Sử dụng mô hình hoá toán học trong chương trình toán phổ thông để nâng cao khả năng giải quyết vấn đề cho người học

131 Sử dụng mô hình hoá toán học trong chương trình toán phô thông để nâng cao khả năng giải quyết vấn đề cho người học...---:--ccccscccccrrrceee 139 Sử dụng nghiên cứu bài học để nâng

RITALIA RATLIAA AIT ALIA, LI = TRUONG BAI HOC SU PHAM HUE

ISSN 1859-1612

Hue University's College of Education

et Gav

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ GIÁO DỤC TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐẠI HỌC HUE

TONG BIEN TAP:

PHO TONG BIEN TAP:

THUONG TRUC:

THU KY TOA SOAN:

CAC UY VIEN:

Ban Bién tap

Khoa hoc Tự nhiên - Công nghệ

PGS TS Ngô Đắc Chứng

TS Nguyễn Văn Bình

ThS Nguyễn Trọng Chiến

TS Trịnh Đình Chính

PGS TS Lê Văn Hạp

PGS TS Doan Thé Hiéu

TS Bién Van Minh

PGS TS Tran Céng Phong

TS Nguyén Van Thuan

ThS Nguyễn Thanh Tiên

TS Võ Tình

HỘI ĐÔNG BIÊN TẬP

PGS TS Lê Văn Anh

PGS TS Ngô Đắc Chứng

TS Nguyễn Thám

TS Trần Vui

TS Lé Van Tin

PGS TS Tran Céng Phong PGS TS Tran Vinh Tuong

TS Tôn Thất Dụng

PGS TS Lê Công Triêm

ThS Lê Đình

TS Trịnh Đình Chính

Ban Biên tập

Khoa học Xã hội và Nhân văn

TS Nguyễn Thám PGS TS Lê Cung

TS Tôn Thất Dụng

PGS.TS Hoàng Thị Minh Hoa

PGS TS Trần Thái Học

ThS V6 Ngoc Huy

TS Truong Công Huỳnh Kỳ PGS TS Bửu Nam :

TS Lé Van Tin

TS Bui Thanh Truyén

TS Nguyén Tuong

Ban Bién tap Khoa học Giáo dục

PGS TS Lê Công Triêm

TS Lê Văn Dũng

TS Phan Đức Duy

PGS TS Lê Văn Giáo

TS Phùng Đình Mẫn

TS Trần Hữu Phong

TS Phan Minh Tiến

PGS TS Trần Vĩnh Tường

TS Trần Vui

PGS TS Nguyễn Đức Vũ

TS Nguyễn Thị Xuân Yến

Chế bản vi tính tại Phòng Khoa học - Công nghệ - Hợp tác quốc tế, Trường Đại học

Sư phạm - Đại học Huế In 250 cuốn khổ 18, Sem x 26,5cm tại Công ty Cổ phần In Thùa Thiên Huế Giấy phép hoạt động báo chí số 05/GP- BVHTT, ngày 29/01/2007

của Bộ Văn hóa - Thông tin In xong tháng 12/2007

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ GIÁO DỤC _ TRƯỜNG DAI HQC SU PHAM - DAI HQC HUE

SO 04(04)/2007

MỤC LỤC

Phan Thanh Hải

2 Nguyễn Chánh Tú

3: Cao Huy Linh

4 Lé Thi Thu Phuong

Nguyễn Quang Báu

Võ Thành Lâm Trân Công Phong

Si _ Ngô Văn Tứ

Hồ Thị Kim Hạnh

6 Ngô Võ Thạnh

Nguyên Đình Luyện

1, Nguyễn Thám

Nguyên Hoàng Sơn

8 Lê Văn Thăng

Đặng Thị Thanh Lộc

Lê Văn Tuân

9 Hoàng Văn Phúc

10 Hoàng Thị Huế

Về cấu trúc và biểu diễn của nhóm Spinor

Về các đường cong bậc 6 xoắn thu gọn với một

kỳ tt bội D8issosnerneltenaioroiitgitattaigat

Chỉ số chính quy của vành phân bậc liên kết ứng

với 1đ6ann [lam SỐ toa pnhonttvvi0n200800015300na80auasg

Tính toán hệ số hấp thụ phi tuyến của trường sóng điện từ mạnh bởi điện tử giam câm trong hô TUTE TUE senterseoncsenseseonsnsenenenasnetonsnevennenenenesneseenre”

