(SKKN HAY NHẤT) môn toán THPT kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức

Trong kỳ thi tuyển sinh Đại học thì bài toán bất đẳng thức là bài toán khó nhất trong đề thi mặc dù chỉ cần sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản trong Sách giáo khoa nhưng học sinh vẫn gặ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

“KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC”

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Có thể nói rằng bài toán bất đằng thức nói chung và bài toán tìm GTNN, GTLN nói

riêng là một trong nhưng bài toán được quan tâm đến nhiều ở các kỳ thi học sinh giỏi,

tuyển sinh Đại học,…và đặc biệt hơn nữa là với xu hướng ra đề chung của Bộ GD – ĐT

Trong kỳ thi tuyển sinh Đại học thì bài toán bất đẳng thức là bài toán khó nhất trong đề

thi mặc dù chỉ cần sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản trong Sách giáo khoa nhưng học

sinh vẫn gặp nhiều khó khăn do một số sai lầm do thói quen Trong quá trình trực tiếp

giảng dạy và nghiên cứu tôi thấy đây là dạng toán không chỉ khó mà còn khá hay, lôi

cuốn được các em học sinh khá giỏi Để giúp học sinh hiểu sâu hơn về bài toán cực trị

đặc biệt là các trường hợp dấu đẳng thức xảy ra, tôi viết chuyên đề “Kỹ thuật chọn điểm

rơi trong bất đẳng thức”, để viết sáng kiến kinh nghiệm và trao đổi với đồng nghiệp

Đứng trước thực trạng trên, với tinh thần yêu thích bộ môn, nhằm giúp các em hứng thú hơn, tạo cho các em niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn

nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho các học sinh

tự học, tự nghiên cứu Được sự động viên, giúp đỡ của các thầy trong hội đồng bộ môn

Toán của sở GD, Ban Giám hiệu, đồng nghiệp trong tổ Toán – Tin học trường THPT

hàm Rồng Tôi đã mạnh dạn viết chuyên đề

“Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức”.

II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI

1 Thuận lợi

- Kiến thức đã được học, các bài tập đã được luyện tập

- Học sinh hứng thú trong tiết học, phát huy được khả năng sáng tạo, tự học và yêu thích môn học

- Có sự khích lệ từ kết quả học tập của học sinh khi thực hiện chuyên đề

- Được sự động viên của BGH, nhận được động viên và đóng góp ý kiến cuả đồng

nghiệp

2 Khó khăn

- Giáo viên mất nhiếu thời gian để chuẩn bị các dạng bài tập

- Đa số học sinh yếu bất đằng thức bài toán tìm GTNN, GTLN

3 Số liệu thống kê

Trong các năm trước, khi gặp bài toán liên quan đến bất đằng thức bài toán tìm GTNN, GTLN số lượng học sinh biết vận dụng được thể hiện qua bảng sau:

III NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ

1 Cơ sở lý luận

Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy luận, khả năng tư

duy Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt hoc sinh có được những kiến thức nâng cao một

cách tự nhiên (chứ không áp đặt ngay kiến thức nâng cao)

2 Nội dung

2.1 BÀI TOÁN MỞ ĐẦU

Bài toán 1 Cho , tìm GTNN của

Giải

Lời giải 1 Ta có:

Không nhận biết được

Nhận biết, nhưng không biết vận dụng

Nhận biết và

dụng ,chưa giải được hoàn chỉnh

Nhận biết và biết vận dụng , giải được bài hoàn chỉnh

Lời giải 2 Ta có:

Lời bình: Bài toán 1 áp dụng bất đẳng thức Lời giải 1 tại sao sai?

Lời giải 2 tại sao lại tách ? ? Làm sao nhận biết được điều đó…?

Đó chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Và qua chuyên đề này chúng

ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” trong việc giải các bài toán cực trị.

2.1 PHƯƠNG PHÁP CHỌN ĐIỂM RƠI

1 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy

Bất đẳng thức Cauchy là một bất đẳng thức quen thuộc và có ứng dụng rất rộng rãi Đây

là bất đẳng thức mà bạn đọc cần ghi nhớ rõ ràng nhất, nó sẽ là công cụ hoàn hảo cho việc

chứng minh các bất đẳng thức

* Bất đẳng thức Cauchy

* Một vài hệ quả quan trọng:





Trong chứng minh bất đẳng thức, đôi khi việc ghép và sử dụng các bất đẳng thức cơ

sở không được thuận lợi và dễ dàng Khi sử dụng liên tiếp nhiều bất đẳng thức ta phải

chú ý tới điều kiện để bất đẳng thức xảy ra, để điều kiện này luôn được thỏa mãn suốt quá

trình ta sử dụng bất đẳng thức trung gian Và bất đẳng thức Cauchy là một trong những

bất đẳng thức đó Để thấy được kĩ thuật này như thế nào ta sẽ đi vào một số ví dụ sau:

Ví dụ 1: Cho a 3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=a+

Phân tích và tìm tòi lời giải

Xét bảng biến thiên của a, và S để dự đoán Min S

…

Nhìn lại bảng biến thiên ta thấy khi a tăng thì S càng lớn và từ đó dẵn đến việc dự

đoán khi a=3 thì S nhận giá trị nhỏ nhất.Để dễ hiểu và tạo sự ấn tượng ta sẽ nói rằng Min

S= đạt tại “Điểm rơi : a=3”

Do bất đẳng thức côsi chỉ xảy ra dấu bằng tại điều kiện các số tham gia phải bằng

nhau ,nên tại “Điểm rơi:a=3”ta không thể sử dụng bất đẳng thức côsi trực tiếp cho 2 số a

và vì 3 Lúc này ta sẽ giả định sử dụng bất đẳng thức côsi cho cặp số sao

cho tại “điểm rơi:a=3”thì tức là ta có lược đồ “điểm rơi” sau đây:

Sơ đồ:

a=3

Từ đó ta biến đổi theo sơ đồ “Điểm rơi”được nêu trên

Lời giải: S=a+ = + 2 + =

Vậy với a=3 thì Min S=

Ví dụ 2: Cho a 6.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=a +

Sơ đồ điểm rơi :

Vậy với a=6 thì Min S=2a+3

Sai lầm thường gặp:

Sai lầm 1: Ta có :

Sai lầm 2:

Dấu bằng xảy

Nguyên nhân sai lầm:

Sai lầm 1: Học sinh chưa có khái niệm “điểm rơi”, việc tách là do thói

bất đẳng thức không xảy ra không kết luận được

Sai lầm 2: Học sinh đã có khái niệm điểm rơi, dự đoán được dấu bằng khi nên

đã tách các số hạng và khi là đúng, nhưng bước cuối học sinh làm sai

Lời giải đúng:

Do P là biểu thức đối xứng với , ta dự đoán đạt tại , ta có:

Ví dụ 4: Cho , tìm GTNN của biểu thức

Sai lầm thường gặp:

Ta có:

Nguyên nhân sai lầm:

Lời giải đúng:

Ta không đánh giá tiếp được cho nên ta phải áp dụng bất đẳng thức cho 5 số:

Dấu bằng xảy

2 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Bunhia

Cũng như bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức này cũng cần có một phương pháp

để cân bằng các hệ số khi ta giải các bài toán liên quan đến bất đẳng thức này

* Bất đẳng thức Bunhia

Cho số dương ( ): ta có:

Dấu “=’ xảy ra

* Một vài hệ quả quan trọng

Dạng 1:

Dạng 2:

Dạng 3:

Ví dụ 1:Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

S=

Phân tích và tìm tòi lời giải:Xét dang đặc biệt với n=2:

Dấu bằng xẩy ra

Ý nghĩa: chuyển đổi một biểu thức ở trong căn thành một biểu thức khác ở ngoài căn Xét

đánh giá giả định với các số α, β









 











































b

a b

a b











2 2

2 2

2 2 2

(1)

+ (2)

(3)



Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán S=So tại điểm rơi a=b=c=2, khi đó

tất cả các bất đẳng thức (1), (2), (3) đồng thơi xảy ra dấu bằng tức là ta có sơ đồ điểm rơi

sau:

Kết hợp với biến đổi theo “kỹ thuật điểm rơi trong cối ” ta có lời giải sau:

Lời giải đúng:











 















 





b

a b

a b

17

1 ) 1 4 (

1 17

1

2

2 2

2









 















 





c

b c

b c

17

1 ) 1 4 (

1 17

1

2

2 2

2

_

 S

4



 1





Với a=b=c=2 thì Min S=

a,b,c > 0

Ví dụ 2: Cho Tìm Min của S=

Bình luận và lời giải

Phân tích để tìm lời giải: Xét đánh giá giả định với các số

c b

a c

b

a







































 2 2 2  

2 1

(1)

(3)































a c c b b a c

b a

.

2



Do biểu thức đối xứng với a,b,c nên dứ đoán S=So tại điểm rơi a=b=c=2, khi đó các bất

dẳng thức (1), (2), (3)đồng thời xảy ra dấu bằng tức là có sơ đồ điểm rơi sau đây:

*Sơ đồ điểm rơi:

a=b=c=2 

4



 1





Từ đó ta có lời giải sau đây:

*Lời giải đúng:

c b

a c

b

a







































 1 ( 4 2 1 2 ) 4 1

2 2

+



a c c b b a c b a a c c b b a c

b a































.

