(SKKN HAY NHẤT) môn toán THPT khai thác một số hướng sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức

Sáng kiến kinh nghiệm này giúp học sinh, đặc biệt là học sinh chuyên toán, học sinh các đội tuyển học sinh giỏi, học sinh chuẩn bị thi đại học một số hướng chứng minh bất đẳng thức sử dụ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

“KHAI THÁC MỘT SỐ HƯỚNG SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CHỨNG

MINH BẤT ĐẲNG THỨC”

MỞ ĐẦU

1- Đặt vấn đề:

Thực trạng của vấn đề: Trong chương trình toán Trung học học sinh được làm

quen với bài toán chứng minh bất đẳng thức từ lớp 8 Bài toán chứng minh bất đẳng thức

thường xuyên xuất hiện trong kỳ thi đại học, kỳ thi học sinh giỏi tỉnh, học sinh giỏi Quốc

gia, học sinh giỏi Quốc tế Khi xuất hiện trong các kỳ thi bài toán chứng minh bất đẳng

thức thường là một trong những bài toán khó Sáng kiến kinh nghiệm này giúp học sinh,

đặc biệt là học sinh chuyên toán, học sinh các đội tuyển học sinh giỏi, học sinh chuẩn bị

thi đại học một số hướng chứng minh bất đẳng thức sử dụng đạo hàm, giúp học sinh một

hướng tiếp cận với bài toán chứng minh bất đẳng thức

Ý nghĩa và tác dụng của đề tài: Đổi mới phương pháp giảng dạy môn toán trong giai

đoạn hiện nay như thế nào? Câu hỏi được đặt ra cho những người làm công tác giảng dạy

toán trong trường phổ thông Sáng kiến kinh nghiệm này ngoài việc cung cấp kiến thức

cho học sinh còn đề cập đến việc đổi mới phương pháp dạy học khi dạy các chuyên đề

với mục tiêu nâng cao năng lực tư duy, phán đoán, biết đưa ra con đường hợp lý cho lời

giải; phát huy vai trò chủ động, sáng tạo, tính tích cực của học sinh trong học toán; học

sinh có thể giải một số bài toán khác khi sử dụng bất đẳng thức, học sinh tự tìm tòi, sáng

tạo ra những bài toán mới Việc giảng dạy nội dung của sáng kiến kinh nghiệm này

khích lệ học sinh tìm tòi, sáng tạo trong học toán và giải toán cũng như nghiên cứu toán

học khi ngồi trên ghế nhà trường

Phạm vi nghiên cứu của đề tài: Trong chương trình THPT đạo hàm có nhiều ứng

dụng để giải các dạng toán khác nhau: Ứng dụng đạo hàm giải phương trình; hệ phương

trình; chứng minh bất đẳng thức; tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, tính giới hạn, Có

nhiều phương pháp khác nhau để chứng minh bất đẳng thức, trong phạm vi sáng kiến

kinh nghiệm này chỉ đề cập đến chứng minh bất đẳng thức có ứng dụng đạo hàm và khai

thác các bất đẳng thức trong việc giải quyết các bài toán khác Đây cũng là một phần nội

dung chuyên đề về bất đẳng thức mà tác giả giảng dạy ở các lớp chuyên toán cũng như

được phân công giảng dạy tất cả các đội tuyển quốc gia của tỉnh Hưng Yên trong nhiều

năm qua

2- Phương pháp tiến hành

Giáo viên và học sinh phân tích, tổng hợp, hệ thống kiến thức tổng kết được qua các

bước thực hiện trên mỗi lớp chuyên, đội tuyển sau đây:

- Trang bị kiến thức cơ bản về đạo hàm

- Cung cấp trước một hệ thống bài tập để học sinh tự tìm tòi cách giải ở nhà.

- Sử dụng hệ thống bài tập đã cho học sinh làm, cùng học sinh tổng kết các hướng

chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng đạo hàm

- Liên hệ bất đẳng thức được chứng minh bởi công cụ đạo hàm trong các bài toán

khác

- Sáng tạo các bài toán từ bất đẳng thức cơ bản được chứng minh bởi đạo hàm

Nội dung SKKN này sử dụng giảng dạy cho các lớp chuyên toán, các học sinh giỏi

toán, các đội tuyển học sinh giỏi thi học sinh giỏi tỉnh và học sinh giỏi Quốc gia và có thể

giảng dạy một phần ở các lớp ôn thi đại học

NỘI DUNG

A- Mục tiêu: Đề tài SKKN đảm bảo các nội dung sau

Các định lý và các bất đẳng thức cơ bản

Phần này hệ thống lại các kiến thức cơ bản, các bất đẳng thức cơ bản được chứng

minh bằng công cụ đạo hàm sẽ được sử dụng trong phần sau

Chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng đạo hàm.