Quy trình xác định vị lượng sắt, kẽm trong tóc trẻ

em suy dinh dưỡng băng phương pháp quang phô Hap ANY NGUYEN SẺ“

Xác định vi lượng Cu, Pb, Cd trong nước giếng ở

xã Trà Đa - thành phô Pleiku băng phương pháp quang phô hap thu nguyên tử -

Phân tích các hình thế thời tiết gây mưa lũ ở lưu

vực sông Hương tỉnh Thừa Thiên Huê

Giải pháp quản lý chất thải rắn phù hợp với các

khu đô thị mới của thành phô Huê

Quan niệm nhàn của Nguyễn Công Trứ và Nguyễn Khuyến 55ccccvcccccrrrrrrrrree Giao thoa và tiếp biến văn hóa trong thơ mới

16

25

38

46

52

59 68

11

12

lỗ.”

14

15

16

17

Nguyễn Thị Ty

Đố Mạnh Hùng

Ngô Hồng Điệp

Nguyễn Dương Hoàng

Nguyễn Thị Kim Thoa

Trần Dũng

Nguyễn Thị Duyễn

Ảnh hưởng của đạo Hinđu đối với chính trị, xã hội, văn hóa nghệ thuật các quốc gia Đông Nam

Á thời cổ trung đại -ccccccettrrrrrrrrrerrrrii 97 Việt Nam Quang phục hội - Bước phát triển mạnh

mẽ về tư tưởng dân chủ của Phan Bội Châu 104

Sự xác lập vai trò an ninh chính trị của Nhật Bản

ở Đông Nam A trong thập niên đâu thời kì sau

“chiên tranh lạnh”” c- sex se seeererrsrrrrrrer 112

Hệ thống kĩ năng dạy học toán ở trung học phổ

thông theo quan điểm hoạt động . - 121

Rèn luyện kỹ năng tiền chứng minh cho học sinh

lớp 5 thông qua các bài toán hình học 131

Sử dụng mô hình hoá toán học trong chương trình toán phô thông để nâng cao khả năng giải quyết vấn đề cho người học -: ccccscccccrrrceee 139

Sử dụng nghiên cứu bài học để nâng cao chất

lượng của việc dạy và học toán ở trường trung

học phổ THÔ Tổ ¡122516 00ág0ã080G0S03SGSISENSPELEMGIESSiAASiASS 149

SỬ DỤNG MÔ HÌNH HOÁ TOÁN HỌC TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỎ THÔNG

ĐỀ NÂNG CAO KHẢ NĂNG GIẢI QUYÉT VẤN ĐÈ CHO NGƯỜI HỌC

TRAN DUNG

Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huệ

Tóm tắt: Giả thuyết rằng: học toán không chỉ bao gồm học các khái niệm, các quy tắc tính toán hay thực hiện các kỹ thuật toán học mà bao gồm cả hiểu biết ý nghĩa của nó và ứng dụng nó để giải quyết các vấn để thực tế Sự xem xét ngữ cảnh thế giới hiện thực và mô hình hoá toán học tạo nên một phần quan trọng cho sự hiểu biết toán học một cách đầy đủ và có ý nghĩa;

một mục tiêu được công nhận trong dạy học toán là sự thu nhận những khả năng và năng lực áp dụng toán học vào đời sống thường ngày Nhiều học sinh có thê giải các bài toán với các ky thuật phức tạp nhưng rất lúng túng khi đứng trước một vấn để thực tế cần áp dụng toán học vào để giải quyết

Mô hình hoá toán học góp phần đáp ứng những yêu cầu này

1 GIỚI THIỆU

Trong khi mô hình hoá toán học có một lịch sử lâu dài cũng như bản thân toán học,

chúng ta không thể phát biểu điều tương tự cho lịch sử mô hình hoá toán học trong khuôn khổ chương trình toán học phổ thông Xu hướng của thế giới hiện tại trong việc xúc tiến việc mô hình hoá toán học và các ứng dụng của nó là một phản ứng chống lại

sự thống trị của toán học thuần tuý trong trường học, cái được gọi là “Sự vận động của tân toán học” của những năm 1960 và 1970 [2]

