(SKKN HAY NHẤT) môn toán lớp 8 các phương pháp giải toán thường gặp trong chương trình đại số lớp 8

Việc biến đổi được những biểu thức đại số không đơn giản chỉ là biến đổi thông thường mà nó đòi hỏi những hiểu biết lôgic và cách giải toán có yếu tố sáng tạo; nó có ý nghĩa trong việc r

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

"hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán về

phân thức đại số lớp 8"

Chương 1: GIỚI THIỆU 1.1.Lý do chọn đề tài:

Đại số là một môn đặc biệt của toán học Nếu đi sâu vào nghiên cứu về môn đại sốhẳn mỗi chúng ta sẽ được chứng kiến “Cái không gian ba chiều” lí thú của nó mà không

bao giờ vơi cạn Các bài toán về phân thức đại số 8 là một trong những nội dung quan

trọng trong chương trình toán của trường THCS.Đặc biệt là bài toán rút gọn biểu thức đại

số Việc biến đổi được những biểu thức đại số không đơn giản chỉ là biến đổi thông

thường mà nó đòi hỏi những hiểu biết lôgic và cách giải toán có yếu tố sáng tạo; nó có ý

nghĩa trong việc rèn luyện óc phân tích và biểu thị toán học những mối liên quan của các

đại lượng trong thực tiễn.Đi kèm với rút gọn biểu thức đại số còn có một số dạng toán về

phân thức đại số như:tìm điều kiện của biến để phân thức xác định,tìm giá trị của phân

thức tại một giá trị của biến hoặc ngược lại,chứng minh phân thức tối giản,… Trong

phân môn đại số - chương trình toán các lớp 8 THCS số tiết về dạy học các dạng toán này

đã chiếm một vị trí quan trọng, làm nền tảng để phát triển khả năng toán

Về cả hai phía giáo viên và học sinh đều có khó khăn khi dạy và học kiểu các dạngtoán này Đây là một vấn đề quan trọng và bức thiết Lâu nay chúng ta đang tìm kiếm

một phương pháp dạy học sinh giải các bài toán rút gọn làm sao đạt hiệu quả Các tài

liệu, các sách tham khảo, sách hướng dẫn cho giáo viên cũng chưa có sách nào đề cập

đến phương pháp dạy kiểu bài này Có chăng chỉ là gợi ý chung và sơ lược Đặc biệt rất

nhiều học sinh thường xem nhẹ việc rút gọn biểu thức đại số và vô tình đã quên đi các

ứng dụng quan trọng và là chìa khóa, nền tảng để giải quyết các vấn đề toán học trong

trường THCS

Một số em chưa biết cách giải loại toán này, mà ta gọi là phương pháp Đi theo kếtquả của bài toán rút gọn biểu thức có các dạng toán: Tìm giá trị của biến x để biểu thức

nhận giá trị nguyên,tính giá trị của phân thức tại giá trị của biến,chứng minh phân thức

tối giản …Vì vậy, sau khi rút gọn được biểu thức thì học sinh không thực hiện được các

bước tiếp theo

Vậy cách trình bày hoàn chỉnh một bài toán rút gọn biểu thức như thế nào, phươngpháp giải bài toán đã cho ra sao Để định hướng cho mỗi học sinh phát huy được khả

năng của mình khám phá những kiến thức, nâng cao chất lượng giáo dục Vì vậy mỗi

giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán cần có giải pháp tích cực để nâng cao chất lượng

giảng dạy phần phân thức đại số 8,đặc biệt là các dạng toán đi kèm cho bài toán rút gọn

biểu thức đại số

Trước tình hình trên, bản thân Tôi là một giáo viên toán cấp THCS, cũng đã từngtrăn trở nhiều về vấn đề trên Với đề tài này Tôi không có tham vọng lớn để bàn về vấn

đề: “Giải các bài toán” ở trường phổ thông Tôi chỉ xin đề xuất một vài ý kiến về việc

“Hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán về phân thức đại số 8" đối với học sinh

lớp 8 THCS mà Tôi đã từng áp dụng thành công

1.2.Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu:

1.2.1.Mục tiêu:

Mục tiêu của đề tài:

-Chọn ra một số dạng bài tập cơ bản và nâng cao cùng cách giải nhằm phục vụ cho cho

giáo trong công tác bồi dưỡng học sinh các khối 8,9 của trường THCS

-Làm tài liệu tham khảo học tập cho các em học sinh khối 8,9

-Giúp giáo viên có cái nhìn sâu sắc hơn về các dạng toán phân thức đại số 8 nhằm rèn

luyện kỹ năng thực hành giải toán cho học sinh

-Qua chuyên đề này chúng tôi cũng tự đúc rút cho mình những kinh nghiệm làm cơ sở

cho phương pháp dạy học những năm tiếp theo

1.2.2.Phạm vi nghiên cứu:

-Giới hạn đề tài:Trong chuyên đề chúng tôi chỉ đưa ra một số dạng toán cơ bản và hướng

dẫn học sinh giải,định hướng cho học sinh phương pháp giải một số bài toán mà các em

còn lúng túng trong việc tìm lời giải

-Đối tượng nghiên cứu: Qua nghiên cứu việc dạy và học toán tại trường THCS Vũ Di

1.3.Ý nghĩa thực tiễn:

-Chuyên đề này chúng tôi đã phân loại một số dạng toán cho từng đối tượng học

sinh(Khá,Trung bình,yếu) chỉ ra các phương pháp giải

-Chuyên đề này dễ áp dụng cho giáo viên và học sinh trong quá trình dạy và học ở trường

THCS

1.4.Cấu trúc của chuyên đề:

Chương 1:Giới thiệu đề tài

Chương 2:Cơ sở lý luận và mô hình nghiên cứu

Chương 3:Phương Pháp nghiên cứu

Chương 4:Kết quả đạt được

ngoài việc dạy cho học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản thì dạy cho các em biết vận

dụng lí thuyết vào giải các bài tập toán là công việc thường xuyên phải làm.Số lượng bài

tập nhiều cho nên việc phân loại các dạng toán cùng phương pháp giải là việc làm cần

thiết,giúp các em biết vận dụng những kiến thức đã học một cách linh hoạt đồng thời có

thể tích lũy cho các em nhiều kinh nghiệm trong quá trình giải toán

Thông qua việc giải bài tập giúp các em rèn luyện tư duy,kĩ năng trình bày từ đónâng cao khả năng sáng tạo và óc phán đoán của các em

2.1.2.Kiến thức cơ bản để giải một số dạng toán về phân thức:

Các em cần nắm vững:

+Các phép tính về đa thức và phân thức+Các hằng đẳng thức đáng nhớ

+Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử+Điều kiện để phân thức có nghĩa

+Điều kiện để phân thức tối giản+Điều kiện để phân thức có giá trị nguyên

2.1.3.Thực trạng nghiên cứu:

Nghiên cứu sách giáo khoa và sách bài tập đại số 8 ta thấy tác giả ngoài việc đưacác bài tập liên quan đến các kiến thức trong chương như:điều kiện phân thức xác

định,phân số bằng nhau, rút gọn phân thức,các phép tính về phân thức,biến đổi phân

thức,rút gọn biểu thức.Còn có các bài tập như:chứng minh phân thức tối giản,tìm giá trị

của biến khi biết giá trị của phân thức,tìm giá trị biến để phân thức có giá trị nguyên…

Trong khi học sinh khi gặp các dạng bài toán này thì lúng túng không nắm được phương

pháp giải.Kĩ năng biến đổi phân thức của đa số học sinh còn yếu

2.2.Mô hình nghiên cứu:

2.2.1.Các bước tiến hành:

- Lập kế hoạch nghiên cứu nội dung viết chuyên đề

- Trao đổi thảo luận trong tổ

Số h/s giảiđược bài tậpchứng minhphân thức tốigiản

Số h/s giảiđược bài tậptìm giá trịnguyên củabiến để phânthức nguyên

2.2.3.Hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán về phân thức đại số lớp 8:

2.2.3.1.Dạng toán tìm điều kiện của biến để phân thức xác định:

-Với phân thức mà mẫu chỉ là đa thức dạng (ax+b) các em chỉ cần cho mẫu thức khác

-Với những phân thức mà mẫu lại là một phân thức khác thì cần chú ý tới tử của phân

-Với những phân thức mà có bậc 2 một biến trở lên thì cần phân tích các mẫu thành nhân

tử,rồi làm tương tự như trên.Ví dụ:

Ví dụ 3:Tìm điều kiện của x để phân thức sau xác định:

Giải :

a)Phân tích mẫu thành nhân tử ta có:

,với chú ý: nên suy ra điều kiện để phânthức có nghĩa là:

b)Ta có:

c)Ta có:

Với những phân thức nhiều ẩn thì học sinh vận dụng làm tương tự,ví dụ:

Ví dụ 4:Tìm điều kiện của biến để phân thức sau xác định:

*Một số bài tập vận dụng cho dạng toán này:

Tìm điều kiện của x để phân thức sau xác định:

-Với các phân thức mà không có sẵn nhân tử chúng thì chúng ta sẽ thực hiện theo các

bước của bài toán rút gọn,ví dụ:

Vẫn là bài toán rút gọn nhưng tồn tại dưới một cái tên khác là “Chứng minh đẳng thức”

thì thông thường hướng dẫn học sinh biến đổi vế phức tạp hơn,sau khi rút gọn thì bằng vế

kia.Chẳng hạn các ví dụ sau:

Ví dụ 4:Chứng minh đẳng thức:

HD:thực hiện rút gọn vế trái,cuối cùng ra kết quả là vế phải

*Một số bài toán vận dụng cho dạng toán này:

Bài 1:Rút gọn các phân thức sau:

2.2.3.4.Dạng toán chứng minh phân thức tối giản:

Học sinh đều nắm được phân thức tối giản là phân thức mà tử và mẫu thức chỉ cónhân tử chung là 1 và -1 nhưng việc chứng minh phân thức tối giản thì các em lại chưa

nắm được phương pháp làm nên còn lúng túng trong việc tìm ra lời giải

Để chứng minh một thức tối giản ta gọi ước chung lớn nhất của tử và mẫu thức làd,ta chứng minh d = 1 hoặc d = -1.Để chứng minh được điều này ta vạn dụng các kiến

thức về chia hết như:tính chất chia hết của một tổng,quan hệ giữa bội và ước…Ví dụ:

Ví dụ 1:Chứng minh các phân thức sau là tối giản:

c) (Với n là số tự nhiên)

Giải:

a)Gọi ƯCLN của n-3 và -n+4 là d,ta có: hay:

=> Do đó d = 1 hoặc -1.Vậy phân thức đã cho tối giản với mọi n

Từ (1) và (2) suy ra: Do đó d = 1.Vậy phân thức đã cho tối giản

c)Gọi ƯCLN của và là d.Ta có: (1) và

Từ (1) và (2) suy ra: Do đó d = 1 hoặc d = -1.Vậy phân thức đã cho tối giản

Cách giải khác: Gọi ƯCLN của và là d.Ta có: (1) và Ta

có:

Nên Do đó d = 1 hoặc d = -1.Vậy phân thức đã cho tối giản

Qua các ví dụ trên cho thấy khi chứng minh phân thức tối giản thì ta nhân hệ sốthích hợp để trừ(cộng) tử và mẫu thức cho nhau,sau đó tiếp tục có thể sử dụng hằng đẳng

thức hoặc phân tích đa thức thành nhân tử đối với tử thức hoặc mẫu thức hoặc đối với tử

thức và mẫu thức sau khi đã nhân thêm hệ số thích hợp để xuất hiện những biểu thức chia

hết cho d

Ví dụ 2:Chứng minh phân thức sau tối giản với mọi số tự nhiên n:

Giải:

Hay: Do đó d = 1.Vậy phân thức đã cho tối giản.

Từ (1) và (2) suy ra: Vậy phân thức tối giản

*Một số bài tập vận dụng cho dạng toán:

Chứng minh các phân thức sau tối giản với mọi số tự nhiên n:

2.2.3.5.Dạng toán tìm giá trị nguyên của biến để phân thức có giá trị nguyên:

Học sinh cần biết được nếu biến trong phân thức nguyên thì phân thức nhận giá trịnguyên khi tử thức chia hết cho mẫu thức.Nếu phân thức đã cho mà tử thức là một số

nguyên còn mẫu là biểu thức chứa biến thì chỉ cần lập luận mẫu thức là ước của tử là

Trong trường hợp tử và mẫu thức đều chứa biến thì ta thực hiên phép chia tử cho mẫu

thức tách lấy phân thương và dư,rồi viết phân thức dưới dạng khác,ta lập luận tương tự

như trên đối với phần dư chia cho mẫu thức,ví dụ:

Ví dụ 2:Tìm giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị nguyên:

Giải:

a)Thực hiện phép chia đa thức ta được:

Do đó:

Vì x nguyên nên x3 cũng nguyên,nên để phân thức có giá trị nguyên thì là số

nguyên.Đến đây ta làm tương tự như ví dụ 1

b)Ngoài việc thực hiện phép chia như câu a) ta cũng có thể viết tử thức liên tiếp có chứa

mẫu thức dưới dạng sau:

Ta có:

Từ đó ta suy ra:

Lập luận tương tự như trên ta tìm được kết quả:

*Một số bài tập vận dụng cho dạng toán:

Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là một số nguyên:

2.2.3.6.Dạng toán tính giá trị của phân thức tại một giá trị của biến:

Nhiều học sinh khi gặp dạng toán này thường hấp tấp thay ngay giá trị của biến vàophân thức rồi thực hiện phép tính mà quên mất rằng có thể rút gọn phân thức rồi mới thực

hiện thay và tính toán thì phép tính sẽ nhanh hơn rất nhiều,ví dụ:

Ví dụ 1:Tính giá trị của biểu thức:

Thay x = 1000001 vào biểu thức ta có:

Ví dụ 2:Tính giá trị của biểu thức:

a) tại x = 99 và y = 50

Giải:

a)Ta có:

Thay x = 99 và y = 50 ào biểu thức ta có:

Có các bài toán cũng tìm giá trị của biểu thức nhưng không cho giá trị cụ thể củacác biến mà cho các điều kiện dàng buộc của các biến thì lúc đó ta phải linh hoạt biến đổi

phân thức đã cho dưới dạng có chứa biểu thức điều kiện hoặc biến đổi điều kiện trước rồi

thực hiện phép tính,ví dụ bài toán sau:

Ví dụ 3:Cho và Tính giá trị của biểu thức:

Ta có một số bài tập tương tự:

Bài 1:Tính giá trị của biểu thức:

Bài 2:a)Tính giá trị của phân thức biết rằng: và

b)Biết và Tính giá trị của biểu thức:

c)Biết và Tính giá trị của biểu thức:

Bài 3:Cho x,y,z khác 0 và .Tính giá trị của biểu thức:

2.2.3.7.Dạng toán tìm giá trị của biến để phân thức nhận một giá trị nào đó:

Đây là dạng toán ngược của dạng toán trên,có hai trường hợp là phân thức nhận giátrị 0 và phân thức nhận giá trị khác 0.Với trường hợp phân thức có giá bằng 0 thì lập luận

Vậy giá trị của phân thức bằng 0 khi x = 1

Có những trường hợp khi cho tử thức bằng 0 lại trùng với điều kiện của biến đểphân thức có nghĩa,khi đó ta kết luận không có giá trị nào của biến để phân thức nhận giá

Ví dụ 3:a)Tìm x để giá trị của phân thức bằng

b)Tìm x để giá trị của phân thức bằng -1

Giải:

Bài 2:a)Tìm giá trị của x để phân thức bằng

b)Tìm giá trị của x để phân thức có giá trị bằng 1

2.2.3.8.Dạng toán rút gọn biểu thức tổng hợp:

Đây là dạng toán mà trong yêu cầu của bài toán có tồn tại các dạng toán đã nêu ởtrên.Các kiến thức để vận dụng làm toán là:

-điều kiện của biến để biểu thức xác định

-Phân tích đa thức thành nhân tử-nhân đa thức với đơn thức,đa thức với đa thức-quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

-Những hằng đẳng thức đáng nhớ-nắm được các dạng toán ở trên -Nắm được thứ tự thực hiện phép tính trong phân thức

d)Có giá trị nào để phân thức bằng 0 hay không?

c)Tính giá trị của phân thức tại

d)Tìm giá trị nguyên của x để phân thức đạt giá trị nguyên?

Đối với những biểu thức có các phép tính cộng,trừ,nhân, chia thì các em cần phảinắm vững các quy tắc cộng,trừ,nhân,chia các phân thức để biến đổi cho đúng,ví dụ:

Ví dụ 3:Cho biểu thức:

a)Tìm điều kiện của x để phân thức xác định?

b)Tìm giá trị của x để phân thức có giá trị bằng

c)Tìm giá trị của x để phân thức có giá trị bằng 1

d)Tìm giá trị nguyên của x để phân thức có giá trị nguyên?

e)Tìm giá trị của x để phân thức luôn dương?

