(SKKN HAY NHẤT) môn toán THPT một số dạng hệ phương trình và phương pháp giải

Lý do chọn đề tài Trong phần Đại số 10, các em học sinh đã được tiếp cận một số hệ phương trình hpt : hpt bậc nhất hai ẩn, hpt đối xứng loại 1,hpt đối xứng loại 2.. Tuy nhiên trong thực

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

" MỘT SỐ DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP

GIẢI"

PHẦN I

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong phần Đại số 10, các em học sinh đã được tiếp cận một số hệ phương trình

(hpt) : hpt bậc nhất hai ẩn, hpt đối xứng loại 1,hpt đối xứng loại 2 Lớp 12 tiếp cận với

hpt mũ và hpt logarit , giải một số bài toán về số phức mà để có được kết quả cuối cùng

học sinh phải giải được hpt đại số và hs cũng chỉ giải được những bài toán cơ bản đơn

giản Tuy nhiên trong thực tế các bài toán giải hpt rất phong phú và đa dạng và đặc biệt

là trong các đề thi Đại học - Cao đẳng -THCN, các em sẽ gặp một lớp các bài toán về hpt

mà chỉ có số ít các em biết phương pháp giải

Từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối 12 ở trường THPT, cùng với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy Tôi đã tổng hợp , khai thác và hệ thống hoá lại các kiến thức thành

một chuyên đề:

“Đổi mới hoạt động dạy học môn toán qua chuyên đề : Một số dạng hệ phương

trình và phương pháp giải ’’.

Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn gởi mở cho học sinh một số cách nhận

dạng hệ phương trình tư đó phân tích bài toán và tìm ra lời giải Hy vọng đề tài nhỏ này

ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh có một cái nhìn khá toàn diện

cũng như phương pháp giải một lớp các bài toán về hệ giải phương trình

2 Đối tượng nghiên cứu- Phạm vi nghiên cứu

2.1 Đối tượng nghiên cứu

Học sinh khối 12 giải các dạng hệ phương trình (hpt) : có một phương trình(pt) bậc nhất hai ẩn, hpt đối xứng loại 1,hpt đối xứng loại 2, hệ thuần nhất ,hpt mà trong hệ có

môt pt đối xứng,hoặc có một pt mà bậc của ẩn như nhau,và một số hpt khác

Các hệ phương trình được giải trên tập hợp số thực

2.2 Phạm vi nghiên cứu

Nội dung phần hệ phương trình và một số bài toán cơ bản, nâng cao nằm trong

chương trình đại số 10, đại số 12 Nâng cao

4 Nhiệm vụ -yêu cầu của đề tài

4.1 Nhiệm vụ: Giúp cho giáo viên thực hiện tốt nhiệm vụ và nâng cao chất lượng giáo

dục, giúp học sinh hình thành tư duy logic kỹ năng phân tích để đi đến một hướng giải

đúng và thích hợp khi gặp bài toán hệ giải phương trình từ phức tạp đưa về dạng đơn

giản

4.2 Yêu cầu của đề tài Nội dung giải pháp rõ ràng không rườm rà lôgíc ,có sáng tạo

đổi mới Giới thiệu được các dạng hệ phương trình cơ bản, đưa ra được giải pháp và một

số ví dụ minh hoạ

Đề tài được sử dụng để giảng dạy và bồi dưỡng cho các em học sinh khối 10, khối

12 hệ THPT ,đặc biệt là hs ôn thi Cao Đẳng,Đại Học và làm tài liệu tham khảo cho các

thầy cô giảng dạy môn Toán Các thầy cô và học sinh có thể sử dụng các bài toán trong

đề tài này làm bài toán gốc để đặt và giải quyết các bài tập cụ thể

VI/ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

Phương pháp: Nghiên cứu lý luận chung.

- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học

- Tổng hợp so sánh , đúc rút kinh nghiệm

Cách thực hiện:- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn

Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy

Tham khảo các đề thi Đại học

PHẦN II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Cơ sở lý luận

Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học

của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng

nhân tài” Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là bộ môn toán học

rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người Môn Toán là một môn học tự

nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần các em hoặc rất yêu thích hoặc ngại

học môn này

Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn toán một

cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập Điều đó thể

hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và cách biến đổi

Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán học một cách có hệ

thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng

các bài tập rồi tổng hợp các cách giải

Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho học sinh

THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán giải hệ phương trình

Trước hết chúng ta tìm hiểu lại một số hệ phươnh trình

1.Hệ phương trình trong đó có một phương trình bậc nhất.

2 Hệ phương trình đối xứng loại 1 Khi thay thế bởi và bởi thì biểu thức trong

mỗi phương trình không đổi, hệ phương trình không đổi

3 Hệ phương trình đối xứng loại 2 Khi thay thế bởi và bởi thì pt thứ nhất

biến thành pt thứ hai và ngược lại Hệ phương trình không đổi

Tuy nhiên khi gặp bài toán giải hpt có nhiều bài toán đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng

kết hợp nhiều kiến thức kĩ năng phân tích biến đổi để đưa phương trình từ dạng phức tạp

về dạng đơn giản

Trong giới hạn của SKKN tôi chỉ hướng dẫn học sinh một số dạng hệ phương trình

thường gặp, một số dạng bài toán không mẫu mực

2 Thực trạnh của đề tài

2.1.Thực trạng của học sinh:

Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ và việc học tập, làm bài tập hàng ngày đặc biệt trong

kỳ thi khảo sát chất lượng lớp 12 học sinh đa số học sinh thường bỏ qua hoặc không giải

được đẫn đến kết quả không cao

2.2 Thực trạng của giáo viên

Trong chương trình SGK Đại số lớp 10 Nâng Cao hiện hành phần hệ phương trình được

trình bày ở chương III rất là ít và hạn hẹp chỉ có hai tiết sách giáo khoa giới thiệu sơ

lược 3 ví dụ , phần bài tập đưa ra sau bài học cũng rất hạn chế Tương tự lớp 12các em

cũng chỉ làm một số dạng đơn giản chủ yếu đưa về hpt dạng ở lớp 10 Như vậy số tiết

phân phối chương trình cho phần này quá ít nên trong quá trình giảng dạy, các giáo viên

không thể đưa ra đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải

cho học sinh

3 Một số giải pháp

Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến của đồng nghiệp

tôi mạnh dạn đưa ra hướng giải quyết các vấn đề trên của học sinh với những giải pháp

giúp học sinh hình thành kĩ năng khi biến đổi và giải hpt

3.1 Giải pháp 1: Phương pháp thế

3.1.1: Một phương trình của hệ là phương trình bậc nhất.Từ phương trình (pt) đó, ta

tính 1 ẩn số theo ẩn kia Thay kết quả đó vào pt còn lại thu được pt một ẩn , từ đó tìm

nghiệm của hệ pt

Thí dụ 1 Giải hệ phương trình

Phân tích:- Nhận thấy (2) là pt bậc nhất nên rút ẩn nọ theo ẩn kia

-Ở pt (1) ẩn y xuất hiện nhiều lần mũ cũng phức tạp hơn nên ta rút x theo y ở (2) rồi thay

vào (1)

gọn ta được pt:

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm ( ) là (1; 1), (0; )

Thí dụ 2 (Khối B-2008)Giải hpt ( )

Phân tích : - Nhận thấy (2) là pt bậc nhất đối với y nên ta sẽ rút y theo x

-Vế trái của (1) là hằng đẳng thức

pt (1) ta có pt

(x=0 (loại trực tiếp từ hệ đã cho).Suy ra

Vậy hệ đã cho có nghiệm ( ) là

Bài tập Giải các hệ phương trình sau:

3.1.2:Trong hệ có một pt chứa pt bậc 2 một ẩn Ta tính một ẩn theo ẩn còn lại rồi thế

vào pt còn lại

Thí dụ 1 Giải hệ phương trình ( )

Phân tích : -(1) là pt bậc nhất nên ta cũng nghĩ rút y, ta sẽ nhóm (1) thành 2 biểu thức

và

Lời giải Ta có (1)

+)Với , thay vào (2) được

+) Với , thay vào (2) được

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là (1; 1) và (1; -1)

Thí dụ 2 Giải hệ phương trình ( )

Phân tích : Biến đổi vế trái của (1) : VT Ta thấy có mối quan hệ với pt

(2) nên ở pt (2) ta nhóm ( ) và thay bởi y

hoặc Lần lượt thế vào phương trình (1) ta cũng được nghiệm hệ đã cho là (0; 4) , (4;

0) ,

Thí dụ 3 (Khối D-2008) Giải hpt

Phân tích : Sau khi đặt điều kiện, ta tìm cách biến đổi một pt

Nhận thấy ở pt (1) chuyển sang vế trái thì vế phải là hằng đẳng thức

và vế trái lúc này Như vậy pt (1) đã được phân tích thành nhân tử

PT (1)

+) ( không thoã mãn (*))

+) , thay vào (2) ta được

Vậy hệ đã cho có nghiệm là (5; 2)

Cách khác: Coi (1) là phương trình bậc 2 theo hoặc

Bài tập Giải các hệ phương trình sau:

3.1.3 Hệ có dạng , trong đó là hàm số đơn điệu và liên tục trên

miền xác định của nó thì có thể suy ra rồi thế vào pt còn lại.

Thí dụ 1 (Đề thi HSG -2012) Giải hệ phương trình

Phân tích: Nhận thấy pt(1) nhiều lần và Ta nhóm chúng lại và lập tức

thấy pt có dạng

Lời giải Biến đổi (1), ta có

(3) Đk:

Xét hàm số ,

, Hàm số đồng biến khi

(3)

Trừ theo vế hai pt trên , biến đổi ta được (

(Vì

thoã mãn (*)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x y) là (2; 1)

Thí dụ 2 (Khối A -2010) Giải hpt (x, y R)

Phân tích: Chúng ta cũng thấy ở pt (1) có 2 biểu thức chỉ có hoặc hoặc không có

chứ xy nên ta tìm cách biến đổi về dạng Đầu tiên là trong căn có 2y ta nhân 2

vậy Ta chuyển vế và biến đổi tiếp

>0, , là hàm đồng biến liên tục với mọi t > 0

Do đó (3)

Phương trình (2) trở thành (*)

Nhận thấy x=0, x= không phải là nghiệm của pt (*)

Suy ra hàm số nghịch biến trong khoảng (0; )

Mặt khác Do đó (*) có nghiệm duy nhất

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x y) là ( ; 2)

Bài tập Giải các hệ phương trình sau:

3.2 Giải pháp 2: Phương pháp đăt ẩn phụ

3.2.1 Hệ là đối xứng loại I Ta thường biến đổi và đặt ,

( đk: S 2 4P),

Thí dụ 1 Giải hệ phương trình

(x , y R)

Phân tích: (2) là pt đối xứng loại 1 và khi khai triển pt (1) nó cũng cho ta một pt đối

xứng loại (1) không khó biến đổi

Lời giải Ta có hệ pt đã cho tương đương với

Đặt , , ( ) hệ đã cho trở thành

Giải hệ phưong trình trên theo phưong pháp thế (hoặc đặt u =P+S, v =P.S ), ta được

Thí dụ 2 (Khối A-2006) Giải hệ phương trình

Phân tích: Nhận thấy ngay đây là dạng hệ đối xứng loại 1 nhưng phải biến đổi pt thứ 2

thì mới đặt ẩn phụ

Ta có hệ pt đã cho tương đương với

Đặt , ( ) ,hệ đã cho trở thành

Giải hệ trên được nghiệm thoã mãn S= 6, P=9

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (3; 3)

