(SKKN HAY NHẤT) môn toán phân loại và giải bài toán bằng phương pháp tính ngược từ cuối

Việc bồi dưỡng học sinh giỏi không chỉ nhằm giúp các em giải được các bài toán khó, mà qua đó bồi dưỡng khả năng tư duy, suy luận để áp dụng vào cuộc sống hiện tại đang đòi hỏi ở mỗi ngư

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

"PHÂN LOẠI VÀ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP

TÍNH NGƯỢC TỪ CUỐI"

I.PHẦN MỞ ĐẦU

1/ Lý do chọn đề tài:

Giáo dục Tiểu học là giáo dục toàn diện cho học sinh Trong những năm gần đây,

bậc Tiểu học có tổ chức nhiều sân chơi trí tuệ cho học sinh như: Cuộc thi Trạng

nguyên nhỏ tuổi ; Giao lưu Toán Tuổi thơ do Báo Nhi đồng tổ chức; Giải Toán online

trên mạng internet; Giao lưu Học sinh giỏi bậc Tiểu học; trong đó môn Toán là môn

học quan trọng góp phần tạo nên thành công của các em Đặc biệt với cuộc thi giải

Toán online và giao lưu Toán tuổi thơ, các em cần phải có kiến thức toán học chắc

chắn, hệ thống kiến thức rộng và sâu Để có kết quả cao trong các kì thi như vậy, các

em cần sự hỗ trợ, trợ giúp của giáo viên

Chính vì vậy mà công tác bồi dưỡng học sinh giỏi là một việc làm cần thiết

Trong chương trình toán tiểu học có nhiều nội dung liên quan đến việc bồi dưỡng học

sinh giỏi Việc bồi dưỡng học sinh giỏi không chỉ nhằm giúp các em giải được các bài

toán khó, mà qua đó bồi dưỡng khả năng tư duy, suy luận để áp dụng vào cuộc sống

hiện tại đang đòi hỏi ở mỗi người Có nhiều dạng toán, bài toán có nhiều cách giải

khác nhau Trong đó có những cách giải dùng đến kiến thức ở các lớp trên, chưa phù

hợp với tư duy của học sinh tiểu học Một vấn đề cần được quan tâm đó là với nội

dung bài toán đó cần được giải theo lôgic và khả năng suy nghĩ của các em

Đối với việc bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 4 – 5 gặp không ít khó khăn bởi

vì học sinh lớp 4, lớp 5, bước đầu đó có tư duy toán học Một số em khá, giỏi thích tìm

tòi, khám phá những cái mới Đặc biệt, những bài toán khó thường rất hấp dẫn với các

em Các em dễ nhàm chán hoặc không hứng thú với những bài toán dễ và đơn giản

Mặt khác, học sinh giỏi đạt giải cao trong các kì thi cũng do nhiều yếu tố: Tố chất học

sinh, sự quan tâm của gia đình, việc bồi dưỡng của giáo viên, …và không ngoại trừ

yếu tố may mắn Tuy nhiên chúng ta không chỉ chờ đợi và cầu mong ở sự may mắn

Phương ngôn có câu: Trở thành nhân tài một phần do tài năng còn chín mươi chín

phần là ở sự tôi luyện Theo quan điểm của tôi, điều quan trọng hơn cả là chúng ta

phải trang bị cho các em kiến thức vững vàng trước khi đi thi Do vậy việc bồi dưỡng

vẫn là quan trọng hơn cả Song bồi dưỡng học sinh giỏi những nội dung gì, bồi dưỡng

như thế nào để đạt hiệu quả? Điều đó quả là một vấn đề nan giải

Trong bài viết này tôi muốn đề cập đến một phương pháp giải toán khá quen thuộc

và gần gũi với học sinh tiểu học nhưng là dạng toán mà khiến các em hay có sự nhầm

lẫn trong khi giải hoặc khó tim ra lời giải Đó là Giải bài toán bằng phương pháp tính

ngược từ cuối ( suy luận từ cuối - suy luận từ dưới lên ) Với loại toán này cần giúp học

