Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh vĩnh phúc

3,0 điểm Cho tứ giác ABCDnội tiếp đường tròn  O sao cho hai tia BAvà CDcắt nhau tại điểm E.Hai tia AD BC, cắt nhau tại điểm F.Gọi G H, lần lượt là trung điểm của AC BD, .Đường phân giá

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VĨNH PHÚC

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM HỌC 2022-2023

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút , không kể giao đề

Câu 1 (3,5 điểm)

a) Giải phương trình x2  x 1 x2  4x 1 4x2

b) Giải phương trình x 3 5 x 2 15 2 x x 2 4

c) Giải hệ phương trình    

2 2 2







Câu 2 (1,5 điểm)

a) Tìm tất cả các số nguyên tố p q, sao cho p23pq4q2là một số chính phương b) Tìm tất cả các số nguyên tố psao cho tồn tại các số tự nhiên x y, thỏa mãn

Câu 3 (1,0 điểm) Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn điều kiện

a b c ab bc ca   Chứng minh rằng :

3 2

)

2

a a b c  

 2  2  2

b

Câu 4 (3,0 điểm) Cho tứ giác ABCDnội tiếp đường tròn  O sao cho hai tia BAvà

CDcắt nhau tại điểm E.Hai tia AD BC, cắt nhau tại điểm F.Gọi G H, lần lượt là trung điểm của AC BD, .Đường phân giác của các góc BECvà AFBcắt nhau tại điểm K.Gọi L là hình chiếu vuông góc của Ktrên đường thẳng EF.Chứng minh rằng :

)

MC NA  KG trong đó M là giao điểm của hai đường thẳng EKvà BC, N là giao điểm của hai đường thẳng FK và AB

Câu 5 (1,0 điểm) Thầy Hùng viết các số nguyên 1; 2;3; ; 2021; 2022lên bảng Thầy Hùng xóa đi 1010 số bất kỳ trên bảng Chứng minh rằng trong các số còn lại trên bảng luôn tìm được:

a) 3 số có tổng các bình phương là hợp số

b) 504số có tổng các bình phương chia hết cho 4

ĐÁP ÁN Câu 1 (3,5 điểm)

d) Giải phương trình x2  x 1 x2  4x 1  4x2

Với x 0không là nghiệm của phương trình Với x 0chia 2 vế của phương trình cho x2ta được :

 1 x 1 1 x 4 1 4

1 1

x

  , phương trình trở thành

2

2

1

x

x x







Vậy

2

e) Giải phương trình x 3 5 x 2 15 2 x x 2 4

(2)

Điều kiện : 2

3 0

x

x x

  







 , Đặt t x 3 5 x t 0

Ta có t2  8 2 15 2 x x 2  2 15 2 x x 2  t2 8 Phương trình (2) trở thành

2

 





Vậy x 1

f) Giải hệ phương trình

 

2 2

2







Với  

3

x

x







Với y 0,chia cả 2 vế phương trình cho y ta được :

 

2

2

3

14 3

x y y

x y y











Đặt

2 3

, 3

a y







   

 hệ phương trình trở thành

9 2 11

9

a b

a b

b







 





 



 



2

2

2

2

3 2

*)

3 9 3 9

*)

3 2

y

x y

y

x y





Vậy hệ phương trình có 6 nghiệm

0;0 ; 3;0 ; 3;9 ; 8; 20 ; 3; 2 ; 15; 20          

Câu 2 (1,5 điểm)

c) Tìm tất cả các số nguyên tố p q, sao cho p23pq4q2là một số chính phương

Giả sử  p q, là cặp số nguyên tố sao cho luôn tồn tại số nguyên dương rthỏa mãn

 

2 3 4 2 2 1

Giả sử p q, đểu khác 3 Ta có :

p q  nên r2 p23pq4q2 p2q2 2(mod3) (vô lý vì số chính phương chia cho 3 khác 2)

Do đó p3hoặc q3mà p q, là số nguyên tố nên

3 3

p q







Nếu p 3thay vào (1) ta được :

 2

2

2 4 2 9 9 4 2 8 4 2 2

Nên 2q32 r2 2q22

Điều nầy vô lý nên trường hợp này không có giá trị rthỏa mãn

Nếu q 3thay vào (1) ta được : r2 p29p36p212p36 p62

 2

p r  p , do đó  

2

Vậy p11;q3

d) Tìm tất cả các số nguyên tố psao cho tồn tại các số tự nhiên x y, thỏa mãn x3y3 6xy p 8

Với các số x y p, , thỏa mãn giả thiết, ta có :

3

3 3

2

x y  2 x2 y2   4 xy 2x 2y p *

2 2

        là ước của p

Do x y, nguyên dương nên x y  2 2,mặt khác p nguyên tố nên ta có :

 

 

2 2

  