Swetz & Hartzler đã phân biệt mô hình hoá toán học, giải quyết vấn đề và đề nghị cách tích hợp mô hình hoá toán học vào trong nhà trường [4] Galbraith (1989) đã đưa ra ba cách tiếp cận mô hình hoá toán học [2] Allen White đã trình bày về một số chiến lược điều khiển quy trình mô hình hoá trong nhà trường New Zealand [2] Gabriele Kaiser

đã viết về một loạt các mô hình hoa toán học tại các seminar ở trường đại học

Hamburg, Duc [5]

Chương trình Dạy học cho Tương lai của Intel (Intel Teach to the Future) của Viện Công nghệ máy tính Hoa Kỳ đã tiếp cận cách dạy đưa thực tế vào trường học và đặc biệt chú trọng đến việc sử dụng công nghệ máy tính trong trợ giúp việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh Tuy nhiên đây chỉ là các gợi ý chung cho tất cả các môn

học và đặc biệt chú trọng về việc trợ giúp kỹ thuật

Sau đây chúng tôi sẽ trình bảy quy trình mô hình hoá toán học và các cách tiếp cận quy

trình này cùng với một ví dụ kèm theo để minh hoạ

Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế

ISSN 1859-1612 Số 04(04)/2007: tr 139-148

140 TRAN DŨNG

2 QUY TRÌNH MÔ HÌNH HOÁ TOÁN HỌC

2.1 Các khái niệm

© Mô hình Là một mẫu, một kế hoạch, một đại diện, một minh hoạ được thiết kế để

mô tả cấu trúc, cách vận hành của một đối tượng, một hệ thống hay một khái niệm Mô hình theo ý nghĩa vật lý của nó, đó là bản sao, thường thì nhỏ hơn của

một đối tượng Mô hình đó có cùng nhiều tính chất với đối tượng gốc: nó có cùng những điểm đặc trưng, có thể là màu sắc thậm chí cả chức năng với đối tượng mà

mô hình đó biểu diễn Một mô hình lý thuyết của một sự vật hiện tượng là một tập

hợp các quy tắc biểu diễn chính xác sự vật hiện tượng đó trong đầu của người

quan sát [4]

e Mô hình toán học Khi những quy tắc hay quy luật mang tính chất toán học về bản

chất, một mô hình toán học sẽ phát triển Vì vậy một mô hình toán học là một cấu

trúc toán học mô tả gần đúng đặc trưng của hiện tượng đó [4]

ø_ Mô hình hoá toán học Quá trình tạo ra một mô hình toán học được gọi là mô hình

hoá toán học Một vài cấu trúc toán học cơ bản có thể dùng để mô hình hoá là các

đồ thị, phương trình (công thức) hoặc hệ phương trình hay bắt phương trình, chỉ

số, bảng số hay các thuật toán [4]

Ví dụ Các kỹ su xây dựng thường quan tâm đến mức độ oằn xuống của xà rằm dưới tác

dụng của khối vật nặng Họ có thể xây nên một xà rằm, để cho nó chịu khối nặng và đo

độ oằn xuống; dẫu sao, quá trình này sẽ mất nhiều thời gian và rất tốn kém Sẽ tiện lợi hơn nếu một mô hình lý thuyết cho độ cong oằn xuống của một xà rằm dưới sức nặng của một công trình tồn tại Thông qua kinh nghiệm, quan sát và tính toán, một mô hình

như thế được xác định:

3

D6 oan xuống =

A8EI

Trong đó: ⁄= độ dài của xà rằm

P= trọng lượng của khối công trình

E= suất đàn hồi, phụ thuộc vào vật liệu làm xà ram

7 = mômen quán tính, phụ thuộc vào diện tích cắt ngang của xà ram

Trong ví dụ này, mô hình cho độ oằn xuống là một phương trình [4]

SU DUNG MO HINH TOAN HOC TRONG CHUONG TRINH TOAN PHO THONG 141

2.2 Quy trình mô hình hoá toán học

Quy trình mô hình hoá toán học được minh hoạ bằng sơ đồ sau [2, 1], có nhiều biến thé

của quy trình này Nói chung, quy trình mô hình hoá toán học thường bao gồm các bước

sau Mot tinh huống thực tế là điểm xuất phát cho quá trình; tình hướng đó được lý

tưởng hoá, tức là đơn giản hoá và cấu trúc hoá để có được một mô hình thực tế Tiếp theo, mô hình này được toán học hoá, tức là được thông dịch sang ngôn ngữ toán học để

dẫn đến một mô hình toán học của tình huống ban đầu Sự xem xét toán học trong mô hình toán học để tạo ra kết quả toán học; kết quả sẽ được thông dịch lại qua tình huồng

thực tế Sự hoàn thiện của kết quả phải được kiểm tra, tức là được công nhận tính đúng

dan Trong trường hợp lời giải không được thoả đáng quá trình này phải được lặp lại