sinh phân loại như thế nào?, có những cách giải nào?, các bước giải được thực hiện trình

tự như thế nào? Qua đây tôi muốn trao đổi cùng các đồng nghiệp quan tâm đến việc bồi

dưỡng học sinh giỏi toán một số vấn đề xung quanh cách suy nghĩ, dẫn dắt học sinh

nhận dạng bài toán này và tìm tòi lời giải cho bài toán

2/ Mục đích nghiên cứu

Thời gian gần đây, công tác bồi dưỡng HS giỏi ở trường tôi gặp nhiều khó khăn,

hiệu quả chưa cao, số lượng HS giỏi còn thấp ( cả về số lượng giải và chất lượng

giải ) Được phân công bồi dưỡng HS giỏi lớp 5 từ năm học 2007 – 2008, tôi nhận

thấy học sinh còn nhiều hạn chế trong việc nhận dạng toán, trình bày lời giải còn gặp

nhiều khó khăn nên tôi mạnh dạn tìm tòi và nghiên cứu để nâng cao chất lượng HS

giỏi của trường mình tiến kịp với các trường bạn trong huyện, trong tỉnh

3 Ph ươ ng pháp nghiên cứu:

3.1 Phương pháp quan sát:

Phương pháp quan sát được sử dụng trong quá trình bồi dưỡng các em học sinhhàng ngày, hàng giờ, quan sát các em qua nhận thức tiếp thu kiến thức truyền tải của

giáo viên nhằm tìm hiểu rõ những thông tin phản hồi của học sinh và tìm hiểu những

khả năng tiềm ẩn bên trong của các em

Việc sử dụng phương pháp này nhằm thu thập các thông tin sơ cấp về thực trạnghọc sinh thông qua trực giác, ghi chép, nhằm xoay quanh vấn đề bồi dưỡng học sinh

giỏi

3.2 Phương pháp phân tích tài liệu:

Trong quá trình thực hiện báo cáo, tôi sử dụng phương pháp này để tổng hợp vàphân tích tài liệu có sẵn và kết quả nghiên cứu thực nghiệm liên quan đến các vấn đề

nghiên cứu

3.3 Phương pháp xử lý thông tin:

Phương pháp xử lý thông tin là thực hiện bước chuyển về chất từ các thông tin

cá biệt thu thập được từ học sinh của đơn vị nghiên cứu riêng biệt thành thông tin tổng

hợp đặc trưng cho cả tổng thể nghiên cứu

Kết quả của việc xử lý thông tin là những thông tin đã thể hiện tính tổng thể củađối tượng nghiên cứu Thông tin này nói lên được kiểm định và chứng minh trên thực

tế Từ thực tế, thực nghiệm đến lý luận chúng ta tiến hành khái quát các kết quả trên

cơ sở một báo cáo

4/ Đối tượng nghiên cứu:

Học sinh lớp 4 - lớp 5, trường Tiểu học Kim Ngọc, huyện Yên Lạc, tỉnh Vĩnh

Phúc

5/ Thời gian nghiên cứu:

Từ năm học 2012 – 2013 đến năm học 2013 – 2014

II PHẦN NỘI DUNG

A CƠ SỞ NGHIÊN CỨU

1/ cơ sở lý luận

Công tác bồi dưỡng học sinh giỏi là một nhiệm vụ rất quan trọng, khó khăn

nhưng rất đỗi vinh dự Học sinh giỏi là những học sinh có tố chất đặc biệt khác với các

học sinh khác về kiến thức, khả năng tư duy Như vậy, tiết dạy bồi dưỡng học sinh giỏi

đòi hỏi giáo viên phải có sự chuẩn bị và đầu tư nhiều hơn là tiết dạy bình thường trên

lớp, thậm chí phải có quá trình tích lũy kinh nghiệm qua thời gian mới có thể đạt hiệu

quả và thuyết phục học sinh, làm cho các em thực sự hứng thú và tin tưởng Đó là yêu

cầu của Ban giám hiệu trường và cũng là mục tiêu của người bồi dưỡng Giáo viên

tham gia bồi dưỡng phải có sự học tập và trao đổi nhiều cùng với lòng quyết tâm cao

mới có thể đạt được yêu cầu của công việc Bởi vì học sinh giỏi có nhiều điểm khác so

với học sinh bình thường từ kiến thức cho đến tư duy…Vì vậy, với chuyên đề này tôi

