (SAD) 3) (AHK)  (SBC)

4) (AHK)  (SCD) 5) (SBD)  (SAC) 6) (AHK) (SAC)

7) (OQM) (SAB) 8) (OQN) (SAD) 9) (OPQ)  ((SBC)

10) (SAC)  (JBD) 11) (SBC)  (JBD) 12) (SCD) (JBD)

Giải

Bài 12 Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

1) BC  (SAB) (câu 10.1), BC  (SBC)  (SBC) (SAB)

2) CD  (SAD) (câu 10.2), CD  (SCD)  (SCD) (SAD)

3) AH  (SBC) (câu 10.3), AH  (AHK)  (AHK) (SBC)

4) AK  (SCD) (câu 10.4), AK  (AHK)  (AHK) (SCD)

5) BD  (SAC) (câu 10.6), BD  (SBD)  (SBD) (SAC)

6) SC  (AHK) (câu 10.5), SC  (SAC)  (AHK) (SAC)

7) OM  (SAB) (câu 10.9), OM  (OQM) (OQM) (SAB)

8) ON  (SAD) (câu 10.10), ON  (ONQ) (ONQ)  (SAD)

9) BC  (OPQ) (câu 10.11), BC  (SBC)  (OPQ)  (SBC)

10) SC  (JBD) (câu 10.14), SC  (SAC)  (SAC)  (JBD)

khoảng cách giữa hai điểm M và H,

trong đó H là hình chiếu của điểm M

trên đường thẳng a (hoặc trên

P

2 Khoảng cách giữa đường thẳng

và mặt phẳng song song:

Khoảng cách giữa đường thẳng a và

mp(P) song song với a là khoảng

cách từ một điểm nào đó của a đến

4.Khoảng cách giữa hai đường

* Các câu hỏi liên quan:

1) CB  (SAB) (câu 10.1)  d(C,(SAB) = CB = a.

2) CD  (SAD) (câu 10.2)  d(,(SAD) = CD = a

3) AH  (SBC) (câu 10.3)  d(A,(SBC) = AH

4) AK  (SCD) (câu 10.4)  d(A,(SCD) = AK

5) (SAC) (SBD) (câu 12.5) (SAC)  (SBD) = SO, hạ AE  SO  AE  (SBD)

 SAO vuông tại A nên có 

d(A,(SBD) = AE =

6) OM  (SAB) (câu 10.9)  d(O,(SAB) ) = OM =

7) ON  (SAD) (câu 10.10)  d(O,(SAB) ) = ON =

8) (OPQ)  ((SBC) (câu 12.9), (OPQ)  ((SBC) = PQ, OPQ vuông tại O nên hạ AF

 PQ thì AF  (SBC)  d(O,(SBC) ) = AF

, 9) Dễ thấy d(O,(SCD) = d(O,(SBC) =

10)  Câu 10.1 có được BC  (SAB)  (SBC)  (SAB) mà (SAB)  (SBC ) = SB

Trong mặt phẳng (SAB) có AH  SB  (SAB)  (SBC)  AH  SC

 Câu 10.2 có được CD  (SAD)  (SCD)  (SAD) mà (SAD)  (SCD ) = SD

Trong mặt phẳng (SAD) có AK  SD  (SAD)  (SCD)  AK  SC

 AK  (AHK)

 SC  AK, SC  AI  SC (AKI)  SC  (AHK ) = I  d(S, (AHK) ) = SI

 Tam giác SBC vuông tại B, tam giác SHI vuông tại I, hai tam giác này đồng dạng

1) Ta có AI  SC (gt)  SAC vuông tại A nên hạ 

Vậy d(A,SC) = AI =

2) Vì O là trung điểm AC nên d(O,SC ) =

3) SO =  d(O,SB) =

4) d(O,CD) = d(O,SB) =

Bài 15 Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng

1) AD// BC (gt hình vuông) (SBC) //AD  d(AD,SC) = d(A, (SBC)) = AH =

(Câu 10.3)2) AB // CD  (SCD) // AB  d(AB,SC) = d(A, (SCD)) = AK =

3) AB  SA,AB  BC nên d(BC,SA) = AB = a

4) AD  SA,AD  CD nên d(CD,SA) = AD = a

5) NP//AB SO  (SNP) //AB  d(AB,SO) = d(A, (SNP))