Bước | -

Vân đề thực tê Em

Bước 6 Xem xét giả

Thâm định > thiét

mô hình

ry

Bước 7

Bao cao, giai thich,

dự đoán

giai Bước 4 toán học

toán học

Quy trình mô hình hoá toán học

2.3 Cách tiếp cận mô hình hoá toán học

Galbraith (1989) dé xuat ba cach tiếp cận đạy học đối với mô hình hoá [2, 2]:

s Cách tiếp cận áp dụng tong quat tap trung vào một ứng dụng nào đó Thông thường giáo viên đã dạy mô hình đó và người học thao tác nó dưới những điều kiện được kiểm soát Cách tiếp cận này phổ biến trong các lớp học phỏ thông và thường bao gồm hai bước 4 và 5 của quy trình mô hình hoá Cách tiếp cận này khuyến khích người học có được kinh nghiệm trong việc giải quyết vấn đề bằng cách áp dụng toán học vào các tình huống mô hình Dẫu sao, nên tạo cho người

142 TRẦN DŨNG

học vượt ra ngoài cách tiếp cận này và để thu được những kinh nghiệm bằng cách thu thập lý giải và phân tích thông tin toán học :

Cách tiếp cận mô hình hoá có cấu trúc dùng những tình huống trong cuộc sống thực và toàn bộ quy trình mô hình hoá từ bước ] đến bước 7 được tiến hành Dẫu sao người dạy có những tác động đáng ké trong việc kiểm soát những mô hình toán học được sử dụng ở bước 3 Người dạy vận hành kiểm soát này như thế nào

sẽ tuỳ thuộc vào chiến lược can thiệp được lựa chọn

Cách tiếp cận mô hình hoá mở cho phép người học nghiên cứu vấn đề ở mức độ toán học họ thấy thuận lợi trong việc sử dụng Tất cả các giai đoạn của mô hình hoá đều có đủ Người học được yêu cầu tiến hành vấn đề với hạn chế sự giúp đỡ của người dạy bởi người dạy không có sự kiếm soát nào đối với kiến thức toán học đã chọn của người học Cách tiếp cận này không được sử dụng thường xuyên lắm bởi

sự hạn chế về mặt thời gian, mặc dù có những ủng hộ đáng kế được đưa ra gần đây

về việc khảo sát mở được đưa vào ở tất cả các mức độ của các giáo trình toán học Với cách tiếp cận có cầu trúc sử dụng sự can thiệp của giáo viên đề kiêm soát mô hình toán học đã lựa chọn; một số chiến lược can thiệp có thé str dung 1a:

e Sự can thiệp một cach tinh tế, đó là quy trình mà giáo viên chọn một hay nhiều

nhóm, mở cho việc tỉnh tế đề nghị mô hình nào sẽ sử dụng Trong khi lớp học thảo luận, giáo viên sẽ bảo đảm răng mô hình đê nghị sẽ được chọn lựa

Sự can thiệp mở xuất hiện trong bước 3 của quy trình mô hình hoá Sau khi được thảo luận chung trước lớp về nội dung toán học nào được sử dụng, giáo viên trình bày trước lớp mô hình toán học thường được sử dụng phổ biến bởi những nhà toán học với loại tình huống vẫn đề đang được xem xét

Sự can thiệp muộn yêu cầu giáo viên cho phép lớp học hoàn thành quy trình mô hình hoá một lần dùng mô hình toán học cả lớp cho là thích hợp nhất Rồi giáo viên

sẽ tiền hành một cuộc thảo luận để bảo đảm rằng sự thiếu hụt của mô hình được bộc

lộ Giáo viên có thể đề nghị một mô hình toán học khác để người học sử dụng trong vòng khác của quy trình mô hình hoá Vòng quay đầu tiên có thuận lợi trong việc giúp người học hiểu biết toàn bộ và thấy được sự phức tạp của van dé Nó cũng làm tăng lên sự ghi nhận của người học về sự xứng đáng của mô hình được đề nghị

Có nhiều cách phi chia khác, Carr (1989), người đề nghị cách phân chia tương tự về các cách tiếp cận Cách phân chia của Carr cũng đồng nhất với cách của Galbraith

nhưng ông ta gọi ba cách tiếp cận là: những áp dụng tiêu chuẩn sử dụng những mô hình

đã được thiết lập: mô hình hoá trực tiếp và mô hình hoá mở.