Phần này hệ thống lại các hướng chính để chứng minh bất đẳng thức sử dụng công cụ

đạo hàm

Sử dụng các bất đẳng thức được chứng minh bởi công cụ đạo hàm giải các bài toán

khác và sáng tạo những bài toán mới từ các bất đẳng thức được chứng minh bởi

công cụ đạo hàm.

Phần này đưa ra một số bài toán khác giải được trên cơ sở các bất đẳng thức và tạo ra

các bài toán mới từ các bất đẳng thức cơ bản chứng minh bởi công cụ đạo hàm qua đó

khích lệ học sinh tự sáng tác những bài toán mới

Một số bài tập luyện tập

Phần này dùng để cho học sinh củng cố và rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng

thức sử dụng công cụ đạo hàm

B- Giải pháp của đề tài

I- CÁC ĐỊNH LÝ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN ĐƯỢC CHỨNG MINH BẰNG

Định nghĩa hàm số lõm, hàm số lồi

hữu hạn điểm) thì hàm số lõm trên

hữu hạn điểm) thì hàm số lồi trên

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

Chứng minh tương tự b)

1.2 Các bất đẳng thức cơ bản chứng minh bằng đạo hàm

1.2.1 Bất đẳng thức liên quan tới sinx

1.2.2 Bất đẳng thức liên quan tới cosx

1.2.3 Bất đẳng thức liên quan tới tanx

1.2.4 Bất đẳng thức liên quan tới

1.2.5 Bất đẳng thức liên quan tới lnx

1.2.6 Bất đẳng thức Becnuli(*)

Các bất đẳng thức trên đều chứng minh được bằng công cụ đạo hàm, việc chứng minh

dành cho học sinh tự làm như bài tập ở nhà để chuẩn bị cho phấn sau.

(*) Học sinh thi học sinh giỏi Quốc gia được sử dụng bđt Jensen; Trêbưsep và Becnuli

II - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Một số hướng sử dụng đạo hàm trong bài toán chứng minh bất đẳng thức (bđt)

số trên Từ sự biến thiên của hàm số trên ta chứng minh

từ đó suy ra điều phải chứng minh (đpcm)

2 Để chứng minh ta biến đổi về dạng

Bằng cách xét hàm số khi đó:

Nếu ta chứng minh đồng biến

4 Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản được chứng minh bằng đạo hàm để chứng minh

bất đẳng thức Các bất đẳng thức cơ bản có thể nói đến ở phần 1 như:

5 Để chứng minh bất đẳng thức dạng a<b<c ta có thể :

- Xác định phương trình nhận b làm nghiệm: (*)

- Xét sự biến thiên của trên D

Chứng minh phương trình (*) trên D có nghiệm duy nhất và phương trình (*) trên

cũng có nghiệm duy nhất từ đó suy ra

Ví dụ 10.

Chứng minh rằng:

Lời giải:

suy ra kết luận của bài toán.

6 Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản được chứng minh bằng đạo hàm và các bất đẳng

Ví dụ 13

Nhận xét: Nhìn vào bđt cần chứng minh ta liên tưởng tới bđt Trêbưsep Do đó không

bằng cách sử dụng bất đẳng thức Khi đó áp dụng bđt Trêbưsep ta có:

- Liên hệ bài toán với bất đẳng thức Becnuli:

dấu bằng xẩy ra

- Liên hệ với bđt trong tam giác:

và bài toán được giải quyết

Nhận xét 2: Ta có

Liên hệ với bđt Jensen dẫn đến việc xét hàm số

được giải quyết

7 Sử dụng định lý Lagrange

Nếu bất đẳng thức cần chứng minh có dạng ta có thể sử dụng định

lý Lagrange như sau:

Xét liên tục trên , có đạo hàm trên

thì lấy loganepe hai vế

- Nếu bất đẳng thức cần chứng minh đồng bậc thì có thể chuẩn hóa Tùy thuộc vào

từng bài toán cụ thể ta lụa chọn cách chuẩn hóa phù hợp

Ví dụ 19.

lnP P

III - MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI ĐƯỢC KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ

SÁNG TẠO NHỮNG BÀI TOÁN MỚI TỪ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐƯỢC

CHỨNG MINH BỞI CÔNG CỤ ĐẠO HÀM

1 Một số bài toán khác giải được khi liên hệ với bđt được chứng minh bởi công cụ đạo

toán Bất đẳng thức có liên quan đến lnx được nghĩ đến là: x -

22

2) Ta có : 12

n > 0 ,

22

2n < f (n )

2

2 < 22

n

32

-94

n

n + +

n n n n

kn

2

1  1 <

k n

n + +

n n

n n

kn

2

1  1 <2k n (1)  k 2; Dễ thấy

k n

kn

2

1  1 <2k n đúng  n 2 (*) 

k n

kn

2

1  1 =

k n

cho: 2C k =

k n

Xuất phát từ bđt < cos với x ( 0; ) ta có bài toán sau:

Bài 1 Cho tam giác ABC nhọn Chứng minh rằng:

+ + < cos + cos + cos

hay cosx < cos2 (*) với x ( 0; )

Xét f(x) = cos2 - cosx trên ( 0; )

f ’

f “

(x) = cosx - cos x Với 0 < x < x < cosx > cos x f “

điều phải chứng minh

Tương tự như vậy ta giải quyết bài toán khó hơn:

Xuất phát từ bđt cosx > 1 - x 2 (*) với x ( 0; ), ta có bài toán sau:

Bài 2 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

tgx + sinx > 2x  tgx( 1+cosx) > 2x  1 cosx2x > tgx1 (2) với x ( 0; )

Do đó có thể có cách giải thứ 2 cho bài toán này: sử dụng bất đẳng thức (2) và bất đẳng

Xuất phát từ bđt 2lnx -x 2 +1 0 (3) với x > 0 ta có bài toán sau:

Bài 3 Tam giác thỏa mãn

MỘT SÔ BÀI TẬP LUYỆN TẬP

KẾT LUẬN

KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

1- Nội dung sáng kiến kinh nghiệm này đã được giảng dạy cho học sinh các lớp chuyên

toán và học sinh các đội tuyển Quốc gia trong những năm qua, góp phần phát triển tư

duy, tính sáng tạo cho học sinh cũng như kỹ năng tính toán; giúp học sinh hiểu sâu sắc

hơn kiến thức trong chương trình

Học sinh rất hào hứng khi học chuyên đề này, trong các kỳ thi có bài toán về ứng dụng

đạo hàm chứng minh bất đẳng thức học sinh đều làm khá tốt Chẳng hạn bài toán 2 trong

đề thi chọn học sinh giỏi vòng 2 tham dự kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia năm 2000:

2 Trong những năm qua sử dụng nội dung này giảng dạy cho học sinh các đội tuyển

quốc gia đã góp phần tạo nên những kết quả rất đáng kích lệ:

Năm học 2002-2003 có 5/8 học sinh đội tuyển HSG quốc gia đoạt giải trong đó có 4

giải ba, 3 học sinh được Bộ GD&ĐT triệu tập tham dự kỳ thi chọn đội tuyển Olympic

toán quốc tế năm 2003 Cũng trong năm học này có 12/12 học sinh dự thi HSG tỉnh có

giải trong đó có 3 giải nhất

Năm học 2005-2006 có 8/8 học sinh đội tuyển HSG quốc gia đoạt giải trong đó có 3

giải nhì, 3 giải ba và 2 giải khuyến khích, có 4 học sinh được Bộ GD&ĐT triệu tập tham

dự kỳ thi chọn đội tuyển Olympic toán quốc tế năm 2006

Năm học 2007-2008 có 10/10 học sinh đội tuyển HSG tỉnh lớp 12 có giải, trong đó có 2

giải nhất 5 giải nhì, 3 giải ba

Năm học 2008-2009 cùng với các đồng nghiệp tổ toán giảng dạy đội tuyển học sinh

giỏi quốc gia và có 3/6 học sinh đoạt giải

Năm học 2010-2011 cùng với các đồng nghiệp tổ toán giảng dạy đội tuyển học sinh

giỏi quốc gia và có 5/6 học sinh đoạt giải

Năm học 2011-2012 cùng với các đồng nghiệp tổ toán giảng dạy đội tuyển học sinh

giỏi quốc gia và có 6/6 học sinh đoạt giải

Năm học 2012-2013 cùng với các đồng nghiệp tổ toán giảng dạy đội tuyển học sinh

giỏi quốc gia và có 8/8 học sinh đoạt giải

Năm học 2013-2014 cùng với các đồng nghiệp tổ toán giảng dạy đội tuyển học sinh

giỏi quốc gia và có 5/8 học sinh đoạt giải

KẾT LUẬN

Việc đổi mới phương pháp giảng dạy môn toán khi dạy các chuyên đề với mục tiêu

nâng cao năng lực tư duy, phán đoán, phát huy vai trò chủ động, sáng tạo, tính tích cực

của học sinh trong học toán qua việc khai thác kiến thức, tập sáng tạo các bài toán mới là

rất cần thiết, hy vọng có dịp tiếp tục trình bầy sáng kiến kinh nghiệm về nội dung này

trong những chuyên đề khác, trong những năm học tiếp theo

Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh nghiệm của bản thân tôi viết, không sao chép nội

dung của người khác.

Hưng Yên, ngày 15 tháng 3 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Thanh Giang