(SKKN HAY NHẤT) khai thác giả thiết hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau trong giải toán hình học không gian

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMĐỀ TÀI: "KHAI THÁC GIẢ THIẾT HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ VUÔNG GÓC VỚI NHAU TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN "... ĐẶT VẤN ĐỀ Trong quá trình ôn thi đại học, khi

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

"KHAI THÁC GIẢ THIẾT HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

VÀ VUÔNG GÓC VỚI NHAU TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC

KHÔNG GIAN "

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong quá trình ôn thi đại học, khi giải bài toán hình học không gian tổng hợp, học

sinh thường lúng túng khi gặp giả thiết bài toán “cho trước hai đường thẳng chéo nhau

và vuông góc với nhau”

Đa số học sinh đều nhận xét dạng toán này khó, vì học sinh thường không liên kết

được hai đường thẳng chéo nhau đó trong một quan hệ vuông góc để từ đó dễ dàng suy

luận ra các kết quả phục vụ cho việc giải toán Đặc biệt, khi học về “Định lý ba đường

vuông góc” học sinh chỉ biết áp dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với

nhau mà không biết cách khai thác khác của nó là: tạo ra mối liên hệ gần gũi hơn giữa hai

đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau

Trên đây là lí do cơ bản để tôi chọn đề tài: MỘT SỐ CÁCH KHAI THÁC GIẢ

THIẾT HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ VUÔNG GÓC VỚI NHAU

TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I Cơ sở lí luận

I.1 Góc giữa hai đường thẳng trong không gian Hai đường thẳng vuông góc.

+ Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng

đi qua một điểm và lần lượt song song ( hoặc trùng) với a và b

+ Hai đường thẳng trong không gian gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa

b

a’

a

I.2 Điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng

+ Nếu đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau b và c cùng nằm trong

mặt phẳng (P) thì đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P)

I.3 Định lý ba đường vuông góc

+ Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b

nằm trong mặt phẳng (P) Khi đó điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a

là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P)

b P

I c

a

a

B’

A’

B A

II Thực trạng của vấn đề

Khi bài toán giả thiết cho trước hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau

Học sinh thường mất định hướng trong giải toán vì không liên kết được hai đường thẳng

chéo nhau đó trong một quan hệ vuông góc để từ đó dễ dàng suy luận ra các kết quả phục

vụ cho việc giải toán

III Giải pháp và tổ chức thực hiện

III.1 Định hướng phương pháp

Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau và vuông góc với nhau (1)

Để khai thác giả thiết này áp dụng vào giải toán, chúng ta có hai hướng suy luận:

Hướng 1: Từ giả thiết (1) , lập luận để chỉ ra hai đường thẳng cắt nhau và

vuông góc với nhau Từ đó áp dụng các tính chất hình học phẳng để

giải toán ( Định lý Pytagore,….)

Hướng 2: Từ giả thiết (1) suy ra một đường thẳng vuông góc với một mặt

phẳng Từ đó áp dụng các tính chất của đường thẳng vuông góc với

mặt phẳng để giải toán.

Để suy luận theo một trong hai hướng trên ta đưa ra ba cách thực hiện:

Cách 1:

+ Qua một điểm I trên b, kẻ a’ // a Ta được hai đường thẳng a’ và b cắt và vuông góc với

nhau

Cách 2: Áp dụng Định lý 3 đường vuông góc

+ Nếu đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P), mà ta dễ dàng xác định hình chiếu vuông

góc của a lên (P) thì khi đó ta dựng hình chiếu a’ của a lên (P)

Ta có kết quả:

Cách 3:

+ Nếu chỉ ra được đường thẳng c cắt b và Suy ra

I

a

b

a’

a

B’

A’