SỬ DỤNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG 143

1

3 VÍ DỤ VẺ QUY TRÌNH MÔ HÌNH HOÁ TOÁN HOC VA CAC PHAN TICH KÈM THEO

3.1 Vấn đề Thiết kế lon cho tập đoàn Pepsi

Tập đoàn Pepsi đặt hàng bạn đánh giá việc đóng hàng hiện tại của họ Đặc biệt bạn được yêu cầu thầm định lon Pepsi và xác định xem các kích cỡ của lon như thế nào để lượng nhôm tiêu tốn cho mỗi lon ít nhất nhưng vẫn đảm bảo thể tích của mỗi lon là 330

mL (1 mL=lem')

Báo cáo gởi về tập đoàn Pepsi nên bao gồm:

e Cac kich cỡ bạn đề nghị cho lượng nhôm it nhất;

e_ Lời giải thích hay việc tính toán của bạn ủng hộ cho các kích cỡ đề nghị đó;

e_ Sự so sánh giữa kích cỡ thật và kích cỡ đề nghị; một sự bàn luận về các kích cỡ này

Pepsi chân thành cảm ơn bạn về việc giúp tập đoàn có trách nhiệm chung với môi trường Chúc may măn!

Kiến thức, kỹ năng cần sử diner a

e_ Công thức tính thể tích vật thể và diện tích các bề mặt, đặc biệt thể tích khối trụ và

điện tích của mặt trụ

e_ Ứng dụng đạo hàm hoặc bất đăng thức Cauchy để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

của hàm số; kỹ năng đọc đồ thị để định hướng việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

nhất bằng cách khảo sát hàm số một cách rời rạc với công cụ bảng tính của Excel Lớp học đề nghị: 11, 12

` Lời giải đề nghị:

Bước 1 Vấn đề đặt ra là thiết kế lon có thê tích là 330 ml nhưng sử dụng lượng nhôm it

nhất cho mỗi lon

Các thuật ngữ, số liệu chính: lon, kích cỡ lượng nhôm ít nhất, thể tích 330) mi

144 TRẦN DŨNG

Bước 2 Những biến số liên quan và những kết quả khi xem xét các giả thiết:

e_ Hình dạng kích cỡ của lon phụ thuộc vào việc lựa chọn mô hình thường được sử dụng với các biến số tương ứng;

e Luong nhém tương ứng với bề mặt của lon được thiết kế phụ thuộc vào diện tích của bề mặt đó;

e_ Thể tích của lon được thiết kế phụ thuộc vào việc chọn hình dạng và các kích cỡ ở trên Bước 3 Người ta thường sử dụng hình trụ để thiết kế lon vì vậy ở đây ta sử dụng hình trụ làm mô hình cho việc giải quyết bài toán này Lúc đó ta phải tìm bán kính của đáy lon và chiều cao của lon để trả lời câu hỏi đặt ra Vấn đề được chuyên về tìm bán kính

và chiều cao của hình trụ đề diện tích toàn phần nhỏ nhất biết thê tích hình trụ là 330ml

Để thuận tiện trong việc tính toán sau này, ta lây don vj cm để tính bán kính và chiều cao của lon và nó được làm tròn đến hàng phần chục

Bước 4 Gọi ®, lần lượt là bán kính đáy lon và chiều cao của lon (R, >0), lúc đó

diện tích toàn phần của hình trụ được tính theo công thức: $=2z8##+2zR” và thể tích

của lon được tính bằng ƒ = zÑ1

Mặt khác thê tích của lon là 330 ml nên ta có zR”»=330 Từ đó suy ra h= a TR

Thay vào công thức diện tích ta được:

S=2aR anil +2zR? = 98 oR?

Xét:

$= f(R)= E +2zR Sis 060 | 4a

S'=0 R= 3060

4n

Bang bién thién:

660

s = 0 +