.Bài tập Giải các hệ phương trình sau:

1 2

3.2.2 –Hpt trở thành đối xứng loai 1 sau khi đặt ẩn phụ

Thí dụ 1 Giải hệ phương trình (x , y R)

Phân tích : Vai trò x và y ở pt (1) tạm thời thấy bình đẳng nhưng chuyển vế ở pt (2) thì

có x-y và xy ( hệ pt phản đối xứng ), ta đặt ,

Lời giải Ta có hệ pt đã cho tương đương với

Đặt u =x-y, v=x.y, hệ đã cho trở thành :

Giải hệ phưong trình trên được ,

Từ đó tìm x, y ta được bốn nghiệm của hệ là : (-1; -1), (1; 1), (1; 0), (0; 1)

Thí dụ 2 Giải hệ phương trình (x , y R).

Phân tích : Đây là hpt đối xứng loại 1 tuy nhiên nếu đặt ngay , thì hệ pt sẽ

rất phức tạp Mặt khác 2 pt đã cho trong hệ có mối liên hệ với nhau và

Ta đặt ,

u=2,v=2 Từ đó suy ra

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là ( 1; 1)

Bài tập Giải các hệ phương trình sau

3.2.3 Hệ pt có một pt đối xứng Ta thường chọn pt này biến đổi trước

Thí dụ 1 (Khối A-2003) Giải hệ phương trình ( x , y R)

Phân tích : pt(1) đối xứng có thể : hoặc có dạng , là hàm số đồng biến

hoặc có thể biến đổi làm xuất hiệ nhân tử chung

+) x=y thay vào (2) , tìm được nghiệm ,

+) xy=-1 thay vào (2) pt vô nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là ( 1; 1), ( ; ), ( ;

)

Thí dụ 2 Giải hệ phương trình (x , y R) .

Phân tích : (2) là pt đối xứng ta có thể đưa về tổng x+y và tích xy

Lời giải Biến đổi pt (2) (2)

- 2[ ]

+) xy= 1 , thay vào (1) giải pt được y=

Do đó pt có nghiệm (x; y ) là (1; 1), (-1; -1) (*)

+) thay vào (1) ta có

Khi kết hợp ta tìm thêm được ; (**)

Vậy hpt đã cho có 4 bốn nghiệm ( ) ở (*) và (**)

Bài tập Giải các hệ phương trình sau:

3.2 4 Hệ là đối xứng loại II Ta thường lấy pt này trừ pt kia và biến đổi về dạng

Thí dụ Giải hệ phương trình

Phân tích : Đây là hpt đối xứng loại 2 nhưng ta phải bình phương 2 vế các pt rồi mới trừ

vế với vế ph này cho pt kia thì xuất hiện

lấy pt (1) trừ pt (2) và biến đổi ta có x=y

Thay x=y vào pt (1) ta có pt :

(thoã mãn (*) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là (11; 11)

Bài tập Giải các hệ phương trình sau

1.

2

3.2.5.Hệ phương trình mà mỗi pt bậc của x,y có cùng bậc

Nếu là hệ thuần nhất , ta thường xét x=0 (hoặc y=0) có phải là nghiệm không Sau đó

khi x # 0 (y # 0) ta chia cả 2 vế của pt cho x, x 2 , x 3 (hoặc y, y 2 , y3) hoạc đặt x=ky.

Thí dụ 1 (Khối B-2009) Giải hệ phương trình

Phân tích : -(1) là pt bậc nhất đối với x,y nên ta có thể làm như dạng 3.1.1

- Cũng có thể nhận thấy đây là hệ pt mà mỗi pt có bậc x, y như nhau nên ta chia lần lượt

(1) và (2) cho y và y2 (sau khi đã xét y=0) Ta sẽ nhìn ra ngay cách làm

Lời giải Nhận thấy y= 0 không phải là nghiệm của hệ.

