Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp một sốnăm học, tôi đã phát hiện ra rằng còn rất nhiều họcsinh thực hành kỹ năng giải toán về “căn bậc hai –căn bậc ba” còn yếu, kém trong đó có
Trang 1PHÁT HIỆN VÀ BIỆN PHÁP KHẮC
PHỤC NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN VỀ CĂN
BẬC HAI.
I PHẦN MỞ ĐẦU.
1 Lí do chọn đề tài.
Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp một sốnăm học, tôi đã phát hiện ra rằng còn rất nhiều họcsinh thực hành kỹ năng giải toán về “căn bậc hai –căn bậc ba” còn yếu, kém trong đó có rất nhiều họcsinh chưa thực sự hiểu kỹ về căn bậc hai – căn bậc bavà trong khi thực hiện các phép toán về căn bậc hai –căn bậc ba rất hay có sự nhầm lẫn hiểu sai đầu bài,thực hiện sai mục đích… Việc giúp học sinh nhận ra sựnhầm lẫn và giúp các em tránh được sự nhầm lẫnđó là một công việc vô cùng cần thiết và cấpbách nó mang tính đột phá và mang tính thời cuộc rấtcao, giúp các em có một sự am hiểu vững trắc về lượngkiến thức căn bậc hai (đại diện cho căn bậc chẵn)căn bậc ba (đại diện cho căn bậc lẻ) tạo nền móngđể tiếp tục nghiên cứu các dạng toán cao hơn saunày
a Cơ sở ký luận
Theo tình thực tế của việc giải toán của HS cho thấycác em còn yếu, thường không nắm vững kiến thức
cơ bản, hiểu một vấn đề chưa chắc, nắm bắt kiếnthức còn chậm, thiếu căn cứ trong suy luận sử dụngngôn ngữ và kí hiệu toán học chưa chính xác, thiếuthận trọng trong tính toán.Vì sao dẫn đến điều này tacó thể chia làm hai nguyên nhân:
- Nguyên nhân khách quan:
+ Số tiết luyện tập trên lớp theo phân phốichương trình vẫn còn ít
+ Lượng kiến thức mới được phân bố cho một sốtiết học còn quá tải
+ Phần nhiều bài tập cho về nhà không có sự dẫn dắt,giúp đỡ trực tiếp của GV
Trang 2+ Số lượng HS trên một lớp khá đông nên thờigian GV hướng dẫn cho những HS thường gặp phảikhó khăn còn hạn chế.
+ Một số GV thường dùng tiết bài tập để chữabài tập cho HS
+ Một số tiết dạy GV chưa phát huy được khảnăng tư duy của HS
+ Một số GV có sử dụng phương pháp dạy học mà
ở đó chưa phát huy hết đặt thù của bộ môn
+ Một bộ phận nhỏ HS chưa chăm chỉ, lơ là trongviệc học,chưa tự giác khắc phục những kiến thứcmình bị hỏng trong quá trình giải bài tập
Từ những nguyên nhân trên đã dẫn đến một sốtồn tại sau: HS thường mắc phải sai lầm khi giải cácbài tập do không nắm vững kiến thức cơ bản, tiếpthu kiến thức chậm, học tập thụ động, giải bài tậpcẫu thả, chép bài của các HS khá giỏi để đối phómột cách máy móc làm ảnh hưởng đến kết quả họctập
b Cơ sở thực tiễn.
1 Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn toán và thamkhảo ý kiến của các đồng nghiệp nhiều năm kinhnghiệm, tôi nhận thấy : trong quá trình hướng dẫn họcsinh giải toán Đại số về căn bậc hai thì học sinh rấtlúng túng khi vận dụng các khái niệm, định lý, bấtđẳng thức, các công thức toán học
Sự vận dụng lí thuyết vào việc giải các bài tậpcụ thể của học sinh chưa linh hoạt Khi gặp một bàitoán đòi hỏi phải vận dụng và có sự tư duy thì họcsinh không xác định được phương hướng để giải bàitoán dẫn đến lời giải sai hoặc không làm được bài
Một vấn đề cần chú ý nữa là kỹ năng giảitoán và tính toán cơ bản của một số học sinh còn rấtyếu
Để giúp học sinh có thể làm tốt các bài tập vềcăn bậc hai trong phần chương I đại số 9 thì người thầyphải nắm được các khuyết điểm mà học sinh thườngmắc phải, từ đó có phương án “phát hiện và khắcphục những sai lầm khi giải toán về căn bậc hai”
Trang 32 Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Tôi nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này vớimục đích như sau:
+ Giúp giáo viên toán THCS quan tâm hơn đến mộtphương pháp dạy học tích cực rất dễ thực hiện
+ Giúp giáo viên toán THCS nói chung và GV dạytoán 9 THCS nói riêng có thêm thông tin về PPDH tíchcực này nhằm giúp họ dễ dàng phân tích để đưa rabiện pháp tối ưu khi áp dụng phương pháp vào dạy họcvà trong sáng kiến này cũng tạo cơ sở để các GVkhác xây dựng sáng kiến khác có phạm vi và quy môxuyên suốt hơn
+ Qua sáng kiến này tôi muốn đưa ra một số lỗimà học sinh hay mắc phải trong quá trình lĩnh hội kiếnthức ở chương căn bậc hai để từ đó có thể giúp họcsinh khắc phục các lỗi mà các em hay mắc phải trongquá trình giải bài tập hoặc trong thi cử, kiểm tra…
Cũng qua sáng kiến này tôi muốn giúp GV toán 9 cóthêm cái nhìn mới sâu sắc hơn, chú ý đến việc rènluyện kỹ năng thực hành giải toán về căn bậc haicho học sinh để từ đó khai thác hiệu quả và đào sâusuy nghĩ tư duy lôgic của học sinh giúp học sinh pháttriển khả năng ngay trong con người học sinh
+ Qua sáng kiến này tôi cũng tự đúc rút cho bảnthân mình những kinh nghiệm để làm luận cứ chophương pháp dạy học mới của tôi những năm tiếptheo
3 Phương pháp tiến hành.
1 Lập kế hoạch nghiên cứu nội dung viết sángkiến kinh nghiệm
2 Trao đổi thảo luận cùng đồng nghiệp
3 Đăng ký sáng kiến, làm đề cương
4 Thu thập, tập hợp số liệu và nội dung phục vụcho việc viết sáng kiến Qua khảo sát, các bài kiểmtra, các giờ luyện tập, ôn tập
5 Phân loại các sai lầm của học sinh trong khi giải
Trang 46 Đưa ra định hướng, các phương pháp tránh các sailầm đó Vận dụng vào các ví dụ cụ thể.
7 Tổng kết, rút ra bài học kinh nghiệm
Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy bộ môn toán củacác giáo viên có kinh nghiệm của trường trong nhữngnăm học trước và vốn kinh nghiệm của bản thân đãrút ra được một số vấn đề có liên quan đến nội dungcủa sáng kiến
Trong những năm học vừa qua chúng tôi đã quantâm đến những vấn đề mà học sinh mắc phải Quanhững giờ học sinh làm bài tập tại lớp, qua các bàikiểm tra dưới các hình thức khác nhau, bước đầu tôiđã nắm được các sai lầm mà học sinh thường mắcphải khi giải bài tập Sau đó tôi tổng hợp lại, phânloại thành hai nhóm cơ bản
Trong quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệmnày tôi đã sử dụng những phương pháp sau :
- Quan sát trực tiếp các đối tượng học sinh để pháthiện ra những vấn đề mà học sinh thấy lúng túng, khókhăn khi giáo viên yêu cầu giải quyết vấn đề đó
- Điều tra toàn diện các đối tượng học sinh 3 lớp 9với tổng số 117 học sinh để thống kê học lực của họcsinh Tìm hiểu tâm lý của các em khi học môn toán,quan điểm của các em khi tìm hiểu những vấn đề vềgiải toán có liên quan đến căn bậc hai (bằng hệthống các phiếu câu hỏi trắc nghiệm)
- Nghiên cứu sản phẩm hoạt động của GV và HSđể phát hiện trình độ nhận thức, phương pháp vàchất lượng hoạt động nhằm tìm giải pháp nâng caochất lượng giáo dục
- Thực nghiệm giáo dục trong khi giải bài mới, trongcác tiết luyện tập, tiết trả bài kiểm tra … Tôi đã đưavấn đề này ra hướng dẫn học sinh cùng trao đổi, thảoluận bằng nhiều hình thức khác nhau như hoạt độngnhóm, giảng giải, vấn đáp gợi mở để học sinh khắcsâu kiến thức, tránh được những sai lầm trong khi giảibài tập Yêu cầu học sinh giải một số bài tập theonội dung trong sách giáo khoa rồi đưa thêm vào đó
Trang 5những yếu tố mới, những điều kiện khác để xem xétmức độ nhận thức và suy luận của học sinh.
- Phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục khiáp dụng nội dung đang nghiên cứu vào thực tiễn giảngdạy nhằm tìm ra nguyên nhân những sai lầm mà họcsinh thường mắc phải khi giải toán Từ đó tổ chứccó hiệu quả hơn trong các giờ dạy tiếp theo
4 Cơ sở và thời gian tiến hành.
Những giờ giảng dạy trên lớp, qua bài kiểm trađầu giờ, qua luyện tập, ôn tập GV cần lưu ý đếncác bài toán về căn bậc hai, xem xét kĩ phần bàigiải của học sinh, gợi ý để học sinh tự tìm ra những saisót (nếu có) trong bài giải, từ đó giáo viên đặt racác câu hỏi để học sinh trả lời và tự sửa chữa phầnbài giải cho chính xác
Qua bài kiểm tra 15 phút thì tỉ lệ học sinh mắc sailầm trong khi giải toán tìm căn bậc hai của 120 học sinhlớp 9 năm học 2007-2008 là: 33/120 em chiếm 27,5%
Trong bài kiểm tra chương I - Đại số 9 năm học
2007-2008 của 120 học sinh thì số học sinh mắc sai lầm về giảitoán có chứa căn bậc hai là 43/120 em chiếm 35,8%
(nghiên cứu tổng hợp qua giáo viên dạy toán 9 năm học2007-2008)
Như vậy số lượng học sinh mắc sai lầm trong khi giảibài toán về căn bậc hai là tương đối cao, việc chỉ racác sai lầm của học sinh để các em tránh được khi làmbài tập trong năm học 2008-2009 này là một côngviệc vô cùng quan trọng và cấp thiết trong quá trìnhgiảng dạy ở trường THCS Tăng Bạt Hổ
Như đã trình bày ở trên nên trong sáng kiến nàytôi chỉ nghiên cứu trên hai nhóm đối tượng cụ thểsau :
1 Giáo viên dạy toán 9 THCS
2 Học sinh lớp 9 THCS: bao gồm 3 lớp 9 với tổng số
117 học sinh
Thời gian nghiên cứu được chia làm 3 giai đoạnchính :
1 Giai đoạn 1 :
Trang 6Bắt đầu từ ngày 05 tháng 9 năm 2007 đến ngày
30 tháng 10 năm 2007
2 Giai đoạn 2 :Bắt đầu từ ngày 25 tháng 8 năm 2008 đến ngày
29 tháng 10 năm 2008
3 Giai đoạn 3 : Hoàn thành và đánh giá sáng kiếnkinh nghiệm 15 tháng 11 năm 2008
II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
A KIẾN THỨC CƠ BẢN:
- Căn bậc hai của một số a không âm là số xsao cho x2 = a
- Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đốinhau : sốdương kí hiệu là và số âm kí hiệu là -
- Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, taviết = 0.
- Căn bậc hai số học:
- Liên hệ của phép khai phương với phép bìnhphương(với a 0, có a 2 a; với a bất kỳ có a2 |a|)
- Liên hệ phép khai phương với quan hệ thứ tự(SGKthể hiện bởi Định lý về so sánh các căn bậc hai sốhọc : “Với a 0, b 0, ta có : a < b a b ”)
- Liên hệ phép khai phương với phép nhân vàphép chia(thể hiện bởi: định lý “ Với a 0, b 0, tacó : ab a b” và định lý “ Với a 0, b > 0, ta có:
b
a b
Trang 7B A
AB (với A, B là hai biểu thức mà A
A2 | | (với A, B là hai biểu thức mà B
0 )
AB B B
A (với A, B là biểu thức và B >
0)
2
)(
B A
B A C B A
B A C B A
1 Điểm mới :
- Khái niệm số thực và căn bậc hai đã được giớithiệu ở lớp 7 và tiếp tục sử dụng qua một số bàitập ở lớp 8 Do đó, SGK này chỉ tập trung vào giớithiệu căn bậc hai số học và phép khai phương
- Phép tính khai phương và căn bậc hai số học đượcgiới thiệu gọn, liên hệ giữa thứ tự và phép khaiphương được mô tả rõ hơn sách cũ ( nhưng vẫn chỉ làbổ sung phần đã nêu ở lớp 7)
Trang 8- Các phép biến đổi biểu thức chứa căn thứcbậc hai trình bày nhẹ hơn (nhẹ căn cứ lý thuyết, nhẹmức độ phức tạp của các bài tập)
- Cách trình bày phép tính khai phương và phép biếnđổi biểu thức chứa căn thức bậc hai được phân biệtrạch ròi hơn ( Tên gọi các mục Đ3 và Đ4 và cácchuyển ý khi giới thiệu các phép biến đổi sau khi nêutính chất phép khai phương thể hiện điều đó)
- Cách thức trình bày kiến thức, rèn luyện kỹnăng được SGK chú ý để HS có thể tham gia chủ độngnhiều hơn thông qua hệ thống câu hỏi ?n có ngay trongphần bài học mỗi bài
2 Điểm khó về kiến thức so với khả năng
tiếp thu của học sinh :
- Nội dung kiến thức phong phú, xuất hiện dàyđặc trong một chương với số tiết không nhiều nênmột số kiến thức chỉ giới thiệu để làm cơ sở đểhình thành kỹ năng tính toán, biến đổi Thậm chí mộtsố kiến thức chỉ nêu ở dạng tên gọi mà không giảithích (như biểu thức chứa căn bậc hai, điều kiện xácđịnh căn thức bậc hai, phương pháp rút gọn và yêucầu rút gọn )
- Tên gọi (thuật ngữ toán học) nhiều và dễ nhầmlẫn, tạo nguy cơ khó hiểu khái niệm (chẳng hạn nhưcăn bậc hai, căn bậc hai số học, khai phương, biểuthức lấy căn, nhân các căn bậc hai, khử mẫu, trụccăn thức )
C SAI LẦM VÀ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC KHI GIẢITOÁN VỀ CĂN BẬC HAI
1 Học sinh hiểu sai về căn bậc hai của một số dương a và căn bậc hai số học của một số dương a.
VD1: Giải bài tập 1 (sgk - 6)
Tìm căn bậc hai số học của 169 rồi suy ra cănbậc hai của chúng
+ Cách giải sai:
Trang 9Căn bậc hai số học của 169 là: = 13, còncăn bậc hai của 169 là: = 13; - = - 13
- Nguyên nhân:
Học sinh hiểu sai về căn bậc hai của một số dương a và căn bậc hai số học của một số dương a, từ đó không phân biệt được hai vấn đề này.
- Biện pháp khắc phục:
+ GV cần phải cho HS nắm được: Với số dương a, số được gọi là căn bậc hai số học của a, số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0; Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: số dương
kí hiệu là và số âm kí hiệu là - Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0.
+ Khi nói đến ta phải có: a0 và 0, nghĩa là không thể âm Vì vậy không được viết :
Số 169 có hai căn bậc hai là = 13 và =
- 13.
VD2: Tìm các căn bậc hai của 16.
Rõ ràng học sinh rất dễ dàng tìm ra được số 16 cóhai căn bậc hai là hai số đối nhau là 4 và - 4
VD3 : Tính
Học sinh đến đây sẽ giải sai như sau :
= 4 và - 4 có nghĩa là = 4Như vậy học sinh đã tính ra được số có hai cănbậc hai là hai số đối nhau là :
=4 và = -4
- Nguyên nhân: do việc tìm căn bậc hai và căn
bậc hai số học đã nhầm lẫn với nhau.
+ Cách giải đúng : = 4 ( có thể giải thíchthêm vì 4 > 0 và 42 = 16)
Trong các bài toán về sau không cần yêu cầu họcsinh phải giải thích
- Biện pháp khắc phục: GV chỉ ra sự khác nhau
giữa việc tìm căn bậc hai và CBHSH của một số không âm đó là.
Trang 10Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: số dương kí hiệu là và số âm kí hiệu là - Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0.
Với số a0 thì 0, nghĩa là không thể âm.
VD4: So sánh 4 và + Cách giải sai: 4 < (vì 4 < 15)
+ Cách giải đúng là: 16 > 15 nên > Vậy
4 = >
- Nguyên nhân: Học sinh sẽ không biết nên so
sánh chúng theo hình thức nào vì theo định nghĩa số 15 chính là căn bậc hai số học của 15 do đó nếu đem so sánh với số 4 thì số 4 có hai căn bậc hai số học là 2 và -2 cho nên với suy nghĩ đó học sinh sẽ đưa ra lời giải sai như sau : 4 < (vì trong cả hai căn bậc hai của
4 đều nhỏ hơn ).
Tất nhiên trong cái sai này của học sinh không phải các em hiểu nhầm ngay sau khi học song bài này mà sau khi học thêm một loạt khái niệm và hệ thức mới thì học sinh sẽ không chú ý đến vấn đề quan trọng này nữa.
- Biện pháp khắc phục:
Ở đây giáo viên cần nhấn mạnh luôn là ta đi so sánh hai căn bậc hai số học! Ta phải viết chúng ở dạng CBHSH rồi sau đó so sánh các số dưới dấu căn
-VD5: Tính + HS giải: =
+ Cách giải đúng là: = 9
- Nguyên nhân: Ở đây học sinh nhầm tưởng căn
bậc hai có tính chất rút gọn giống như phân số để đưa một phân số chưa tối giản trở thành một phân số tối giản.
- Biện pháp khắc phục: GV chỉ cho HS thấy được
căn bậc hai không có tính chất rút gọn như phân số
Khắc sâu định nghĩa CBHSH cho HS:
Trang 112 Sai lầm khi HS không chú ý đến điều kiện
để một biểu thức có căn bậc hai, A có nghĩa;
các quy tắc nhân các căn bậc hai, chia căn bậc hai.
VD3: Bài tập 1.29 (Sách nâng cao ĐS 9 – trang 18).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
+ Cách giải sai:
Ở bài này HS thường không tìm điều kiện để xác định mà vội vàng tìm giá trị nhỏ nhất của Abằng cách dựa vào mà biến đổi
+ Cách giải đúng:
Trang 12- Nguyên nhân: Khi làm bài HS chưa nắm vững
và cũng không chú ý điều kiện để A tồn tại.
HS chưa nắm rõ các quy tắc nhân các căn bậc hai,chia hai căn bậc hai.
- Biện pháp khắc phục: Khi dạy phần này GV
cần khắc sâu cho HS điều kiện để một biểu thức có căn bậc hai, điều kiện để A xác định, điều kiện để
Như thế theo lời giải trên sẽ bị mất nghiệm
+ Cách giải đúng:
- Biện pháp khắc phục:
+ Khi dạy phần này GV nên củng cố lại về số âm và số đối của một số.
Trang 13+ Củng cố lại khái niệm giá trị tuyệt đối:
- VD2: Bài tập 14c (sgk toán 9 - tập 1 – trang 5)
Rút gọn biểu thức: (4 17) 2
+ Cách giải sai:
- VD3: Khi so sánh hai số a và b Một HS phát biểu
như sau: “Bất kì hai số nào cũng bằng nhau ” và thựchiện như sau:
Ta lấy hai số a và b tùy ý Gỉa sử a > b
Trang 14HS này sai lầm ở chỗ : Sau khi lấy căn bậc hai
hai vế của đẳng thức (1) phải được kết quả: a b b a
chứ không thể có a - b = b- a.
- Nguyên nhân: HS chưa nắm vững hằng đẳng
thức A2 A , giá trị tuyệt đối của một số âm.
VD4: Tìm x sao cho B có giá trị là 16.
- Nguyên nhân : Với cách giải trên ta được hai
giá trị của x là x 1 = 15 và x 2 =-17 nhưng chỉ có giá trị
x 1 = 15 là thoả mãn, còn giá trị x 2 = -17 không đúng.
Đâu là nguyên nhân của sự sai lầm đó ? Chính là sự áp dụng quá rập khuôn vào công thức mà không để ý đến điều kiện đã cho của bài toán, với x -1 thì các biểu thức trong căn luôn tồn tại nên không cần đưa ra biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa.!
- Biện pháp khắc phục: Qua các bài tập đơn
giản bằng số cụ thể giúp cho học sinh nắm vững được chú ý sau : Một cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có = | A|, có nghĩa là :
= A nếu A 0 ( tức là A lấy giá trị không âm );