đưa ra những suy nghĩ của mình với mong muốn góp phần trao đổi kinh nghiệm, chia

sẽ học tập lẫn nhau để cùng tiến bộ Đó cũng là nội dung, mục đích hướng tới của sáng

kiến kinh nghiệm

2.Cơ sở thực tiễn

Trên thực tế thời gian của một bài thi môn Toán là 90 phút song nội dung chương

trình thi lại rất rộng.Vì vậy đòi hỏi các em cần lĩnh hội kiến thức một

cách chắc chắn và đầy đủ,điều đó chính là yêu cầu khó khăn nhất cho cả người dạy lẫn

người học.Đồng thời thời gian bồi dưỡng của giáo viên chưa nhiều,chỉ được bồi dưỡng

qua các tiết theo thời khóa biểu.Vì vậy giáo viên còn nhiều băn khoăn cần nghiên cứu

tìm giải pháp khắc phục và đó chính là mục đích chính của đề tài này

B THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ:

1.Thuận lợi :

- Các yếu tố chủ quan có ảnh hưởng tích cực tới đề tài:

+ Là giáo viên đứng lớp qua nhiều năm kinh nghiệm và nghiên cứu giảng dạy tôi

dành nhiều thời gian và tâm huyết để nghiên cứu suy ngẫm về chuyên môn cũng như

tính hiệu quả của giờ lên lớp, đặc biệt là giờ dạy bồi dưỡng học sinh giỏi

+ Bản thân tôi chịu khó tìm tòi, nghiên cứu, tham khảo nhiều tài liệu, về bài tập nâng

cao, các đề thi học sinh giỏi thành phố, tỉnh, quốc gia…Sau đó, tôi ghi chép và tích lũy

thường xuyên

+ Bản thân thường xuyên trao đổi với đồng nghiệp trong và ngoài giờ dạy để học hỏi

và đúc rút kinh nghiệm cần thiết để áp dụng trong quá trình bồi dưỡng

- Yếu tố khách quan ảnh hưởng tích cực đến vấn đề liên quan đến đề tài:

+ Ban giám hiệu có sự động viên sâu sắc đúng mức đến công tác bồi dưỡng học sinh

giỏi

+ Một số học sinh giỏi siêng năng và ham học

+ Những năm gần đây nhiều kì thi HSG tiếng được tổ chức như giải Toán qua mạng

Internet,cứ hai tuần mở ra một vòng thi giúp học sinh dễ dàng vào thi và thực sự gây

hứng thú cuốn hút được các em; các cuộc thi Trạng nguyên nhỏ tuổi, Giao lưu học

sinh giỏi, Giao lưu Toán tuổi thơ cũng thực sự là sân chơi bổ ích và thu hút các em

b.Khó khăn:

- Trường tôi là một trường ở vùng nông thôn, tài liệu sách tham khảo ở thư việncòn hạn chế Vì thế, chưa có đủ tư liệu để học sinh và giáo viên tham khảo, nghiên cứu

một cách thoải mái, dễ dàng Đa số học sinh là con em nông dân, gia đình còn nghèo

nên cha, mẹ chỉ lo kinh tế không có thời gian quan tâm và đôn đốc việc học của các

em nên nguồn học sinh giỏi khá hạn chế

- Hầu hết gia đình các em đều chưa co máy vi tính nối mang Internet

C GIẢI PHÁP THỰC HIỆN:

I Thế nào là giải bài toán bằng phương pháp tính ngược từ cuối ?

