(SKKN HAY NHẤT) môn toán THPT sử dụng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số chứng minh bất đẳng thức

Hơn nữa, trong thời điểm hiện nay, với cấu trúc thi đại học mới ban hành, nhiều phần kiến thức giáo viên phải tìm tòi sáng tạo, tìm ra phương pháp mới để học sinh có thể giải quyết các b

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

"SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM

SỐ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC"

Phần 1: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Việc nâng cao phương pháp dạy học là cần thiết và thường xuyên đối với giáo

viên của tất cả các bộ môn Trong môn toán có nhiều đơn vị kiến thức giáo viên phải thực

sự tích cực trau dồi, bồi dưỡng kiến thức và phương pháp thì mới đạt hiệu quả khi truyền

tải kiến thức cho học sinh Hơn nữa, trong thời điểm hiện nay, với cấu trúc thi đại học

mới ban hành, nhiều phần kiến thức giáo viên phải tìm tòi sáng tạo, tìm ra phương pháp

mới để học sinh có thể giải quyết các bài toán mới trong các đề thi học sinh giỏi, thi đại

học cao đẳng Và bài toán chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng trong môn toán

THPT không phải là ngoại lệ Khi gặp dạng toán chứng minh bất đẳng thức, giáo viên

thường củng cố nêu kiến thức và các phương pháp kinh điển, các phương pháp có sẵn để

giải quyết bài toán đó Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm này giới thiệu một phương

pháp chứng minh bất đẳng thức mà tác giả đã tìm tòi, học hỏi trang bị cho học sinh Qua

đó học sinh có thêm một công cụ giải bài tập, có hướng tìm ra và sử dụng các phương

pháp chứng minh các bất đẳng thức

Bên cạnh đó, xuất phát từ thực tế giảng dạy nhiệm vụ giải bài tập chứng minh bất

đẳng thức (nhất là trong đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng của bộ giáo dục và đào tạo) là

nhiệm vụ rất khó khăn Nhu cầu của mỗi học sinh trước khi giải bài tập dạng này có cách

nhìn khái quát, định hướng phương pháp giải Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm này

đó là nêu rõ phương pháp và cách áp dụng khi chứng minh các bất đẳng thức

Với nội dung nêu trên, đề tài sáng kiến của tôi là:

“ Sử dụng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số chứng minh bất đẳng thức”

2 Mục đích nghiên cứu :

Khi kết thúc chương trình lớp 12, khi gặp bài toán chứng minh bất đẳng thức và các

ứng dụng đòi hỏi học sinh phải nhận dạng được bài toán chứng minh bất đẳng thức vận

dụng theo phương pháp nào Sự kết hợp các phần kiến thức khác nhau giữa đại số, hình

học, giải tích sẽ cho ta các phương pháp chứng minh thích hợp Vận dụng tính chất của

tiếp tuyến đường cong, ứng dụng của nó cùng với tính chất của các bất đẳng thức cơ bản

sẽ cho ta một phương pháp chứng minh mới, phù hợp là mục đích của sáng kiến kinh

nghiệm này

3 Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu:

Kết quả lớn nhất của sáng kiến này là đã tìm ra thêm một phương pháp chứng

minh bất đẳng thức, ngoài việc tổng hợp các 10 phương pháp chính làm bài tập chứng

minh bất đẳng thức Từ đó phân biệt các phương pháp giải các bài toán về bất đẳng thức,

liên quan đến bất đẳng thức (tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, ) trong các đề thi

tuyển sinh đại học, cao đẳng và thi học sinh giỏi các cấp Khi đó giáo viên sẽ rút ra kinh

nghiệm khi giảng bài và sáng tạo các bài toán mới

Phương pháp nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm này là phân tích, tổng hợp

hiệu quả của các phương pháp chứng minh bất đẳng thức thông thường Từ đó sáng tạo ra

phương pháp mới, đồng thời phân tích, tổng hợp để làm rõ hiệu quả của phương pháp

mới này

4 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:

Về con người là các thầy cô giáo giảng dạy môn toán THPT và các em học sinh

đang học tại trường THPT của tôi Trong phần toán học, ở đây đối tượng nghiên cứu là

các phương pháp chứng minh bất đẳng thức mà học sinh được học trong chương trình

5 Điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm:

Là nêu một phương pháp mới chứng minh bất đẳng thức, vận dụng tổng hợp các

kiến thức về tính chất bất đẳng thức, các ứng dụng cơ bản của đạo hàm

Nội dung chính của sáng kiến kinh nghiệm này bao gồm:

Chương 1: Cơ sở lý luận (Phương pháp dạy học chứng minh bất đẳng thức)

1) Phân bậc hoạt động chứng minh bất đẳng thức

2) Rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh qua chứng minh bất đẳng thức

3) Hướng dẫn học sinh tìm ra nhiều phương pháp chứng minh một bất đẳng thức

4) Phát hiện, khắc phục và sửa chữa sai lầm trong chứng minh bất đẳng thức

Chương 2: Cơ sở thực tiễn (Giải pháp cũ thường làm) 10 phương pháp chứng minh

bất đẳng thức thường gặp

Chương 3: (Giải pháp mới) Phương pháp mới chứng minh bất đẳng thức.