 Hạ AN’ SN,NP // CD mà DC  (SAD) nên NP  (SAD)  AN’ NP  AN’ 

7)BC//AD  BC // (SAD ) chứa SD d(BC,SD ) = d(BC,(SAD) = d(C,(SAD) ) = CD

= a

8)AD// BC (gt hình vuông) (SBC) //AD  d(AD,SB) = d(A, (SBC)) = AH

(Câu 10.3)

§4.GÓC

1 Góc giữa hai đường thẳng a và b

là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’

cùng đi qua một điểm và lần lượt

cùng phương với a và b

b' b

a' a

2 Góc giữa đường thẳng a không

là góc giữa hai đường thẳng lần lượt

vuông góc với hai mặt phẳng đó

Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng

nằm trong 2 mặt phẳng cùng vuông

góc với giao tuyến tại 1 điểm

b a

Q P

P Q

4 Diện tích hình chiếu: Gọi S là

diện tích của đa giác (H) trong mp(P)

và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của

S

* Các câu hỏi liên quan:

Bài 16 Tính góc giữa 2 đường thẳng

1 2.

Bài 17 Tính góc giữa 1 đường thẳng và 1 mặt phẳng

1) SB; (ABCD) 2) SC; (ABCD) 3) SD; (ABCD)

4) SO; (ABCD) 5) SC; (SAB) 6) SC;(SAD)

7)SO;(SAB) 8)SO;(SAD) 9) SA;(SCD)

10)SA;(SBC)

Bài 18 Tính góc giữa 2 mặt phẳng

1) (SBC); (ABCD) 2) (SCD); (ABCD) 3) (SBD); (ABCD)

4) (SBC); (SAB) 5) (SCD); (SAD) 6) (SCD); (SAB)

7) (SBC); (SCD) 8) (SBD); (SCD) 9) (SBD); (SBC)

Bài 19 Các câu hỏi mang tính tổng hợp

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a SA (ABCD), SA

= Gọi H, I, K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD và J là

hình chiếu của B trên SC Chứng minh rằng

1) AH,AK,AI cùng nằm trên một mặt phẳng

2) Tứ giác AKIH có hai đường chéo vuông góc

3) Tính diện tích thiết diện cắt hình chóp bởi mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC

4) Tính diện tích thiết diện cắt bởi hình chóp và mặt phẳng đi qua BD và vuông góc

với SC tại J

5) Giả sử các mặt phẳng (ASB),(ASD) và (ABD) lần lượt tạo với mặt phẳng (SBD)

các góc a,b,c Chứng minh rằng:

Giải Bài 16 Tính góc giữa 2 đường thẳng

1) SABC nên

2)

Bài 17 Tính góc giữa 1 đường thẳng và 1 mặt phẳng

1) SA  (ABCD) (gt)  AB là hình chiếu của SB trên (ABCD)

5) BC  (SAB)  SB là hình chiếu của SC trên (SAB) 

6) CD  (SAD)  SD là hình chiếu của SC trên (SAD) 

7) OM  (SAB)  SM là hình chiếu của SO trên (SAB) 

, OM = ,SM = 8) ON  (SAD)  SN là hình chiếu của SO trên (SAD) 

, OM = ,SN=

9) AK  (SCD)  SK là hình chiếu của SA trên (SCD) 

, SK= ,AK = 10) AH  (SBC)  SH là hình chiếu của SA trên (SBC) 

Lại có AK SD, AK  CD(do CD (SAD)) AK  (SCD) (1)

7) SA (ABCD)  SA  AD, AD AB  AD  (SAB)(2)

Bài 19 Các câu hỏi mang tính tổng hợp

1)Trong bài 10 từ câu 1),2) 3),4) cho ta kết luận SC  AH, SC  AK nên SC 

(AHK )