Xét phương trình x2y2 4 xy 2x 2y1

 2  2  2

Vì x y, có vai trò như nhau nên giả sử xy

Mà 2 2   1 2 1 2  0 2; x,y là các số nguyên và xynên xảy ra các trường hợp sau :

 

 

 

2

2

2

1

3

1

x y

x

x







Với x1;y 2 p5

Với x3;y 2 p7

Hai trường hợp còn lại làm tương tự cũng cho ra

5 7

p p







Vậy p 5;7

Câu 3 (1,0 điểm) Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn điều kiện

a b c ab bc ca   Chứng minh rằng :

3 2

)

2

a a b c  

Ta có : a b 2b c 2c a 2 0

 

2

2

2 2 2

3

a b c

 

Mặt khác: a2 b2 c2 ab bc ca   3

2

6 2

a b c

 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

2 2

a b c  

 2  2  2

b

Từ giả thiết ta có :

 

   

 

2

2 2 2

1

Tương tự ta có :

 

   

   

 

     

 

   

 

   

 

   

 

   

 

   

 

VT

dfcm

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

2 2

a b c  

Câu 4 (3,0 điểm) Cho tứ giác ABCDnội tiếp đường tròn  O sao cho hai tia BA

và CDcắt nhau tại điểm E.Hai tia AD BC, cắt nhau tại điểm F.Gọi G H, lần lượt

là trung điểm của AC BD, .Đường phân giác của các góc BECvà AFBcắt nhau tại điểm K.Gọi L là hình chiếu vuông góc của Ktrên đường thẳng EF.

Chứng minh rằng :

N N

M

L

K

F

E

O

A

D

C B

)

Theo tính chất tổng 3 góc trong tam giác, ta có : BEF BFE180  EBF

Tứ giác ABCDnội tiếp nên BCE BAF 180 

180

Do đó KEFvuông tại K, có KLlà đường cao nên theo hệ thức ta được :

2

KL LE LF suy ra KL LE LF dfcm.  

Xét EACvà EDBcó :

BEC

 là góc chung, ECAEBD(góc nội tiếp cùng chắn AD)

 

Mà

,

(do H là trung điểm của BD G; là trung điểm của AC)

Nên từ  1

Ta có BACBDC(góc nội tiếp cùng chắn BCcủa (O))

Mà EAC180  BAC;BDE180  BDC(kề bù) nên

Xét EAGvà EDHcó :

Từ (2)

Tương tự ta có:

MC NA  KG trong đó M là giao điểm của hai đường thẳng EKvà BC, N

là giao điểm của hai đường thẳng FK và AB

Từ (2) AEGDEH

EK là tia phân giác của BECnên AEK DEK

EK

 là tia phân giác của GEH Tương tựFK là tia phân giác của GKH

Gọi K'là giao điểm của EK GH, Theo tính chất đường phân giác, ta có :

'

'

HFG

' '

K H FH nên FK'là đường phân giác của GFH

Do đó K'là giao ba đường phân giác DEF K K' H K G, , thẳng hàng

MC EC (theo tính chất đường phân giác )

EBC

 và EDAcó BECchung và EBCADC(cùng bù ADC)

 

( ) 2

∽

HEG

EG KG (theo tính chất đường phân giác)

dfcm

Câu 5 (1,0 điểm) Thầy Hùng viết các số nguyên 1; 2;3; ; 2021; 2022lên bảng Thầy Hùng xóa đi 1010 số bất kỳ trên bảng Chứng minh rằng trong các số còn lại trên bảng luôn tìm được:

c) 3 số có tổng các bình phương là hợp số

Dãy các số nguyên 1;2;3; ;2021; 2022có 1011 số chẵn và 1011 số lẻ

Nếu xóa đi 1010sổ lẻ thì trên bảng còn 1011 số chẵn Chọn ra 3 số chẵn bất kỳ trong các số chẵn còn lại thì tổng các bình phương của ba số này là 1 số chẵn Nếu xóa đi 1010 số chẵn thì trên bảng còn 1 số chẵn Chọn ra số chẵn đó và 2 số lẻ bất kỳ còn lại thi tổng các bình phương 3 số này là 1 số chẵn

Tổng các bình phương của ba số chia hết cho 2 và lớn hơn 2 nên tổng này là hợp số

d) 504số có tổng các bình phương chia hết cho 4

Các số chính phương lẻ chia 4 dư 1 Các số chính phương chẵn chia hết cho 4 Tổng 504số chính phương lẻ chia hết cho 4

Sau khi xóa 1010 số trên bảng thì còn lại 1012số

+Nếu trong 1012 số này có 504 số lẻ thì 504 số này có tổng các bình phương chia hết cho 4

+Nếu trong 1012 số trên có ít hơn 504 số lẻ thì có ít nhất 506 số chẵn 506 số chẵn này có tổng các bình phương chia hết cho 4 (đpcm)