Chương 4: Kết quả thực nghiệm tại trường tôi công tác.

Phần 2: NỘI DUNG

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN

Bất đẳng thức là một dạng toán khó ở bậc trung học phổ thông đối với đại trà học

sinh Điều đó đồng nghĩa với việc dạy học bất đẳng thức là một nội dung không hề đơn

giản Nhiều giáo viên xác định không cần dành quá nhiều thời gian để củng cố ôn tập cho

học sinh phần kiến thức này, chấp nhận từ bỏ bài toán chứng minh bất đẳng thức và các

ứng dụng của nó Chưa hẳn điều đó đã đúng, nếu chúng ta nghiêm túc phân bậc đối

tượng học sinh và chỉ cần bồi dưỡng năng lực giải bài tập bất đẳng thức tùy theo mức độ

các nhóm học sinh khác nhau

1) Phân bậc hoạt động chứng minh bất đẳng thức:

Điều này rất quan trọng, có thể căn cứ vào số lượng biến, sự phức tạp của đối tượng,

căn cứ vào mức độ tường minh, sự phối hợp ít hay nhiều hoạt động để xây dựng hệ thống

bài toán từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, nhằm rèn luyện các phương pháp chứng

minh bất đẳng thức Nhằm rèn luyện cho học sinh vận dụng Bất đẳng thức Cô-si có thể

lấy một hệ thống bài toán phân bậc như sau Ta lấy một ví dụ: Chứng minh các bất đẳng

Trong hệ thống bài tập ở trên mức độ vận dụng ở các bài toán là khó dần:

bài (1) chỉ cần vận dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi cho hai số

bài (3) đầu tiên phải biết tách và ghép đôi

bài (4) vừa áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số trong căn, vừa áp dụng cho ba số

hạng ở vế trái

bài (5) là câu khó trong đề thi tuyển sinh Đại học,Cao đẳng khối A năm 2002 Đòi

hỏi vận dụng sáng tạo: Từ với đến Từ đó:

và tương tự cho hai hạng tử còn lại

2) Rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh qua chứng minh bất đẳng thức:

Bất đẳng thức và các ứng dụng rất thuận lợi để rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho

học sinh: phân tích, so sánh, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá,… Học sinh cần phải

có được cách giải quyết bài toán, đồng thời là cách suy nghĩ để giải quyết bài toán, giải

quyết vấn đề

Ví dụ: Giáo viên nêu các dấu hiệu gợi ý cho học sinh nghĩ đến bất đẳng thức Côsi (đây

là hoạt động phân tích, so sánh) như: các số tham gia bất đẳng thức dương; Có căn bậc 2,

bậc 3; Vì sao phải sáng tạo, đặc biệt hoá khi dấu bằng xảy ra để làm gì?; Áp dụng bất

đẳng thức (1) cho bất đẳng thức (2) hay ngược lại một cách linh hoạt

(1) Cho và CMR:

(2) Cho và CMR:

3) Hướng dẫn học sinh tìm nhiều phương pháp chứng minh một bất đẳng thức:

Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau, bất đẳng thức không phải là ngoại

lệ do cách nhìn khác nhau, từ nhiều phương diện khác nhau Ta có thể tìm hiểu qua các ví

dụ sau đây:

a) Ví dụ 1: Cho Chứng minh rằng:

Cách 1: Dựa vào điều kiện ta có:

Lúc này lại áp dụng bất đẳng thức Côsi:

Cách 2: Đặc biệt hoá dấu bằng xảy ra khi x = 4y Vậy khi biến đổi ta phải để ý điều

Ta được GTLN của T là khi , GTNN là khi

Phương trình có nghiệm khi =>

4) Phát hiện, khắc phục và sửa chữa sai lầm cho học sinh:

a) Ví dụ 1: Chứng minh rằng: với mọi số thực

Lời giải: Theo Cô-si ta có:

Cộng các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh

Đánh giá: Ở đây học sinh đã nhầm ví dụ này với ví dụ 3 của phần I.1, vận dụng bất

đẳng thức Cô-si là sai, vì các số có thể âm Tuy nhiên, mỗi bất đẳng thức trên đều đúng

nhưng không phải theo Cô-si, mà do

b) Ví dụ 2: Cho a, b, c, d là 4 cạnh của một tứ giác lồi Chứng minh rằng diện

tích tứ giác không lớn hơn

Lời giải: Giả sử bốn cạnh tứ giác là AB = a, BC = b, CD = c, DA = d

Đánh giá: Lời giải này còn thiếu trường hợp hai cạnh có độ dài a, b đối diện.

c) Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức với a, b dương,

phân biệt và 0 < x < 2a, 0 < x < 2b

Lời giải: Vì

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số 2x, 2a - x, 2b - x nên M lớn nhất khi chúng

bằng nhau, nhưng điều đó không xảy ra nên M không có giá trị lớn nhất

Đánh giá: Điều này sai logic vì khi 3 số đó bằng nhau thì có giá trị lớn nhất, còn khi

không bằng nhau thì chưa kết luận được gì

d) Ví dụ 4: Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 2a + 2

1

a

Lời giải: Sai lầm thường gặp:

Nguyên nhân sai lầm:

min S = 3 mâu thuẫn với giả thiết

Phân tích và tìm tòi lời giải: Xét bảng sau để dự đoán Min S.

a 101 19 18 17 16 15 14 13 122.a 15 92 14 72 13 52 12 23 1

100 81 64 49 36 25 16 9 4

S 10015 8129 6414 4927 3613 2525 1612 923 5

Nhìn bảng trên ta thấy khi a càng tăng thì S càng nhỏ từ đó dẫn đến dự đoán khi

thì S nhận giá trị nhỏ nhất Theo phân tích ở trên ta không thể sử dụng trực tiếp bất đẳng

thức Côsi cho 3 số :

Cách 1: Ta dự đoán sử dụng bất đẳng thức Côsi cho các số ta có:

Sơ đồ điểm rơi 1:

Ta dự đoán sử dụng bất đẳng thức Côsi cho các số ta có:

Sơ đồ điểm rơi 2:

=> S = 2a + =

= Với a = 1

2 thì Min S = 5

Chương 2: GIẢI PHÁP CŨ THƯỜNG LÀM

Thực tế các giáo viên đã rất cố gắng để truyền thụ tới các học sinh phương pháp giải

bài tập chứng minh bất đẳng thức Việc thực hiện đầy đủ các phần trên đây theo ý kiến

của tôi là cách hợp lý nhất để giải quyết dạng toán này Khi chứng minh bất đẳng thức

theo quan điểm của tôi có 10 phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường được sử

dụng Việc phân chia ra phương pháp này hay phương pháp khác chỉ tương đối, tuỳ theo

quan niệm của mỗi người Trong phương pháp này có phương pháp kia, khó rạch ròi

phân biệt được Ví dụ đặt a = cosx có thể hiểu là đặt ẩn phụ, hoặc gọi là phương pháp

lượng giác hoá Dưới đây tôi giới thiệu các phương pháp chứng minh bất đẳng thức đó

1 Phương pháp biến đổi tương đương :

Sử dụng các tích chất của bất đẳng thức, phép biến đổi kéo theo, tương đương Có

2 con dường quy nạp hoặc diễn dịch để có được kết quả bài toán

Ví dụ 1 : Bài 4(SGK CTC10Tr.79):

Ví dụ 1: CMR với a,b,c dương thì:

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 hạng tử ở vế trái => ĐPCM.

Ví dụ 2: Với mọi a,b,c thì:

Giải: Với mọi a,b,c thì:

và

Cộng tương ứng 3 bất đẳng thức suy ra ĐPCM

3 Phương pháp quy nạp toán học:

Để chứng minh mệnh đề P(n) với n no Ta làm các bước:

Bước 1: Kiểm tra tính đúng sai của mệnh đề với n=no

Bước 2: Giả sử P(n) đúng đến n = k no Ta chứng minh đúng với n = k+1

Hơn nữa bất đẳng thức cũng là một mệnh đề logic với những điều kiện cho trước Vì

vậy hoàn toàn áp dụng được phương pháp này

Ví dụ: CMR với n nguyên dương lớn hơn 2 thì:

(1)

Nhưng theo bất đẳng thức Cô-si ta có:

Tương tự: Khi đó: (2)

Mâu thuẫn giữa (1) và (2) Vậy điều giả sử là sai Ta có ĐPCM

5 Phương pháp lượng giác hoá:

Thông thường từ dữ kiện đề bài, ta đạt ẩn phụ theo các giá trị luợng giác, chuyển

bài toán về chứng minh bất đẳng thức luợng giác Lấy một ví dụ:

Chứng minh rằng: với a,b,c > 1.

Giải: Từ giả thiết tồn tại: để

Áp dụng bất đẳng thức liên hệ 3 điểm: AB + BC AC.