Ví dụ 5:Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau xác định và chứng minh rằng với điều

kiện đó biểu thức không phụ thuộc vào biến

c)

Các bài tập tương tự cho dạng toán:

Bài 1:Cho biểu thức:

a)rút gọn A

b)Tính giá trị của biểu thức khi

c)Với giá trị của x thì A = 2

d)Với giá trị của x thì A < 0

e)Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên

Bài 2:Cho biểu thức:

a)Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định

b)Tính giá trị của biểu thức B với x = 2005

c)Tính giá trị của x để biểu thức nhận giá trị bằng -1002

Chương 3:PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

+Phương pháp nghiên cứu thực tiễn lý thuyết

+phương pháp tổng kết kinh nghiệm

+Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Chương 4:KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC

Qua kết quả nghiên cứu và giảng dạy Tôi nhận thấy :

- Học sinh rèn được phương pháp tự học, tự phát hiện vấn đề, biết nhận dạng một

số dạng toán, nắm vững cách giải Kĩ năng trình bày một bài toán khoa học, rõ ràng

Đa số các em đã yêu thích giờ học Toán học, nhiều học sinh tích cực xây dựng bài

- Học sinh rất có hứng thú để giải bài tập phần phân thức đại số 8 và Toán học nóichung

- Trước đây kết quả giảng dạy trên lớp đạt 80% đến 85% trên trung bình, khi sửdụng các kinh nghiệm trên kết quả giảng dạy tăng lên từ 96% đến 98% từ trung bình trở

2 9 A,B

Chương 5:KẾT LUẬN

Việc hệ thống "Các dạng toán về phân thức đại số 8" không thể dạy một tiết, hai tiết,

… mà là cả một quá trình dạy toán Chẳng hạn các em học sinh ở lớp 7 các em mới được

học khái niệm về biểu thức đại số, mà mỗi khi học đến vấn đề nào người giáo viên có thể

hướng dẫn cho học sinh trong phạm vi đó, từ đó học sinh dần dần lĩnh hội kiến thức một

cách có hệ thống và vận dụng hợp lí các dạng bài tập Trong thực tế các dạng bài toán,

mỗi vấn đề thường có nhiều phương án giải quyết, mỗi phương pháp có nhiều ưu điểm,

nhược điểm riêng của nó Đối với đối tượng học sinh khá giỏi giáo viên nên khuyến

khích tìm tòi nhiều cách khác nhau để qua đã các em được củng cố kiến thức, rèn kĩ

năng, phát triển tư duy toán học linh hoạt và sáng tạo, vận dụng kiến thức đã học vào việc

rút gọn Với học sinh trung bình có thể làm được những bài tập điểm hình đơn giản Với

học sinh khá giỏi các em có thói quen tư duy sâu hơn Tìm ra hướng suy nghĩ để giải bài

tập, có kĩ năng đơn giản hóa các vấn đề phức tạp Đặc biệt nhiều học sinh rất hứng thú

học toán, có học sinh đã tìm các bài tập để làm và đề nghị giáo viên ra những bài tập khó

hơn

*Những kinh nghiệm rút ra:

Thực tiễn đã được thực hiện ở trường THCS Vũ Di, trong nhiều năm với hai khối 8

đạt kết quả 70% học sinh biết suy nghĩ và tìm cách rút gọn.Trong đó 50% học sinh giải

quyết tốt các bài tập có liên quan đến rút gọn

Trong quá trình thực hiện đề tài, Tôi nhận thấy để làm tốt đề tài này yêu cầu giáo viên

và học sinh phải thực hiện tốt một số nội dung sau:

- Đối với giáo viên:

+ Nghiên cứu SGK, SBT và các tài liệu tham khảo, nâng cao;

+ Tránh một số sai lầm mà học sinh hay vướng mắc;

+ Giúp học sinh suy nghĩ để giải bài tập là chủ yếu

+ Trong quá trình làm bài tập bao giờ cũng rèn luyện cho học sinh làm thành thạo các

bài tập cơ bản ở SGK để các em nắm chắc lí thuyết, sau đó nâng dần bài tập lên giúp các

em tư duy cao hơn;

+ Trước khi làm bài tập giáo viên phải nghiên cứu thật kĩ và giải bằng nhiều phương

pháp;