3 )

(

4

3

) (

6 2

9 )

( 6 2

9 8

) (

8

31

c b a c

b a

c b a c b a

























Với a=b=c=2 thì min S=

Ví dụ3: Cho a, b, c > 0 thoả mãn a+b+c+ Chứng minh rằng

S=

*Lời giải:

Dự đoán điểm rơi: a = b = c = 2

Sử dụng bất đẳng thức bunhiacôpski có:

_

+9(a+b+c)+ab+bc+ca

* Bài tập tương tự (trích dẫn trong các đề thi đại học)

Bài 2: Cho là 3 số thỏa , chứng minh rằng:

(đề tham khảo 2005)

Bài 4: Cho là các số dương thỏa mãn

Bài 5: Cho , tìm GTNN của các biểu thức sau:

Chú ý:

Cần chú ý hai bất đẳng thức Côsi và Bunhiacôpxki, biết được các dấu hiệu khi nào dùng bất đẳng thức nào.Phát hiện các dấu hiệu như có các bình phương thì thường phải

nghĩ tới Bunhiacopxki, có điều kiện các số dương thì khả năng nghĩ tới Côsi Cách giải

phải đi ngược qui trình thông thường Đầu tiên phải dự đoán được điểm rơi xảy ra tại đâu,

sau đó lồng ghép các số trong bất đẳng thức sao cho khi xảy ra dấu bằng tại đúng điểm

rơi đã dự đoán…

IV KẾT QỦA

Chuyên đề này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy 10NC và Luyện thi

Đại học trong hai năm gần đây Trong quá trình học chuyên đề này, học sinh thực sự thấy

tự tin, biết vận dụng khi gặp các bài toán liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu

thích môn toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các

kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu

Kết quả sau khi thực hiện chuyên đề:

Không nhận biết được

Nhận biết, nhưng không biết vận dụng

Nhận biết và

dụng ,chưa giải được hoàn chỉnh

Nhận biết và biết vận dụng , giải được bài hoàn chỉnh

V GIẢI PHÁP MỚI

Dạng toán Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức nói chung rất đa dạng và

phong phú Mỗi bài toán lại có rất nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh

hoạt các kiến thức đã học sẽ làm cho học sinh phát triển tư duy sáng tạo Chuyên đề này

chỉ mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sự sáng tạo Để

đạt kết quả cao học sinh cần luyện tập nhiều, có thêm nhiều thời gian để sưu tầm các tài

liệu tham khảo liên quan

VI THỰC TIỄN GIẢNG DẠY

1 Quá trình áp dụng

Bằng một chút vốn hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy một số năm, tôi đã hệ thống

được một số kiến thức liên quan, sưu tầm và tích lũy được một số bài tập phù hợp theo

mức độ từ dễ đến khó để cho học sinh tham khảo tự giải

2 Hiệu quả sau khi sử dụng

Sau khi học sinh học xong chuyên đề này học sinh thấy tự tin hơn, hứng thú hơn, tạo

cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng,

linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học và tự nghiên

cứu

3 Bài học kinh nghiệm

Từ thực tế giảng dạy chuyên đề này, một kinh nghiệm được rút ra là trước hết học

sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản, biết vận dụng linh hoạt các kiến thức này, từ đó

mới dạy các chuyên đề mở rộng, nâng cao, khắc sâu kiến thức một cách hợp lý với các

đối tượng học sinh nhằm bồi dưỡng năng khiếu, rèn kỹ năng cho học sinh

Chuyên đề này chủ yếu đưa ra các bài tập từ đơn giản đến nâng cao từ đó hình thành

kỹ năng, phương pháp giải Do đó khi giảng dạy phải cung cấp nhiều dạng bài tập khác

nhau để phát triển tư duy của học sinh

VII KẾT LUẬN

Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải song việc tìm ra một lời giải hợp lý, ngắn

gọn thú vị và độc đáo là một việc không dễ Do đó đây chỉ là một chuyên đề trong rất

nhiều chuyên đề, một phương pháp trong hàng vạn phương pháp để giúp phát triển tư

duy, sự sáng tạo của học sinh Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm chắc

các kiến thức cơ bản sau đó là cung cấp cho học sinh cách nhận dạng bài toán, thể hiện

bài toán từ đó học sinh có thể vân dụng linh hoạt các kiến thưc cơ bản, phân tích tìm ra

hướng giải, bắt đầu từ đâu và bắt đầu như thế nào là rất quan trọng để học sinh không sợ

khi đứng trước một bài toán khó mà dần dần tạo sự tự tin, gây hứng thú say mê môn toán,

từ đó tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu

Tuy nội dung của chuyên đề khá rộng, song trong khuôn khổ thời gian có hạn người viết cũng chỉ ra được các ví dụ, bài toán điển hình

Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để chuyên đề

này được đầy đủ hoàn thiện hơn

VII TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Bài tập đại số lớp 10, Bài tập hình học 12 – nhà XBGD năm 2008

2 Tạp chí Toán học và tuổi trẻ năm 2010

3 Các dạng Toán LT ĐH của Phan Huy Khải- NXB Hà Nội năm 2002

4 263 bài bất đẳng thức của Nguyễn Vũ Thanh-NXB Giáo Dục

5 Bất đẳng thức của Trần Văn Hạo-NXB Giáo Dục năm 2009

Thanh Hóa, ngày 09 tháng 05 năm 2013

Người thực hiện

Lê Thị Thuỷ