Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh sơn la

Đường cao AHcủa tam giác ABCcắt đường tròn O R; tại điểm thứ hai là.. D Kẻ DM vuông góc với ABtại M a Chứng minh tứ giác BMHDnội tiếp được đường tròn và DAlà tia phân giác của góc MDC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH SƠN LA

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN SƠN LA

NĂM HỌC 2022-2023 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN

Thời gian làm bài : 150 phút

Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức

: 1 4

x A

x





x x x

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm các giá trị xnguyên để Anhận giá trị nguyên

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình 2 2

2 1 0

y x

x xy y

  





 b) Giải phương trình : x2  2x  7 3 x2  1 x 3

Câu 3 (2,0 điểm)

a) Tìm giá trị của tham số kđể đường thẳng  d1 :y x 2cắt đường thẳng

 d2 :y 2x  3 ktại một điểm nằm trên trục hoành

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho parabol  P y x:  2và đường thẳng

 d :y 2mx m  1(với mlà tham số) Tìm tất cả các giá trị của mđể (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x1 , 2thỏa mãn x1  x2  3

Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn AB AC nội tiếp đường tròn

O R;  Đường cao AHcủa tam giác ABCcắt đường tròn O R; tại điểm thứ hai là .

D Kẻ DM vuông góc với ABtại M

a) Chứng minh tứ giác BMHDnội tiếp được đường tròn và DAlà tia phân giác của góc MDC

b) Từ Dkẻ DN vuông góc với đường thẳng ACtại N Chứng minh ba điểm

, ,

M H Nthẳng hàng

c) Cho PAB2 AC2 CD2 BD2, tính giá trị biểu thức Ptheo R

Câu 5 (1,0 điểm)

a) Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn x x2  1 y y2  1 2

Tính Q x y 2 1 y x2 1

b) Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn 4x24y217xy5x5y1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P17x217y216xy

ĐÁP ÁN

Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức

: 1 4

x A

x





x x x

c) Rút gọn biểu thức A

2

: 1 4

1

1

x A

x

x

x









d) Tìm các giá trị xnguyên để Anhận giá trị nguyên

1

x A



Để A    x 1U(3)    1; 3

Vậy x0,x16thì A nguyên

Câu 2 (2,0 điểm)

c) Giải hệ phương trình 2 2

2 1 0

y x

x xy y

  







 

2 1

2 1 0

y x

y x

x xy y

x xy y

 



Thay y2x1vào phương trình (1) ta được hệ :

2

0 1

1

4 3 2 1 2 1 1

2 0

x y

x x

y

  











 





 









 



Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm    

1

; 0;1 ; ;0

2

x y   

d) Giải phương trình : x2  2x  7 3 x2  1 x 3

Điều kiện: x 3

Ta có : x2  2x  7 x2  1 2x 3

Đặt a x21a0 ; b x3b0 Ta có phương trình :

2 2

2

1 ( )

2

4 11 0

a b

a b x

tm

x

x x







 

          



  

 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 2; 1;2   15

Câu 3 (2,0 điểm)

c) Tìm giá trị của tham số kđể đường thẳng  d1 :y x 2cắt đường thẳng

 d2 :y 2x  3 ktại một điểm nằm trên trục hoành

Xét phương trình hoành độ giao điểm của  d1 với trục hoành  y0,x2

Vậy  d1 :y x 2cắt trục hoành tại điểm A2;0

Để đường thẳng  d1 :y x 2cắt đường thẳng  d2 :y 2x  3 ktại một điểm nằm trên trục hoành thì  d2 phải đi qua điểm A2;0

0 4 3 k k 7

     

Vậy k 7

d) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho parabol  P y x:  2và đường thẳng

 d :y 2mx m  1(với mlà tham số) Tìm tất cả các giá trị của mđể (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x1 , 2thỏa mãn x1  x2  3 Xét phương trình hoành độ giao điểm của  d và  P :

 

x  mx m   x  mx m  

Ta thấy

2

2 4

        

Nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt Do đó đường thẳng  d cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m

Ta có x x1 , 2là hai nghiệm của phương trình (1)

Áp dụng định lý Vi-ét ta được :

1 2

2 1

x x m

 





 

 Ta có :

2 2

1

2

Vậy

1

2

m 

thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt x x1 ; 2thỏa mãn x1  x2  3

Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn AB AC nội tiếp đường tròn O R;  Đường cao AHcủa tam giác ABCcắt đường tròn O R; tại điểm thứ hai là D.Kẻ DM vuông góc với ABtại M

E

N

M

D H

O A

B

C

d) Chứng minh tứ giác BMHDnội tiếp được đường tròn và DAlà tia phân giác của góc MDC

Ta có : ADBC DM, AB gt( ) DHBDMB90, mà 2 đinh M, H kề nhau cùng nhìn BD dưới 1 góc bằng nhau nên BMHDlà tứ giác nội tiếp

Vì tứ giác BMHDnội tiếp nên MDH MBH(hai góc nội tiếp cùng chắn cung MH) Hay MDAABC

Lại có ADCABC(cùng chắn cung AC)

MDA ADC

   hay DA là tia phân giác của MDC

e) Từ Dkẻ DN vuông góc với đường thẳng ACtại N Chứng minh ba điểm

, ,

M H Nthẳng hàng

Chứng minh tương tự câu a ta có tứ giác DHCNnội tiếp  DHNDCN

Mà DCN ABD(vì ABDClà tứ giác nội tiếp )

Tứ giác BDHM nội tiếp  ABD DHM  180 

Suy ra DHN DHM 180 Do đó ba điểm M H N, , thẳng hàng

f) Cho PAB2AC2CD2BD2, tính giá trị biểu thức Ptheo R

Kẻ đường kính AE

Ta có AEBACB BAEDAC sd BE sdCD    BE CD

Tương tự EC BD

Áp dụng định lý Pytago ta có

Câu 5 (1,0 điểm)

c) Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn  2   2 

x x  y y  

Tính Q x y 2 1 y x21

Ta có : 2 xy x2  1 y2  1 Q 2  Q xy  x2  1 y2  1

2

Mặt khác ta lại có :

2

Từ (1) và (2) ta suy ra

3

4

Vậy

3

4

Q 

d) Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn 4x24y217xy5x5y1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P17x217y216xy

Đặt a x y a   0  Áp dụng bđt Cosi ta có :

x y a

xy  

2

4x  4y  17xy 5x 5y 4 x y  9xy 5 x y

 2    2 9 2  

4

Thay a x y  ta có :

2

      

a x y  Từ đó, ta có 2 2 1

5

2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

2 1 5

x y 

Vậy

2 1

6 4 2

5

Min P   x y 