(SKKN HAY NHẤT) giải pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

2, Mục đích nghiên cứu : Nắm được cách giải toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số bằng các phương pháp giải 3, Nhiệm vụ nghiên cứu : Phân loại và đưa

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

“MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT”

PHẦN THỨ NHẤT : ĐẶT VẤN ĐỀ

1,Lý do chọn giải pháp :

Bất đẳng thức được coi là câu khó nhất trong các đề thi Đại học môn toán và các đề thi

học sinh giỏi Đa phần giáo viên không chú trọng tới phần tới câu bất đẳng thức Điều

này dẫn tới một thực trạng là học sinh rất sợ câu bất đẳng thức Thực ra với một đề tài

hay và khó này , lựa chọn bỏ qua nó đúng là đơn giản nhưng đã bao giờ bạn nghĩ tới

chuyện dũng cảm đối đầu với khó khăn để có thể vượt qua chính bản thân mình ?

Nếu thực sự mong muốn như vậy thì tập giải pháp này xin được giành cho bạn một cách

trân trọng nhất , nó là kinh nghiệm đúc kết của bản thân tôi sau nhiều năm công tác giảng

dạy , nghiên cứu về đề tài bất đẳng thức Những con đường tư duy, những kỹ năng quan

trọng , những thuật toán hiệu quả nhất sẽ được chia sẻ

Trên thực tế , không các giáo viên và học sinh dù đã được xây dựng cho mình nền kiến

thức khá chắc chắn , nhưng vẫn khó khăn trước những bài toán bất đẳng thức cơ bản nhất

Bạn có thể có kiến thức , nhưng việc xâu chuỗi và sử dụng kiến thức đó nói cách khác là

khả năng vận dụng để thu được lời giải lại là vấn đề khác Tập giải pháp này sẽ đưa ra

các kỹ thuật các phương pháp giải cho từng dạng Toán

2, Mục đích nghiên cứu :

Nắm được cách giải toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của

hàm số bằng các phương pháp giải

3, Nhiệm vụ nghiên cứu :

Phân loại và đưa ra các phương pháp giải bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá

trị lớn nhất nhỏ nhất bằng các phương pháp giải : như sử dụng bất đẳng thức , lượng giác

hoá và các phương pháp xét chiều biến thiên hàm số (sử dụng đạo hàm)

4, Phương pháp nghiên cứu :

+Nghiên cứu lý luận dạy học về bài tập toán để vận dụng vào hoạt động dạyhọc

Nghiên cứu chương trình toán THPTbao gồm : SGK lớp 10,11,12 về phần bất đẳng thức ,

đạo hàm và tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất và một số sách tham khảo khác

-Sử dụng các đề thi đậi học của 10 năm gần đây

PHẦN 2: NỘI DUNG

A : CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU

Chúng ta đang sống trong sống trong thời đại của sự bùng nổ tri thức khoa học vàcông nghệ Xã hội mới phồn vinh ở thế kỉ 21 phải là một xã hội dựa vào tri thức, vào tư

duy sáng tạo, vào tài năng sáng chế của con người Trong xã hội biến đổi nhanh chóng

như hiện nay, người lao động cũng phải biết luôn tìm tòi kiến thức mới và trau dồi năng

lực của mình cho phù hợp với sự phát triển của khoa học và kĩ thuật Lúc đó người lao

động phải có khả năng tự định hướng và tự học để thích ứng với đòi hỏi mới của xã hội

Chính vì vậy, mục đích giáo dục hiện nay ở nước ta và trên thế giới không chỉ dừng lại ở

việc truyền thụ cho học sinh những kiến thức, kĩ năng loài người đã tích lũy được trước

đây, mà còn đặc biệt quan tâm đến việc bồi dưỡng cho họ năng lực sáng tạo ra những tri

thức mới, phương pháp mới, cách giải quyết vấn đề mới sao cho phù hợp

Rèn luyện năng lực tự suy nghĩ và truyền thụ kiến thức cho học sinh là vấn đề quantrọng trong dạy học nói chung và dạy học môn Toán nói riêng Để việc dạy và học đạt kết

quả cao thì người giáo viên phải biết phát huy tính tích cực của học sinh, chọn lựa

phương thức tổ chức hoạt động, cách tác động phù hợp giúp học sinh vừa học tập, vừa

phát triển nhận thức Việc giải bài tập Toán không những nhằm mục đích giải toán, mà

nó còn có ý nghĩa to lớn trong việc rèn luyện cho học sinh khả năng vận dụng kiến thức,

kĩ năng tính toán, suy luận logic để giải quyết những vấn đề trong thực tế cuộc sống