B A

b I

a

III.2 Tiến trình thực hiện

+ Cung cấp cho học sinh một số kiến thức về hình học không gian và 3 cách khai thác giả

thiết về hai đường thẳng chéo nhau, vuông góc với nhau

+ Đưa ra các ví dụ về bài toán hình học không gian tổng hợp có giả thiết hai đường thẳng

chéo nhau và vuông góc với nhau, phân tích để học sinh tự lựa chọn cách khai thác giả

thiết đó dựa trên các cách đã gợi ý ở trên

+ Yêu cầu học sinh nhận xét xem còn có thể dùng cách khác để khai thác giả thiết đó

không, so sánh tính khả thi và hiệu quả của phương pháp

III.3 Các ví dụ điển hình

Ví dụ 1: Cho hình chóp đều S.ABC, tam giác ABC đều cạnh a Gọi M và N lần lượt là

trung điểm SA, SC Tính thể tích khối chóp S.ABC biết

Phân tích:

Khi tiếp cận với giả thiết , chúng ta dùng cách 1

O

B

A

M

C

N K S

Lời giải:

Gọi K là trung điểm SN, suy ra MK // AN ( tính chất đường trung bình)

Đặt SA = b ( b > 0) Theo công thức độ dài đường trung tuyến, ta có:

, tương tự:

Áp dụng ĐL Cosin, ta có:

Gọi O là tâm tam giác ABC, suy ra ,

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a,

Gọi M là trung điểm SD Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BM, AC, biết

Phân tích:

Khi tiếp cận với giả thiết , chúng ta dùng cách 2, vì có thể thấy ngay việc dựng

hình chiếu của BM lên (ABCD) là khá dễ dàng

Lời giải:

Gọi K là trung điểm AD, suy ra MK // SA

Khi đó, ta có (vì cùng phụ với )

đồng dạng với

Suy ra EF là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng BM và AC

K F

E

M

C B

D A

S

Ta có

Vậy

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC, tam giác SAC cân tại C, có Biết

và Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính thể tích khối tứ diện SBCK, biết K là điểm thuộc SA thỏa mãn CK vuông góc với SB

H

K

C

B A

S

Phân tích:

Khi tiếp cận với giả thiết , chúng ta dùng cách 2, vì nên hình

chiếu của SA lên (ABC) là AC

Lời giải:

Vì , suy ra AC là hình chiếu vuông góc của AS lên mặt phẳng (ABC) Lại

có ( Theo ĐL 3 đường vuông góc).

Suy ra tam giác ABC vuông tại C

Vì , suy ra SC là hình chiếu vuông góc của SB lên mặt phẳng

(SAC)

Vì ( Theo ĐL 3 đường vuông góc).

Khi đó ta có:

Ta có:

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh bằng

Biết và (SBD) tạo với mặt đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp

S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC, SB theo

Phân tích:

Bài toán này phức tạp hơn khi cho hai cặp đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau

Suy ra , khi đó ta nghĩ đến ngay việc dựng hình chiếu vuông góc của S

lên (ABCD) Đây chính là cơ sở để ta dùng cách 2 để khai thác giả thiết

Lời giải:

E

F

H

O K

C B

s

Vì ABCD là hình thoi nên , mà ,

suy ra

Kẻ tại H, suy ra

Vì ( Theo ĐL 3 đường vuông góc).

Gọi , ta có , suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD)

bằng góc

Từ giả thiết, suy ra tam giác ABC và ACD là các tam giác đều cạnh

Suy ra

Tính

Dựng hình bình hành OHEB, suy ra OHEB là hình chữ nhật

Ta có BE // AC, suy ra AC // (SBE)

Kẻ tại F, suy ra

Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a.

Gọi M là trung điểm B’C’ Biết AB’ vuông góc với A’M và AB’ = AM Cạnh bên AA’

hợp với đáy một góc bằng 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a và tính

cosin góc giữa hai mặt phẳng (BCC’B’) với (A’B’C’)

Phân tích:

Để ý , từ giả thiết

Đây chính là cách 3.

Lời giải:

Vì tam giác A’B’C’ đều nên ,

lại có

N

C’

B’

A’

C

B A

Gọi H là trung điểm B’M, vì tam giác AB’M cân đỉnh A nên

Suy ra góc giữa AA’ và (A’B’C’) bằng góc

Tính tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (BCC’B’) với (A’B’C’)

Vì (ABC) // (A’B’C’) nên số đo góc giữa hai mặt phẳng (BCC’B’) với (A’B’C’) bằng số

đo góc giữa hai mặt phẳng (BCC’B’) với (ABC)