 Từ giả thiết ta cũng có SC  AK, SC  AI  SC  (AKI), qua A chỉ có một mặt

phẳng duy nhất vuông góc với SC vậy (AKH )  (AKI)  AH,AK,AI cùng nằm trêm

mặt phẳng qua A và vuông góc với SC

2) Ta đã chứng minh được  SAB =  SAD  SB = SD và sau đó chứng

minh được  SHA =  SKA  SH = SK  HK // BD

Đã chứng minh BD  (SAC) nên HK  (SAC), AI  (SAC) HK  AI

3)Vì qua A chỉ có mặt phẳng duy nhất vuong góc với SC nên (AHK)  SC = I vậy

thiết diện chính là tứ giác AKIH

SB = SD = 2a, SH = SK = , SC = , SI = ,BD = ,

Có diện tích

4) Diện tích thiết diện JBD là tổng diện tích hai tam giác JOB và JOD

Mà OJ = , vậy

5) a) Ta đã biết AE  (SBD)

Xét phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (SBD) ta có

Mặt khác lần lượt xét các phép chiếu vuông góc lên các mặt phẳng (SAB),(SAD),

(ABD) ta có

Thế vào hệ trên ta có Cộng các vế của hệ cuối ta được

b) Từ câu a) và hệ (1’),(2’),(3’) ta có

Cộng các vế và do kết quả câu a) ta có

B h

ÔN TẬP 3 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12

C B

10) Gọi G là giao điểm của BN và AC Tính VQ.AGB

11) Lấy T tùy ý trên BC Tính V S.ATD

Bài 21

1) Tính diện tích BCIH

2) Tính khoảng cách từ O đến các mặt bên

Bài 22 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD)

và SA = 2a.Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM = x (0< x ≤ a )

Nếu MH  AC tại H.Tìm vị trí của M để thể tích khối chóp SMCH lớn nhất.

Giải Bài 20 Tính thể tích hình chóp

Bài 22 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA(ABCD) và

SA=a Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho AE = x (0< x ≤ a )

1) Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SAC)

2) Nếu ME  AC tại F Tìm vị trí của M để thể tích khối chóp S.ECF lớn nhất

1) Hạ EF  AC, do SA  (ABCD) và EF (ABCD) nên SA  EF  EF  (SAC)

d(E, (SAC)) = EF EF // OD

Vậy thể tích của khối chóp S.EFC lớn nhất bằng khi và chỉ khi

C MẶT CẦU - KHỐI CẦU

1 Định nghĩa

 Mặt cầu:  Khối cầu:

2 Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp

Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện: Tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt

cầu

3 Diện tích – Thể tích

Diện tíchThể tích

* Các câu hỏi liên quan:

Bài 24 Xác định tâm và bán kính mặt cầu trong các trường hợp dưới đây Tính

diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.

1) Mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S.ABCD

2) Mặt cầu đi qua năm điểm S, O, A, J, B

3) Mặt cầu đi qua bảy điểm A, B, C, D, H, I, K

Giải Bài 23.

B C

S

O Q

1) Ta có SAC, SBC, SDC là các tam giác vuông có cạnh huyền là SC

 SQ=QC=QA=QB=QD  Q là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Bán kính

N M

2) Gọi E là trung điểm SB Ta có SAB, SOB, SJB là các tam giác vuông có cạnh

huyền là SB  ES=EB=EA=EO=EJ  J là tâm mặt cầu di qua năm điểm S, O, A, J,

B

Bán kính

3) Ta có AH  (SBC) (câu 10.3)  AH  HI  AHI vuông tại H

AK  (SCD) (câu 10.4)  AK  KI  AKI vuông tại K

Gọi U là trung điểm AI  UO // SC (UO đường trung bình ACI)

Mà (AIK) SC (câu 10.7) UO(AHKI)

Mặt khác U là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHKI  đường thẳng UO là

tập hợp các điểm cách đều 4 điểm A, H, K, I  OA=OH=OK=OI (1)

Mà OA=OB=OC=OD (O là tâm hình vuông ABCD) (2)

(1) và (2)  O là tâm mặt cầu đi qua bảy điểm A, B, C, D, H, I, K Bán kính