Trong quá trình dạy học bài tậpToán, vai trò tự học của học sinh là rất cần thiết Để giúp

học sinh khả năng tự học, người giáo viên phải biết lựa chọn bài tập sao cho phù hợp, sắp

xếp chúng một cách có hệ thống từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp và hướng dẫn

cho học sinh cách giải để tìm ra được bản chất của bài Toán

1.Những cơ sở lý luận của hoạt động giải bài tập Toán phổ thông

1.1 Những cơ sở lý luận của hoạt động giải bài tập Toán phổ thông 1.1.1 Mục đích, ý nghĩa của việc giải bài tập:

- Quá trình giải một bài tập Toán là quá trình tìm hiểu điều kiện của bài toán, dựavào kiến thức Toán để tìm ra những cái chưa biết trên cơ sở những cái đã biết Thông qua

hoạt động giải bài tập, học sinh không những củng cố lý thuyết và tìm ra lời giải một

cách chính xác, mà còn hướng cho học sinh cách suy nghĩ, lập luận để hiểu rõ bản chất

của vấn đề, và có cái nhìn đúng đắn khoa học Vì thế, mục đích cơ bản đặt ra khi giải bài

tập Toán là làm cho học sinh hiểu sâu sắc hơn những quy luật Toán , biết phân tích và

ứng dụng chúng vào những vấn đề thực tiễn, vào tính toán kĩ thuật và cuối cùng là phát

triển được năng lực tư duy, năng lực tư giải quyết vấn đề

- Muốn giải được bài tậpToán , học sinh phải biết vận dụng các thao tác tư duy, sosánh, phân tích, tổng hợp, khái quát hóa…để xác định được bản chất Toán Vận dụng

kiến thức Toán để giải quyết các nhiệm vụ học tập và những vấn đề thực tế của đời sống

chính là thước đo mức độ hiểu biết của học sinh Vì vậy, việc giải bài tập Toán là phương

tiện kiểm tra kiến thức, kĩ năng của học sinh

1.1.2Tác dụng của bài tập Toán trong dạy họcToán:

1.1.2.1Bài tập giúp cho việc ôn tập, đào sâu, mở rộng kiến thức

Trong giai đoạn xây dựng kiến thức, học sinh đã nắm được cái chung, cái khái quátcủa các khái niệm, định luật và cũng là cái trừu tượng Trong bài tập, học sinh phải vận

dụng những kiến thức khái quát, trừu tượng đó vào những trường hợp cụ thể rất đa dạng,

nhờ thế mà học sinh nắm được những biểu hiện cụ thể của chúng trong thực tế Ngoài

những ứng dụng quan trọng trong kĩ thuật, bài tập Toán sẽ giúp học sinh thấy được

những ứng dụng muôn hình, muôn vẻ trong thực tiễn của các kiến thức đã học

Bài tập Toán là một phương tiện củng cố, ôn tập kiến thức sinh động Khi giải bàitập, học sinh phải nhớ lại các kiến thức đã học, có khi phải sử dụng tổng hợp các kiến

thức thuộc nhiều chương, nhiều phần của chương trình

1.1.2.2Bài tập có thể là điểm khởi đầu để dẫn dắt đến kiến thức mới

Các bài tập nếu được sử dụng khéo léo có thể dẫn học sinh đến những suy nghĩ vềmột hiện tượng mới hoặc xây dựng một khái niệm mới để giải thích hiện tượng mới do

thu nhận được để giải quyết các vấn đề của thực tiễn Có thể xây dựng nhiều bài tập có

nội dung thực tiễn, trong đó học sinh phải biết vận dụng lý thuyết để giải thích hoặc dự

đoán ở những điều kiện cho trước

1.1.2.4Giải bài tập là một trong những hình thức làm việc tự lực cao của học sinh

Trong khi làm bài tập, do phải tự mình phân tích các điều kiện của đầu bài, tự xây

dựng những lập luận, kiểm tra và phê phán những kết luận mà học sinh rút ra được nên tư

duy học sinh được phát triển, năng lực làm việc tự lực của họ được nâng cao, tính kiên trì

Có nhiều bài tập Toán không chỉ dừng lại trong phạm vi vận dụng những kiến thức

đã học mà còn giúp bồi dưỡng cho học sinh tư duy sáng tạo

1.1.2.6 Giải bài tập Toán để kiểm tra mức độ nắm vững kiến thức của học sinh

Bài tập Toán cũng là một phương tiện có hiệu quả để kiểm tra mức độ nắm vữngkiến thức của học sinh Tùy theo cách đặt câu hỏi kiểm tra, ta có thể phân loại được các

mức độ nắm vững kiến thức của học sinh, khiến cho việc đánh giá chất lượng kiến thức

của học sinh được chính xác

2.Phân loại bài tập Toán :

2.2.Phân loại theo nội dung

Người ta dựa vào nội dung chia các bài tập theo các đề tài của tài liệu Toán Sựphân chia như vậy có tính chất quy ước vì bài tập có thể đề cập tới những kiến thức của

những phần khác nhau trong chương trình Toán Theo nội dung, người ta phân biệt các

bài tập có nội dung trừu tượng, bài tập có nội dung cụ thể

- Bài tập có nội dung trừu tượng là trong điều kiện của bài toán, bản chất được nêubật lên, những chi tiết không bản chất đã được bỏ bớt