Khi y # 0.Chia pt (1) cho y, pt (2) cho y2 theo vế Hệ pt đã cho tương đương với

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là (3; 1),

Thí dụ 2 Giải hệ phương trình

Phân tích : Các pt cùng bậc với nhau Pt (2) chỉ có bậc 2 ta chia cả 2 vế cho y2 xuất hiện

và ( nên ta chia 2 vế của pt (1) cho y3 ta cũng sẽ có và (

Lời giải Nhận thấy y=0 không là nghiệm của hệ

Hệ đã cho tương đương với

Đặt , ( ), hệ đã cho trở thành

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là (0; 2), (0; -2), (-1; 3), (1; -3)

Thí dụ 3 Giải hệ phương trình

Phân tích : Đây là hpt thuần nhất bậc hai , kiểm tra x=0, y=0 có

phải là nghiệm không sau đó đặt x=ky (k

Đặt x=ky thì hệ đã cho trở thành

Vì y nên từ (3) và (4) suy ra

+)Với ta có thay vào (2) ta được

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (2; 1), (-2; -1) (*)

+) Với ta có thay vào (2) ta được

Vậy h pt đã cho có nghiệm là ( ), ( ) (**)

Kết luận : Hệ pt đã cho có bốn nghiệm ở (*) và (**)

Bài tập: Giải các hệ phương trình

3.2.6 Nhóm làm xuất hiện các biểu thức như nhau trong mỗi pt rồi đặt ẩn phụ

Phân tích: Ta để ý thấy ở (2) có và Dễ thấy (1)

cũng lập tức nhóm để có và

Lời giải Hệ đã cho tương đương với

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là ( , , ( ) , (

)

Phân tích : (2) là pt bậc nhất với y nhưng rút y theo x rồi thế vào(1) thì rất phức tạp

nhưng khi đó ta lại có thể thêm 2 vào x2 để có thể phân tich thành nhân tử

Quay lại (1) có y2 - 6y+9=

(y-3)2==(y+1-4)2 và Ta có lời giải

Đặt ( ), , hệ trên có dạng

Thay (4) vào (3) tìm được hoặc (loại)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là (2; 2), (-2; 2), ( ; 5), (- ; 5).

2

3.3 Giải pháp 3: Sử dụng đạo hàm giải một số hpt có chứa tham số

Thí dụ 1 Tìm m để hệ pt sau có nghiệm duy nhất

Phân tích : (1) là pt bậc nhất đối với x và y , còn (2) là pt có 1 căn thức bậc 2 Vậy thì ta

chuyển vế bình phương được pt bậc nhất với y Lúc này ta rút được y từ 2 pt cho ta đươc

1 pt mới 1 ẩn và tham số m (mũ một), ta có pt Ta sử dụng đạo hàm để xét pt

Hệ đã cho tương đương với

Bảng biến thiên

- 0 1

+

2

-Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cần tìm là

Thí dụ 2 (Khối D-2012) Tìm m để hệ pt sau có nghiệm

Phân tích theo 2 hướng: -Hai pt của hệ đều là bậc nhất đối với y nên ta rút y từ 2 pt rồi

biến đổi tiêp đưa về dạng ( bạn đọc thử tìm hiểu )

-Vận dụng các phương pháp đã xét ở trên và nhận thấy ở (1) hệ số 2 có 2 lần xuất hiện

nên ta tìm nhóm lại đồng thời xem pt(2) có , ta có và

.Vậy vế trái của (1) phân tích được thành nhân tử nên pt (2) cũng sẽ

nhóm để làm xuất hiện biêu thức như nhau( dạng 3.2.6)

Lời giải Hệ đã cho tương đương với

Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thoã mãn

, , (loại)

Bảng biến thiên

+

+ 0

-Vậy giá trị cần tìm là