Ví dụ 1: CMR với mọi a,b,c,d ta có:

Giải: Trong mặt phẳng toạ Oxy xét các điểm A(a;b), B(-c;-d) ta có:

OA + OB AB Suy ra điều cần chứng minh

Ta có thể áp dụng các chứng minh trên cho việc chúng minh bất đẳng thức sau:

Ta có: đồng biến trên

đồng biến trên Nói riêng với N* => ĐPCM

8 Phương pháp đặt ẩn phụ:

Đôi khi ta đặt ẩn phụ mới chuyển sang bất đẳng thức khác cần chứng minh trông đẹp

hơn Lấy ví dụ: Bài 20(SGK NC Đại số 10 Tr112):

Ví dụ: Cho , , chứng minh rằng

Giải: Từ giả thiết ta có

Vậy

Tất nhiên trong thời lượng phân phối của bộ môn không có đủ thời gian để giáo viên

trang bị cho học sinh tất cả các phương pháp nêu trên Nhưng giáo viên có thể gợi mở,

tăng sự sáng tạo của học sinh Cụ thể khi tiếp cận với một đề thi hoàn toàn mới giáo viên

cần trang bị cho học sinh khả năng tái hiện kiến thức các phương pháp và sáng tạo tìm ra

cách giải bài toán Ta cùng xét các câu hỏi về bất đẳng thức trong các đề thi đại học, cao

đẳng năm 2009 và năm 2012

- Thứ nhất: Đề thi tuyển sinh đại học khối A môn toán năm 2009, câu V:

Chứng minh rằng với thoả mãn ta có:

Phương pháp làm bài: Đặt bài toán trở thành:

Cho thoả mãn: chứng minh rằng:

Phương pháp đặt ẩn phụ đã giúp đưa bài toán về bài toán đỡ phức tạp hơn, gần

gũi hơn Tuy nhiên đây là một câu trong đề thi khối A nên độ khó của nó ta cũng đã biết

Các thầy cô có thể tìm hiểu lời giải này trong đáp án đề thi đại học khối a năm 2009 của

bộ giáo dục và đào tạo

- Thứ hai: Đề thi tuyển sinh cao đẳng môn toán năm 2009, câu V :

Cho thoả mãn: , chứng minh rằng:

Phương pháp làm bài: BĐT cần chứng minh tương đương với: (2)

Xét hàm số , Ta chứng minh được do đó hàm đồng

biến trên khoảng (0;1) Suy ra ĐPCM

Bài toán này có lẽ không còn cách nào khác ngoài việc sử dụng phương pháp

hàm số Tuy nhiên học sinh cần được luyện tập nhiều mới phát hiện được sự tương

đồng trong 2 vế của BĐT (2)

- Thứ ba: Đề thi tuyển sinh đại học khối D môn toán năm 2009, câu V

Cho thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

Phương pháp làm bài: Ta thấy sự đối xứng của x, y trong biểu thức S và điều kiện bài

toán.Dẫn đến hình thành tư duy liên hệ giữa tổng và tích của x và y Trong đó ở đây

lúc này gợi ý đặt xy=t

Cần sử dụng đến BĐT khi đó: Bài toán trở thành:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của Bài tập này thực sự

không khó đối với học sinh.tuy nhiên sau khi tìm xong

chính là công việc tìm xem có x, y thoả mãn

hay không? Từ đó mới kết luận được kết quả của bài toán

Trên đây là 3 câu hỏi trong đề thi đại học, cao đẳng năm 2009 Với các phương pháp

đã nêu khi trang bị cho học sinh Tôi tin học sinh của tôi thực hiện tốt những câu hỏi này

- Thứ tư: Đề thi tuyển sinh đại học khối A môn toán năm 2012, câu 6

“Cho các số thực thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Trước bài toán này, câu hỏi đặt ra là chúng ta sẽ giải quyết nó theo hướng nào? Các

phương pháp kể trên có giải quyết được bài toán hay không?

Chương 3: GIẢI PHÁP MỚI

Xuất phát yêu cầu kiến thức của từng giai đoạn khác nhau, giáo viên bổ sung cho học

sinh các phương pháp, cách giải phù hợp Dạy học chứng minh bất đẳng thức cũng vậy

Người giáo viên tìm tòi, bổ sung phương pháp chứng minh cho các học sinh những

phương pháp mới hiệu quả là điều cần thiết Ngoài các phương pháp thường làm kể trên,

khi học phần kiến thức Đạo hàm và các ứng dụng Ngay trong chương trình lớp 11, khi

có khái niệm đạo hàm chúng ta có ý nghĩa hình học quan trọng về đạo hàm

“Nếu tồn tại, là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm

Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là

”

Ta có nhận xét sau: Nếu đường thẳng (d): là tiếp tuyến của đồ thị (C):

tại điểm ( không là điểm uốn), khi đó tồn tại một khoảng D chứađiểm sao cho trên đó đồ thị (C) nằm phía dưới đồ thị (d) hoặc nằm phía trên đồ thị (d)

Tức là hoặc Và đẳng thức xảy ra khi