- Bài tập vui là bài tập có tác dụng làm giảm bớt sự khô khan, mệt mỏi, ức chế ở họcsinh, nó tạo sự hứng thú đồng thời mang lại trí tuệ cao

2.3 Phân loại theo yêu cầu rèn luyện kĩ năng, phát triển tư duy học sinh trong

quá trình dạy học: có thể phân biệt thành bài tập luyện tập, bài tập sáng tạo, bài tập

nghiên cứu, bài tập thiết kế

- Bài tập luyện tập: là loại bài tập mà việc giải chúng không đòi hỏi tư duy sáng tạocủa học sinh, chủ yếu chỉ yêu cầu học sinh nắm vững cách giải đối với một loại bài tập

nhất định đã được chỉ dẫn

- Bài tập sáng tạo: trong loại bài tập này, ngoài việc phải vận dụng một số kiến thức

đã học, học sinh bắt buộc phải có những ý kiến độc lập, mới mẻ, không thể suy ra một

cách logic từ những kiến thức đã học

- Bài tập nghiên cứu: là dạng bài tập trả lời những câu hỏi “tại sao”

- Bài tập thiết kế: là dạng bài tập trả lời cho những câu hỏi “phải làm như thế nào”

2.4.Phân loại theo cách thể hiện bài tập: người ta phân biệt bài tập thành

- Bài tập bài khoa

- Bài tập lựa chọn câu trả lời đúng nhất trong các câu trả lời cho sẵn (test) Loại này

có hạn chế là không kiểm tra được con đường suy nghĩ của người giải nhưng vẫn có hiệu

quả nhất định trong việc kiểm tra trình độ kiến thức, kĩ năng,kĩ xảo của học sinh

2.5 Phân loại theo hình thức làm bài

2.5.1.Bài tập tự luận : đó là những bài yêu cầu học sinh giải thích, tính toán và

hoàn thành theo một logic cụ thể Nó bao gồm những loại bài đã trình bày ở trên

2.5.2.Bài tập trắc nghiệm khách quan : là loại bài tập cho câu hỏi và đáp án Các

đáp án có thể là đúng, gần đúng hoặc sai Nhiệm vụ của học sinh là tìm ra câu trả lời

đúng nhất, cũng có khi đó là những câu bỏ lửng yêu cầu điền vào những chỗ trống để có

câu trả lời đúng Bài tập loại này gồm:

- Câu đúng – sai: câu hỏi là một phát biểu, câu trả lời là một trong hai lựa chọn

- Câu nhiều lựa chọn: một câu hỏi, nhiều phương án lựa chọn, yêu cầu học sinh tìmcâu trả lời đúng nhất

- Câu điền khuyết: nội dung trong câu bị bỏ lửng, yêu cầu học sinh điền từ ngữ hoặccông thức đúng vào chỗ bị bỏ trống

- Câu ghép hình thức: nội dung của các câu được chia thành hai phần, học sinh phảitìm các phần phù hợp để ghép thành câu đúng

3.Phương pháp giải bài tập

Đối với học sinh phổ thông, vấn đề giải và sửa bài tập gặp không ít khó khăn vì học

sinh thường không nắm vững lý thuyết và kĩ năng vận dụng kiến thứcToán Vì vậy các

em giải một cách mò mẫm, không có định hướng rõ ràng, áp dụng công thức máy móc và

nhiều khi không giải được Có nhiều nguyên nhân:

- Học sinh chưa có phương pháp khoa học để giải bài tập Toán

Việc rèn luyện cho học sinh biết cách giải bài tập một cách khoa học, đảm bảo điđến kết quả một cách chính xác là một việc rất cần thiết Nó không những giúp học sinh

nắm vững kiến thức mà còn rèn luyện kĩ năng suy luận logic, làm việc một cách khoa

học, có kế hoạch

Quá trình giải một bài tập Toán thực chất là quá trình tìm hiểu điều kiện của bài tập,xác lập được những mối liên hệ cụ thể dựa trên sự vận dụng kiến thức Toán vào điều kiện

cụ thể của bài tập đã cho Từ đó tính toán những mối liên hệ đã xác lập được để dẫn đến

lời giải và kết luận chính xác Sự nắm vững những mối liên hệ này sẽ giúp cho giáo viên

định hướng phương pháp dạy bài tập một cách hiệu quả

Bài tập Toán rất đa dạng, cho nên phương pháp giải cũng rất phong phú Vì vậykhông thể chỉ ra được một phương pháp nào cụ thể mà có thể áp dụng để giải được tất cả

bài tập Từ sự phân tích như đã nêu ở trên, có thể vạch ra một dàn bài chung gồm các

bước chính như sau:

3.1 Tìm hiểu đầu bài, tóm tắt các dữ kiện

- Đọc kĩ đề bài, tìm hiểu ý nghĩa của những thuật ngữ quan trọng, xác định đâu là ẩn

số, đâu là dữ kiện

- Dùng kí hiệu tóm tắt đề bài cho gì? Hỏi gì?