Gọi N là trung điểm BC, ta có

Vì

Ta có tam giác ANH vuông tại A, nên

Ví dụ 6: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ABCD là hình vuông cạnh a,

Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh BB’, AD Biết BN vuông góc với CM, AA’

hợp với (ABCD) góc 600 Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’

Phân tích:

Vì ABCD là hình vuông, ta liên tưởng đến tính chất : Gọi K là trung điểm AB thì

, mà , do đó bài này ta chọn cách 3

Lời giải:

Gọi K là trung điểm AB

Ta dễ dàng chứng minh được

Vì

H K

N

M

C’

D’

B’

A’

C B

D A

Suy ra

(đvtt)

III.4 Một số bài tập áp dụng

Bài 1: Cho hình chóp đều S.ABCD có AB = a Gọi M là trung điểm cạnh SD Biết

Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CM

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, Gọi M

thuộc đoạn CD sao cho MC = 2MD Biết Tính thể tích khối chóp

S.ABCD và khoảng cách từ C đến (SAB)

Bài 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác vuông tại B,

Biết , với M là trung điểm A’C’; mặt phẳng (BCC’B’) tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

Bài 4: Cho hình chóp SABC có ABC là tam giác vuông cân tai B, AC = 2a Tam giác

SAC vuông tại S, ; Gọi M là trung điểm BC, N là điểm thuộc

đường thẳng SC thỏa mãn Tính thể tích khối tứ diện SBMN

IV Kết quả thực nghiệm.

1) Trong khuôn khổ của một bài viết tôi chỉ đưa ra 6 ví dụ điển hình Từ 6 ví dụ này

dưới sự hướng dẫn của cô giáo, học sinh tìm tòi các lời giải của các bài toán Sau khi giải

được mỗi bài toán, tôi hướng dẫn học trò thay đổi cách tiếp cận bài toán, để đưa ra được

sinh không những phấn chấn, tự giác tiếp nhận các kiến thức và kỹ năng giải các bài toán

dạng này mà còn hình thành được cho các em cách nhìn nhận một Định lý, tính chất hình

học dưới nhiều góc độ khác nhau, biết cách phân tích một vấn đề dưới nhiều góc độ

2) Trong 3 lớp 12C8, 12C9, 12C10 tôi dạy năm nay, tôi giao Ví dụ 1 và Ví dụ 2

về nhà cho 3 lớp 12C8, 12C9 và 12C10 khi chưa nếu phương pháp khai thác giải thiết hai

đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau Kết quả số học sinh giải được như sau:

được

Tỉ lệ % học sinh giải được

7(VD2)

23,5%(VD1) 13,7%(VD2)

10(VD2)

31,4%(VD1) 19,6%(VD2)

5(VD2)

15,6%(VD1) 11,1%(VD2)

Sau khi hướng dẫn phương pháp, phân tích hai ví dụ: Ví dụ 1 và Ví dụ 2 ở 3 lớp

và yêu cầu học sinh làm các ví dụ còn lại trên cơ sở gợi mở, phân tích Hầu hết các học

sinh ở 3 lớp đều hiểu, nắm được phương pháp và giải được các ví dụ 3,4,5,6 Khi giao

bài 4 bài tập trên về nhà Kết quả số học sinh giải được cả 4 bài tập như sau:

được

Tỉ lệ % học sinh giải được

12C9 51 42 82,4%

C KẾT LUẬN

Quá trình dạy học là một quá trình tìm tòi suy nghĩ để không ngừng đúc rút kinh

nghiệm nâng cao hiệu quả giờ dạy Kinh nghiệm trình bày ở trên của tôi chỉ là một ứng

dụng nhỏ rèn luyện kỹ năng giải toán hình học không gian Nhưng dù sao qua quá trình

nêu trên cũng đã hình thành cho học sinh phương pháp luận; rèn luyện cho học sinh cách

nhìn nhận và vận dụng lý thuyết vào giải toán, tạo cho học sinh hứng thú tìm tòi, hứng

thú học toán

Trên đây chỉ là những kinh nghiệm được rút ra từ quá trình giảng dạy của bản thân,

tôi rất mong được đồng nghiệp bổ sung, góp ý để có thể áp dụng rộng rãi và hiệu quả hơn

trong dạy học