Một số bài toán mà ta có thể tìm ra đại lượng chưa biết chúng ta phải thực hiện liên

tiếp các phép tính (hoặc quá trình biến đổi) ngược với các phép tính đã cho trong đầu

bài toán, cùng với sự hỗ trợ của sơ đồ, Như vậy là từ kết quả cuối cùng, ta tính

ngược lại để tìm được giá trị trước cuối và cứ tiếp tục như vậy cho đến giá trị của số

phải tìm

Giải bài toán bằng phương pháp như vậy gọi là phương pháp tính ngược từ cuối hoặc

suy luận từ cuối hoặc suy luận từ dưới lên

II Một số dạng cơ bản

Loại toán giải bằng phương pháp tính ngược từ cuối có nhiều dạng Trong bài

viết này, tôi chỉ xin đưa ra một số dạng cơ bản, gần gũi với học sinh Tiểu học và

hướng giải quyết cho các dạng toán đó

1- Dạng thứ nhất: Dạng biến đổi bằng các phép tính đơn giản, quá trình tìm tòi

cách giải có thể dùng lược đồ hoặc đưa về bài toán tìm x quen thuộc

2- Dạng thứ 2: Các phép biến đổi liên quan đến phân số ( các phép chia phức tạp )

quá trình tìm tòi cách giải và giải nên sử dụng sơ đồ đoạn thẳng , một phương pháp

đặc biệt phù hợp với học sinh Tiểu học

3- Dạng thứ 3: Quá trình biến đổi là việc thêm bớt từ phần này qua phần kia một số

đơn vị hoặc một số lần hoặc một số phần của địa chỉ cần đến Phương pháp suy luận

để tìm tòi cách giải chuẩn xác và gần gũi, phù hợp với nhận thức của các em là bằng

cách lập bảng biến đổi.

4- Dạng thứ 4: Quá trình biến đổi liên tiếp phức tạp cuối cùng các phần được chia

ra bằng nhau Để tìm tòi cách giải cần biết phân tích từ thành phần " trước cuối" hay "

áp chót" và mối quan hệ giữa giá trị " áp chót" và gía trị cuối cùng để suy ra kết quả

của bài toán

Để phù hợp với nhận thức của học sinh tiểu học ( đặc biệt là các em còn ở mức

trung bình vươn lên khá giỏi ), ta nên hướng dẫn các em sử dụng lược đồ như sau:

- 32 x3 :4

Nếu ta quay lược đồ này theo chiều ngược lại ta có cách nói suy luận từ dưới lên

- 32 +32

x 3 : 3

: 4 x 4 Bằng các dấu mũi tên ngược với quá trình biến đổi của đề ra ta dễ dàng giúp các em tìm ra kết quả bài toán  C x 4 = 120 Vậy, muốn tìm C ta làm thế nào và bằng bao nhiêu ? ( 120 : 4 = 30 Vậy C = 30 )  B : 3 = 30 Vậy, muốn tìm B ta làm thế nào và bằng bao nhiêu ? ( 30 x 3 = 90 Vậy B = 90 )  A + 32 = 90 Vậy, muốn tìm A ta làm thế nào và bằng bao nhiêu ? ( 90 - 32 = 58 Vậy A = 58 - Đây chính là số phải tìm của bài toán ) Lưu ý: Lược đồ chỉ nên sử dụng ở phần nháp để tìm tòi cách giải Nếu vẽ vào bài làm thì rườm rà và mất thời gian Bài giải cụ thể: Số trước khi nhân với 4 là: 120 : 4 = 30 Số trước khi chia cho 3 là: 30 x 3 = 90 Số phải tìm ( hay trước khi cộng 32 ) là: 90 - 32 = 58 Đáp số: 58 Bài toán trên ta có thể hướng dẫn học sinh giải bằng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng như sau: Số cần tìm : 32

Số sau khi cộng với 32:

Số sau khi chia cho 3: Cuối cùng : 120

Lưu ý: Số sau khi cộng với 32 hay trước khi chia cho 3 là một A?