3.2 Xây dựng lập luận

Thực chất của bước này là tìm quan hệ giữa ẩn số phải tìm với các dữ kiện đã cho

Đối chiếu các dữ kiện đã cho và cái phải tìm liên hệ với nhau như thế nào, qua công thức

3.2.1 Đối với những bài tập tổng hợp phức tạp, có hai phương pháp xây dựng lập

khác để tiến dần đến công thức cuối cùng có chứa ẩn số và các dữ kiện đã cho

3.2.2 Đối với bài tập định tính: ta không cần tính toán nhiều mà chủ yếu sử dụng

lập luận, suy luận logic dựa vào kiến thức Toán để giải thích hoặc dự đoán khả năng xảy

ra

3.4 Kiểm tra, xác nhận kết quả và biện luận

- Từ mối liên hệ cơ bản, lập luận giải để tìm ra kết quả

- Phân tích kết quả cuối cùng để loại bỏ những kết quả không phù hợp với điều kiệnđầu bài tập hoặc không phù hợp với thực tế Việc biện luận này cũng là một cách để kiểm

tra sự đúng đắn của quá trình lập luận Đôi khi, nhờ sự biện luận này mà học sinh có thể

tự phát hiện ra những sai lầm của quá trính lập luận, do sự vô lý của kết quả thu được

4 Xây dựng lập luận trong giải bài tập

Xây dựng lập luận trong giải bài tập là một bước quan trọng của quá trình giải bàitậpToán Trong bước này, ta phải vận dụng những định lý, những quy tắc, những công

thức để thiết lập mối quan hệ giữa đại lượng cần tìm, hiện tượng cần giải thích hay dự

đoán với những dữ kiện cụ thể đã cho trong đầu bài Muốn làm được điều đó, cần phải

thực hiện những suy luận logic hoặc những biến đổi toán học thích hợp Có rất nhiều

cách lập luận tùy theo loại bài tập hay đặc điểm của từng bài tập Tuy nhiên, tất cả các

bài tập mà ta đã nêu ra trong mục phân loại bài tập ở trên đều chứa đựng một số yếu tố

của bài tập Dưới đây, ta xét đến phương pháp xây dựng lập luận để giải bài tập đó

5.1 Các kiểu hướng dẫn học sinh giải bài tập Toán

5.1.1 Hướng dẫn theo mẫu 5.1.2 Hướng dẫn tìm tòi

5.1.3 Định hướng khái quát chương trình hóa:

6 Lựa chọn và sử dụng bài tập trong dạy học Toán

6.1 Lựa chọn bài tập

Hệ thống bài tập mà giáo viên lựa chọn phải thỏa mãn các yêu cầu sau:

- Bài tập phải đi từ dễ tới khó, từ đơn giản đến phức tạp (phạm vi và số lượng cáckiến thức, kĩ năng cần vận dụng từ một đề tài đến nhiều đề tài, số lượng các đại lượng

cho biết và các đại lượng cần tìm…) giúp học sinh nắm được phương pháp giải các loại

kiện, bài tập mang tính chất ngụy biện và nghịch lý, bài tập có nhiều cách giải khác nhau

và bài tập có nhiều lời giải tùy theo điều kiện cụ thể của bài tập mà giáo viên không nêu

lên hoặc chỉ nêu lên một điều kiện nào đó mà thôi

 Bài tập giả tạo: là bài tập mà nội dung của nó không sát với thực tế, các quá trình

tự nhiên được đơn giản hóa đi nhiều hoặc ngược lại, cố ý ghép nhiều yếu tố thành một

đối tượng phức tạp để luyện tập, nghiên cứu Bài tập giả tạo thường là bài tập định lượng,

có tác dụng giúp học sinh sử dụng thành thạo các công thức để tính đại lượng nào đó khi

biết các đại lượng khác có liên quan, mặc dù trong thực tế ta có thể đo nó trực tiếp được

6.2 Sử dụng hệ thống bài tập:

- Các bài tập đã lựa chọn có thể sử dụng ở các khâu khác nhau của quá trình dạyhọc: nêu vấn đề, hình thành kiến thức mới củng cố hệ thống hóa, kiểm tra và đánh giá

kiến thức kĩ năng của học sinh

- Cần chú ý cá biệt hóa học sinh trong việc giải bài tập Toán , thộng qua các biệnpháp sau

+ Biến đổi mức độ yêu cầu của bài tập ra cho các loại đối tượng học sinh khácnhau, thể hiện ở mức độ trừu tượng của đầu bài, loại vấn đề cần giải quyết, phạm vi và

tính phức hợp của các số liệu cần xử lý, loại và số lượng thao tác tư duy logic và các

phép biến đổi toán học cần sử dụng, phạm vi và mức độ các kiến thức, kĩ năng cần huy