B C 120

* Giải bằng cách đưa về bài toán tìm X ( tìm thành phần chưa biết trong phéptính - lập phương trình )

Gọi số cần tìm là X ta có : ( X + 32 ) : 3 x 4 = 120 Giải:

( X + 32 ) : 3 = 120 : 4 ( X + 32 ) : 3 = 30

Trong đó a, b là các số đã biết X là số cần tìm Hầu hết các bài toán tìm X ở tiểu học

( giải phương trình bậc nhất có một ẩn số ) không ở dạng cơ bản, qua một số biến đổi

tương đương đều được đưa về một trong 6 dạng cơ bản trên

Ví dụ 1.2: Tìm một số biết rằng số đó nhân với 5 rồi cộng với 45, được bao nhiêu

nhân với 4 rồi chia cho 2 và cuối cùng trừ đi 17 thì được kết quả là 2073

Bài giải: ( Nên hướng dẫn học sinh trình bày theo kiểu dưới đây)

Số trước khi trừ đi 17 là : 2073 + 17 = 2090

Số trước khi chia cho 2 là : 2090 x 2 = 4180

Số trước khi nhân với 4 là : 4180 : 4 = 1045

Số trước khi cộng với 45 là : 1045 - 45 = 1000

Dạng bài này tìm tòi cách giải bằng phương pháp sử dụng sơ đồ đoạn thẳngđược nhưng phải vẽ hơi phiền phức Cách vẽ và cách trình bày tương tự ví dụ 1.1,

nên không trình bày ở đây

 Sử dụng cách đưa về bài toán tìm X

Việc sử dụng cách đưa về bài toán tìm X cũng khá đơn giản, tương tự ví dụ 1.1,việc đưa về giải phương trình như thế này chưa thật phù hợp với học sinh tiểu học

Bên cạnh đó cần lưu ý học sinh khi sử dụng dấu ngoặc đơn một cách hợp lý

 Dùng lược đồ: Dạng này nếu dùng lược đồ thì sẽ khó khăn trong việc biểu diễn

phần còn lại sau mỗi lần bớt Cụ thể:

Bớt 1/3 của X Bớt 1/3 của A - 20

( Suy luận theo đường mũi tên có nét đứt để giải bài toán )

+ Bán đi 20 quả, còn 56 quả Vậy, muốn tìm số cam trước khi bán 20 quả ta có thể

làm như thế nào? ( lấy 56 cộng với 20, ta có 56 + 20 = 76 Như vậy B = 76 quả )

+ Bớt đi 1/3 của A thì bằng B, tức bằng 76 Vậy, muốn tìm A ta có thể làm như thế

nào ? Hướng dẫn cách nghĩ: A bớt đi 1/3 của nó thì còn 32A, mà 32A bằng 76 , vậy A

= 76: 2/3 = 114 ( có thể trình bày A = 76 : 2 x 3 = 114) Vậy A = 114

+ Bớt đi 1/3 của X thì bằng A, tức bằng 114 Vậy, muốn tìm X ta có thể làm như thế

nào ?Tương tự như cách tìm A ta có: X = 114 : 2/3 = 171.Vậy, X ( số cần tìm ) là 171

Cách giải cụ thể:

Trước khi bán 20 quả , người đó còn số cam: 56 + 20 = 76 ( quả )

Số cam còn lại trước khi bán lần thứ hai là: 76 : 2/3 = 114 ( quả )

Số cam người đó đem bán là: 114 : 2/3 = 171 ( quả )

Đáp số 171 quả

 Dùng sơ đồ đoạn thẳng ( Phương pháp chủ công của loại này )

Để phù hợp với HS tiểu học ( đặc biệt đối với những học sinh chưa học các phéptính về phân số ) Nên hướng dẫn HS sử dụng phương pháp dùng SĐĐT

Ta có SĐĐT như sau:

Số cam cần tìm:

Số cam còn lại sau khi bán lần I:

Số cam còn lại sau khi bán lần II :

20 quả Cuối cùng

56 quả Hướng dẫn giải:

Tìm số cam còn lại sau khi bán lần thứ hai ( hay trước khi bán lần thứ ba ) Số

cam còn lại sau khi bán lần thứ hai được biểu diễn bằng hai đoạn thẳng: đoạn cuối

cùng 56 quả và đoạn biểu diễn 20 quả Như vậy, muốn tìm số cam còn lại sau lần bán

thứ hai ta làm như thế nào? ( 56 + 20 = 76 )

Tìm tiếp số cam còn lại sau khi bán lần thứ nhất Số cam này được biểu diễnbằng đoạn thẳng có 3 phần bằng nhau, mà 2 phần trong đó chính là 76 quả Vậy, muốn

tìm số cam còn lại sau lần bán thứ nhất ta có thể làm như thế nào?