động

+ Biến đổi mức độ yêu cầu về số lượng bài tập cần giải, về mức độ tự lực của họcsinh trong quá trình giải bài tập

B:CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Bài toán tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số nói riêng và bất đăng thức nói chung

là một trong những chủ đề quan trọng và hấp dẫn trong chương trình giảng dạy và học tập

bộ môn Toán ở THPT.Trong các đề thi môn Toán của các kì thi vào đại học,cao đẳng

trong những năm gần đây.Các bài toán liên quan đến tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của

hàm số thường xuyên có mặt và thường là một trong những câu khó nhất của đề thi

Với lí do đó tôi đã mạnh dạn đưa ra giải pháp về chủ đề này luôn thu hút sự quan tâm và

chú ý của bạn đọc.trong sáng kiến giáo dục ” Một vài phương pháp chứng minh Bất

đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất “ này, tôi sẽ cung cấp cho các đồng nghiệp

và các em học sinh những cách giải thông dụng nhất đối với những bài toán tìm giá trị

lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số,cũng như biết cách áp dụng bài toán này để giải các bài

toán liên quan đến nó

Nội dung của giải pháp được trình bày trong 5 chương:

Chương I: Đưa ra

1: Những kỹ năng quan trọng cần nhớ trong việc chứng minh bất đẳng thức

2: Cơ sở lý thuyết của bài toán tìm giá trị lớn nhất -nhỏ nhất của hàm số

Chương II: Với tiêu đề ‘’Vài bài toán mở đầu về chứng minh bất đẳng thức và giá trị

lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số’’ sẽ giới thiệu với bạn đọc bài toán tìmgiá trị lớn nhất,nhỏ

nhất của hàm số thông qua việc trình bày tính đa dạng của các phương pháp giải bài toán

này.Bằng cách điểm lại sự có mặt của các bài thi về chủ đề này có mặt trong các đề thi

tuyển sinh Đại học-Cao đẳng trong nhiều năm gần đây,các bạn sẽ thấy được sự cần thiết

của việc phải trang bị cho mình những kiến thức để giải quyết bài toán ấy Các phương

pháp cơ bản và thông dụng nhất để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm

số được trình bày từ chương 2 đến chương 4

Chương III: Phương pháp bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

ChươngIV :Phương pháp lượng giác hóa tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

ChươngV:Phương pháp chiều biến thiên hàm số tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

hàm số.

CHƯƠNG I:

1:Những kĩ năng quan trọng cần nhớ trong chứng minh bất đẳng thức :

1.1-Định luật bảo toàn dấu bằng trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn

nhất -giá trị nhỏ nhất :

Nếu như trong vật lí có định luật bảo toàn năng lượng,trong hóa học có định luật bảo toàn

khối lượng thì trong bất đẳng thức toán học ,ta cần biết đến định luật bảo toàn dấu

bằng.Cụ thể là khi gặp một bất đẳng thức,bạn có thể có nhiều hướng tiếp cận nhưng

chung quy lại,khi kết thúc nó bạn luôn luôn phải “bảo toàn”được dấu bằng trong quá

trình đánh giá.Điều này có nghĩa là lời giải của bạn chỉ tồn tại một đánh giá nào đó không

bảo đảm được dấu bằng thì lời giải đó chắc chắn sai.hãy xét ví dụ đơn giản sau để hiểu

hơn

VD: chứng minh rằng với mọi số thực a,b ta luôn có Lời giải đúng:

sử dụng bất đẳng thức Côsi bộ hai số có dạng

Ta có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=2b

Hướng giải sai

Sử dụng bất đẳng thức Côsi bộ hai số ,ta có

Vì sao chỉ cần nhìn thấy dòng này ta biêt ngay hướng giải sai? Bởi nếu đánh giá như vậy

dấu bằng xảy ra khi a=b,trong khi vơi bất đẳng thức gốc dấu bằng xảy ra khi a=2b.Và

như tôi đã nói ở trên khi dấu bằng không được bảo toàn thì chứng minh của chúng ta chắc

chắn không còn hi vọng đúng

Ở góc đọ người chấm thi họ thường có tâm lí ngại đọc một lời giải dài khi ấy mà nhìn

thoáng qua lại có một đánh giá nào đấy không bảo toàn dấu bằng hắn sẽ rất thích thú và

không đọc cụ thể nữa.Bởi lời giải này chắc chắn sai rồi

Ở góc độ người làm bài chỉ điểm thuận lợi là khi dự đoán được dấu đẳng thức ta có thể

tránh được rât nhiều những “Hướng đi tới ngõ cụt”, từ đo tối ưu hóa hiêu quả và thời gian

làm bài

Chính bởi tính bắt buộc của định luật bảo toàn dấu bằng là một vấn đề đáng quan tâm

nhất khi giải bài toán bất đẳng thức và cực trị.Thong thườngchúng ta sử dụng kx thuật

chon điể dơi đẻ tì dấu bằng của bài toán

1.2Độ mạnh yếu trong chứng minh bất đẳng thức:

Chắc chắn bạn sẽ băn khoăn, học toán chứ có phải thi võ đau mà xét mạnh yếu?

Tôi biết nghe có vẻ lạ nhưng thục sự khái niêm mạnh yếu là một vai trò rất quan trọng

trong việc giải toán bất đẳng thức Nó cho ta biết trong hàng nghìn nbất đẳng thức nào có

thể so sáng với nhau và mối quan heẹ cụ thể giữa chúng.Ngoài ra, từ đo ta có thể nhận

biết được trong một nhóm bất đẳng thức cùng dạng bất đẳng thức nào sẽ dễ hơn khó hơn

Thông thường,bất đẳng thức càng mạnh(tức càng chặt) thì càng khó và ngược lại

Thực ra định nghĩa tổng quát về đọ mạnh yếu của bất đảng thức khá phức tạp đói với học

sinh phổ thông nên vì tính mục đích của giải pháp tôi chỉ nêu một hệ quả quan trọng suy

ra từ định nghĩa:

Hệ quả:

Nếu từ bất đẳng thức 1 suy ra được bất đẳng thức 2 nhưng từ hai ta không thể suy ngược

lại 1 thì ta nói bất đẳng thức 1 mạnh hơn bất đẳng thức 2

Ví dụ 1:Ta có chuỗi bất đẳng thức dạng

Dựa vào định nghĩa trên ta có kết luận:

-Bất đẳng thức mạnh hơn bất đẳng thức

- và là bất đẳng thức có thể so sánh được với nhau

Ví dụ 2:Chứn minh 3>1

Ta chỉ có thể chứng minh 3>2,2>1.Tuy nhiên nếu ta đánh giá 3>0 thì cần phải chỉ ra

0>1,tuy nhiên bất đẳng thức này bị ngược dấu

Như vậy trên thực tế khái niệm mạnh yếu còn giúp còn giúp ta thấy được sai lầm mình

phải mắc cụ thể là ở bước nào

1.3Biến đổi tương đương

Có một kĩ năng thường xuyên được sử dụng trong các bài toán bất đẳng thức,đó là kĩ

năng biến đổi tương đương.Khi biến đỏi tương đương,thì những bất đẳng thức thu được

sẽ tương đương với bất đẳng thức ban đầu.Bất đẳng thức ban đầu đúng thì bất đẳng thức

sau thu được cũng sẽ đúng.Tức đọ chặt chẽ của bài luôn được bảo toàn.Để dễ hình dung

ta xết ví dụ sau:Để chứng minh 4>2,chia cả 2 vế cho 2;ta chỉ cần chứng minh tương

đương 2>1

Tóm lại biến đổi tương đương cụ thể là thé nào?Ta dùng nó trong trường hợp gì mục đich

ra sao?Xét ví dụ đẻ hiểu hơn

Cho a,b>0 chứng minh răng:

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

hay (luôn đúng với a,b>0Vậy biến đỏi tương đương là quá trình sử dụng một hoắc nhiều những phép toán đại số để

đưa bất đẳng thúc đã cho vè dạng tương đương giúp việc đánh giá trở nên thuận lợi hơn

Những phép toán đại sô thường sử dụng là chuyển vế đổi dấu, quy đòng mẫu số,thêm

bớt Một trong những phương pháp biến đổi tuơng đương là kỹ năng đồng bậc hoá,

1.4: Bậc của bất đẳng thức và kĩ năng đồng hóa :

- Trước tiên ta cần năm vưng hai quy ước sau

Bậc của một bất đẳng thức là soó mũ cao nhất của hạng tử trong đó

+)2 là một bất đẳng thức không đong bậc vìnó có thể viêt lại thành f(a,b)=

với f(a,b) chứa các hạng tử bậc 2,8,5

2: Cơ sở lý thuyết của bài toán tìm gía trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Cơ sở lý thuyết của bài toán tìm gía trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

2.1-Định nghĩa giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số :

Đinh nghiã 1:xét hàm số f(x) với Ta nói rằng M là giá trị lớn nhất của hàm số trên

D,nếu như thỏa mãn điều kiện sau:

1

2 Tồn tại ,sao cho khi đó ta kí hiệu

Định nghĩa 2: Xét hàm số f(x) với Ta nói rằng m là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D

, nếu như thỏa mãn các điều kiện sau

1

2 Tồn tại sao cho

khi đo ta kí hiệu

Như vậy định nghĩa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đều có hai phần Cần lưu ý rằng cả hai

phần đều quan trọng như nhau, không được xem nhẹ phần hai

Xét ví dụ sau đây:

Cho x>0,y>0 và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

Xét phép giả sau đây:

ta có

từ đó suy ra vậy minP=8

Cách giả này sai ở chỗ là mới dựa vào phần 1 của định nghĩa giá trị nhỏ nhất Ta xem

xem phần 2 có thỏa mãn hay không Để dấu bằng xảy ra thì x=y=1 khi đó vậy

không thể xảy ra dấu bằng trong bất đẳng thức tức là phần hai về định nghĩa giá trị

nhỏ nhất không thỏa mãn vì thế kết luận minS=8 là sai

Cách giải đúng như sau:

Viết lại S dưới dạng:

Ta có (2)

(3)

mặt khác: (4)

Từ (1) (2) (3) (5) suy ra (6)

Dấu bằng trong (6) xảy ra khi đòng thời co dấu bằng trong (2) (3) (5)

Như vậy tồn tại ( thỏa mãn và khi

theo định nghĩa về giá trị nhỏ nhất ta có

Qua ví dụ này ta thấy nếu không để ý đến điều kiện 2 trong định nghĩa thì bài toán có thể

dẫn tới sai lầm

2.2Cáctính chất của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Tính chất 1: Giả sử f(x) xác định trên D và A,B là tập của D trong đó A

Giả sử cùng tồn tại khi đó ta có

Chứng minh: Giả sử với

ta có f(x)

Do

đpcm

Tính chất 3: Giả sử f(x) xác định trên miền D và

giả thiết tồ tại

Khi đó ta có công thức sau:

Vì Do vậy phải thuộc về ít nhất 1 trong 2 tập.Từ đó có

thể cho là theo định nghĩa về giá trị lớn nhất ta có

(5)Hiển nhiên (6)

Từ 5,6 suy ra (7)

Bây giờ từ (4) (7) ta có

Nhờ tính chất 3 nói tren cho phép ta có thể biến bài toán tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ

nhất của một hàm số trên một miền xác định phức tạp thành một dãy bài toán trên các

miền đơn giản

Vì lý do ấy tính chất 3 còn gọi là NGUYÊN LÝ PHÂN RÃ.

Lại có (2;2) và khi đó P=0, nên (2)

với mọi thì nên theo bất đẳng thức Cô si ta có :

hay

Mặt khác từ

Rõ ràng (2;1) (3)

Từ (1) (2) (3) suy ra

Tính chất 4: giả sử hám số f(x) xác định trên D và tồn tại Khi đó ta có

;Chứng Minh :

Dấu bằng trong 2 xảy ra khi và chỉ khi tồn tại sao cho

Chứng minh:

Ta chứng minh 1

lấy tùy ý x Theo định nghĩa giá trị lớn nhất ta có:

(3)Cộng từng vế bất đẳ thức n ta có :

(4)

Vì bất đẳ thức (4) đúng nên ta có:

(5)Vậy (5) đúng Bây giờ xét khả năng có dấu bằng trong (1)

Tính chất 6: Giả sử cùng xác định trên miền D, và ta có

Giả thiết thêm tồn tại cũng như

.Đặt f(x)= Khi đó ta có:

(1)

(2)

Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại sao cho

Tương tự dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại sao cho

Chứng minh hoàn toàn tương tự như chứng minh của tính chất 5

Tính Chất 7:Giả sử f(x)và g(x) là hai hàm số cùng xác định trên miền D Đặt

h(x)=f(x)-g(x).Giả sử tồn tại giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f(x),g(x),h(x) trên D Khi đó ta

Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại sao cho

Dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại sao cho

Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh (1)

Ta có h(x)=f(x)-g(x)=f(x)+(-g(x))

Theo tính chất 5 ta có

(3)Theo tính chất 2 ta có

(4)Thay (4) vào (3) ta có

(1)

(2)

Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại sao cho

Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại sao cho

Tính chất 8:

1 Giả sử f(x) là hàm số xác định trên miền D.Khi đó với mọi n nguyên dương ta có

2.Nếu thêm vào giả thiết f(x) Khi đó với mọi n nguyên dương, ta có :

.Chứng minh tính chất này suy trực tiếp từ định nghĩa của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của hàm số, cũng như các tính chất về lũy thừa của một bất đẳng thức

Trong thực tế, người ta rất hay sử dụng một trường hợp riêng của tính chất 9 như sau:

Điều này rất có ích để giải các bài toán thuộc dạng căn bậc hai hoặc có chứa biểu thức

với dấu giá trị tuyệt đối

Xét ví dụ minh họa sau đây:

Vậy

Từ đó suy ra max f (t) =3 và min f(t)=-6

Bình luận : Tính đa dạng của các phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất

cũng thể hiện rõ qua ví dụ này

Chương II

Vài bài toán mở đầu về chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ

nhất:

Bài toán 1:(Đề thi tuyển sinh Đại học,Cao đẳng khối B)

Cho hàm số y = .Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số này trên miền

Vậy:

Bài toán 2:(Đề thi tuyển sinh đại học,cao đẳng khối D)

Cho Tìm giá trị lớn nhất và nhỉ nhất của biểu thức

Cách 2:(phương pháp lương giác hóa)

Bài toán 3:(đề thi tuyến sinh đại học,cao đẳng khối B)

Giả sử x,y là hai số thực sao cho Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của biểu thức

P=

Hướng dẫn giải

Cách 1:(phương pháp tìm miền giá trị của hàm số)

Do ,nên ta có:P (1)

Xét hai khả năng sau:

1.Nếu y 0(khi đó x 1).Lúc này P 2

2.Nếu y 0.Khi đó P ,ở đây t và

Gọi m là giá trị tùy ý của hàm số ,khi đó phương trình sau đây (ẩn t):

(2) có nghiệm.Dễ thấy vì , nên (2)

(3)

*Nếu m=2,khi đó 2 ,nên (3) có nghiệm.Vậy m=2 là một giá trị cuẩ hàm số

*Nếu m ,khi đó (3) có nghiệm

(4)

Do m là giá trị tùy ý của ,nên từ (4) suy ra

và Kết hợp với P=2 khi y=0,ta kết luận:

Với điều kiện thì

Cach 2:(phương pháp miền giá trị hàm số)

Khi đó phương trình sau đây (ẩn ) (2)

có nghiệm

Có nghiệm khi

Suy ra maxP=3, minP=-6 khi

Cách 3(Phương pháp chiều biến thiên hàm số)

Bài 4:Cho số thực thay đổi và thỏa mãn điều kiện:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lời giải

Từ giả thiết suy ra:

Đặt ta có: (1).Mặt khác

Từ (1) suy ra

Do đó,

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

Vậy giá trị lớn nhất của A là 16

Bài 5:Cho các số thực dương x,y,z thay đổi và thỏa mãn điều kiện

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si bộ hai số ta có:

Xét hàm số với .Ta có:

Suy ra nghịch biến trên khoảng

Do đó, (vì theo giả thiết có )

Vậy ta có điều phải chứng minh

CHƯƠNG 3:

Phương pháp sử dụng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số

Phương pháp chung:

Việc sử dụng bất đẳng thức để tìm gtln,gtnn của hàm số(hoặc một biểu thức) là một

phương pháp quen thuộc,chúng ta sẽ minh họa ý tưởng thông qua bất đẳng thức Côsi

như sau:

1.Việc sử dụng bất đẳng thức Côsi để tìm gtln M của hàm số hoặc biểu thức kí hiệu

chung là f(x,y, ) được hiểu theo nghĩa cần thực hiện hai công việc:

a.Chứng minh rằng f(x,y, ) với mọi x,y, cho trước.

b.Tìm các giá trị của x,y, để f(x,y, )=M

Từ đó,đưa ra lời kết luận rằng ”Gtln của hàm số hoặc biểu thức bằng M và đạt được với

x,y, tìm được trong b.”.

2.Việc sử dụng bất đẳng thức Côsi để tìm gtnn m của hàm số hoặc biểu thức kí hiệu

chung là f(x,y, ) được hiểu theo nghĩa cần thực hiện hai công việc:

a.Chứng minh rằng f(x,y, ) m với mọi x,y, cho trước.

b.Tìm các giá trị của x,y, để f(x,y, )=m

Từ đó,đưa ra lời kết luận rằng ”Gtnn của hàm số hoặc biểu thức bằng m và đạt được với

x,y, tìm được trong b.”.

1,Phương pháp sử dụng bất đẳng thức côsi:

+Sử dụng bất đẳng thức côsi cơ bản

-Ta gọi hai bất đẳng thức thông dụng sau đây là hai bất đẳng thức Côsi cơ bản:

với mọi a>0,b>0.Dấu bằng xảy ra

với mọi Dấu bằng xảy ra

Rất nhiều bài toán giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số quy về việc hai bất đẳng thức

nói trên.

Bài 1: Cho x >0, y>0, z>0 và x + y + z =1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

dấu bằng trong (3) xảy ra khi

Vậy dấu bằng trong (4) xảy ra

(kết hợp với điều kiện )

Từ đó suy ra maxP=1

Nhận xét: Thực chất bài toán tuyển sinh đại học khối A-2005 có dạng sau: Cho

và

Chứng minh bất đẳng thức

Rõ ràng dưới dạng bất đẳng thức.bài toán dễ hơn ở chỗ là có định hướng ( tức bài toán

tìm giá trj lớn nhất,nhỏ nhất cho biết trước đáp số)

Theo bất đẳng thức Côsi cơ bản,ta có:

Dấu bằng trong (2) xảy ra

2, Phương pháp sử dụng kĩ thuật ngược dấu trong bất đẳng thức Côsi.