( lấy 76 chia 2 để tìm 1 phần, rồi nhân với 3 để có 3 phần cụ thể 76 : 2 x 3 = 114)

Tìm số cam người đó đem bán Toàn bộ số cam này được biểu diễn bằng đoạnthẳng chứa 3 phần bằng nhau, mà trong đó có 2 phần bằng 114 quả Vậy, muốn tìm số

cam người đó đem bán ta có thể làm như thế nào ? ( lấy 114 chia 2 để tìm 1 phần, rồi

nhân với 3 để tìm 3 phần - Cụ thể : 114 : 2 x 3 = 171)

Bài giải cụ thể:

Số cam còn lại sau khi bán lần thứ hai là : 65 + 20 = 76 ( quả)

Số cam còn lại sau khi bán lần đầu là: 76 : 2 x 3 = 114 (quả)

Số cam lúc đầu là : 114 : 2 x 3 = 171 ( quả)

Đáp số: 171 quả cam

 Sử dụng cách đưa về bài toán tìm X:

Với dạng này, nếu ta hướng dẫn học sinh giải bằng cách đưa về bài toán tìm Xthì sẽ gặp một số khó khăn đối với học sinh tiểu học nhất là những học sinh chưa học

các phép tính phân số Ta có thể đưa về bài toán tìm X không thuộc dạng cơ bản như

sau:

Gọi số cam cần tìm là X ( X là số tự nhiên lớn hơn 0 - đơn vị : quả )

X - 31x X - 31x ( X - 13x X ) - 20 = 56

Ví dụ 2.2: Một người đem bán một số trứng như sau: Lần đầu bán cho khách 1/2 số

trứng và biếu khách 1 quả Lần thứ hai bán 1/2 số trứng còn lại và lại biếu khách 1

quả Lần thứ ba bán 1/2 số trứng còn lại sau hai lần trước và lại biếu khách 1 quả Cuối

cùng người đó còn 10 quả trứng Hỏi lúc đầu người đó có bao nhiêu quả trứng đem

Theo sơ đồ ta có ( nhìn ngược từ dưới lên ):

+ Một nửa số trứng còn lại sau khi bán lần thứ hai gồm một đoạn thẳng biểu diễn 10

quả trứng và 1 quả Muốn tính một nửa số trứng còn lại sau khi bán lần thứ hai ta có

thể làm thế nào ? ( 10 + 1 = 11 ) Muốn tính số trứng còn lại sau khi bán lần thứ hai ta

làm thế nào ? ( 11 x 2 = 22 )

+ Một nửa số trứng còn lại sau khi bán lần thứ nhất gồm 22 quả và 1 quả Từ đó dễ

thấy cách tính số trứng còn lại sau khi bán lần thứ nhất là: ( 22 + 1 ) x 2 = 46 quả

+ Một nửa số trứng lúc đầu gồm 46 quả và 1 quả Từ đó dễ thấy cách tính số trứng

người đó đem bán là: ( 46 + 1 ) x 2 = 94 ( quả )

Bài giải cụ thể:

Số trứng còn lại sau khi bán lần thứ hai là: ( 10 + 1 ) x 2 = 22 ( quả )

Số trứng còn lại sau khi bán lần thứ nhất là: ( 22 + 1 ) x 2 = 46 ( quả )

Số trứng người đó đem bán là: ( 46 + 1 ) x 2 = 94 ( quả ) Đáp số: 94 quả trứng

Lưu ý: Có thể hướng dẫn học sinh thử lại, tạo thêm niềm tin cho các em: