(SKKN HAY NHẤT) dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức

Bằng kinh nghiệmgiảng dạy, tôi rút ra được một số nguyên nhân sau đây dẫn đến các em học sinh cótâm lí sợ các bài toán về chứng minh bất đẳng thức: - Học sinh chưa được trang bị một cách

A ĐẶT VẤN ĐỀ Việc giải toán là công việc thường làm đối với các em học sinh Phần nhiều

các em học sinh chỉ tìm ra lời giải của bài toán, rồi sau đó quên ngay, không suynghĩ thêm về bài toán mình vừa làm, không để lại ấn tượng sâu sắc gì về bài toán

đó Có một số khá đông các em lại không để ý đến bài tập thầy cô ra về nhà Chính

vì vậy mà kiến thức của các em đơn điệu, rời rạc và thậm chí hổng rất nhiều, không

có sự bao quát, thiếu chiều sâu Bài toán chứng minh bất đẳng thức là bài toán khó,nhưng lại thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và Caođẳng, thi học sinh giỏi Khi gặp bài toán thuộc loại này, học sinh thường rất ngạitìm cách giải, có tâm lí sợ và rất dễ có tư tưởng bỏ qua bài toán Bằng kinh nghiệmgiảng dạy, tôi rút ra được một số nguyên nhân sau đây dẫn đến các em học sinh cótâm lí sợ các bài toán về chứng minh bất đẳng thức:

- Học sinh chưa được trang bị một cách có hệ thống và bài bản về các phương pháp

Trong giai đoạn hiện nay, việc đổi mới phương pháp dạy học toán ở trườngphổ thông trung học chủ yếu theo hướng phát huy cao độ nỗ lực cá nhân học sinh,

cá nhân hoá việc dạy học, tích cực hoá việc hoạt động học tập của học sinh Mộttrong những hoạt động quan trọng của học sinh trong quá trình giải toán đó là hoạtđộng nhận dạng và thể hiện, hoạt động phân loại các bài toán, hoạt động tìm tòi suynghĩ lời giải các bài toán nhằm nắm vững các khái niệm, các tính chất, các phươngpháp, các thuật toán

Việc rèn luyện giải toán chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp sửdụng bất đẳng thức vectơ sẽ góp phần phát triển cho học sinh các hoạt động nóitrên, đặc biệt là phát triển năng lực tìm tòi, suy nghĩ lời giải các bài toán chứngminh bất đẳng thức bởi vì mục đích của việc giải toán không chỉ nắm vững từngkiểu bài toán, thậm chí từng bài tập mà rèn luyện khả năng giải bài tập nói chung

để có thể ứng phó với những tình huống mới mẻ, không phụ thuộc vào khuôn mẫu

có sẵn

Vì những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm

như sau: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng

minh bất đẳng thức.

I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ

1 Bất đẳng thức vectơ và các hệ quả của nó a) Bất đẳng thức vectơ

Với là hai vectơ bất kì, ta luôn có các bất đẳng sau

Dấu “=” trong (I.1) xảy ra khi và chỉ khi cùng hướng

Các bất đẳng thức (I) và (II) được gọi là bất đẳng thức vectơ.

b) Hệ quả

1) Với là hai vectơ bất kì, ta luôn có các bất đẳng sau

Hai bất đẳng thức (III.1) và (III.2) có thể viết gộp dưới dạng bất đẳng thức kép như sau

Dấu “=” trong (III.1) xảy ra khi và chỉ khi ngược hướng Dấu “=” trong (III.2) xảy ra khi và chỉ khi cùng hướng2) Với là ba vectơ bất kì, ta luôn có các bất đẳng sau

Dấu “=” trong (IV) xảy ra khi và chỉ khi các vectơ cùng hướng

3) Với là n vectơ bất kì, ta luôn có các bất đẳng sau

Dấu “=” trong (V) xảy ra khi và chỉ khi các vectơ đôi một cùng hướng

4) Với là hai vectơ bất kì, ta luôn có các bất đẳng sau

Dấu “=” trong (VI.1) xảy ra khi và chỉ khi cùng hướng Dấu “=” trong (VI.2) xảy ra khi và chỉ khi ngược hướng

Chú ý Việc áp dụng các bất đẳng thức (I.1) hay (III.1) là tương đương nhau Cũng

như vậy, việc áp dụng các bất đẳng thức (I.2) hay (III.2) là tương đương nhau Do

đó trong thực hành, người ta thường sử dụng các bất đẳng thức (I.1) và (I.2)

2 Dấu hiệu nhận biết dùng bất đẳng thức vectơ để chứng minh bất đẳng thức

Sử dụng bất đẳng thức vectơ là một phương pháp hay và rất có hiệu quả để chứng minh bất đẳng thức Các bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể áp dụng được phương pháp này, nếu như bản thân các bất đẳng thức đó tiềm ẩn các dữ kiện của hình học giải tích Các dấu hiệu gợi ý người giải toán dùng bất đẳng thức vectơ:

- Các vế của bất đẳng thức có chứa căn bậc hai hoặc các biểu thức trong căn bậc hai

là tổng của các bình phương Khi đó, việc dùng bất đẳng thức vectơ sẽ giúp ta khử bớt căn hoặc khử bớt ẩn

- Các vế của bất đẳng thức có liên quan đến tích vô hướng của hai vectơ và tích độ dài của hai vectơ đó

Để dùng bất đẳng thức vectơ trong chứng minh bất đẳng thức, ta khéo léo chọn tọa độ các vectơ để sau khi sử dụng bất đẳng thức vectơ thì các vế của bất đẳng thức cần chứng minh xuất hiện Cần chú ý đến trường hợp xảy ra dấu bằng trong bất đẳng thức để chọn tọa độ của các vectơ cho phù hợp

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ

Toán học là môn học mà khi dạy bao giờ cũng gắn liền g iữa lí thuyết với bàitập áp dụng Trong chương trình sách giáo khoa, kiến thức và bài tập áp dụng bấtđẳng thức vectơ để chứng minh bất đẳng thức hầu như không có Vì thế các em họcsinh rất lúng túng và có tâm lí lo sợ khi gặp dạng toán này, dẫn đến việc bỏ qua bàitoán chứng minh bất đẳng thức thường xuất hiện trong các kỳ thi vào Đại học vàCao đẳng, thi học sinh giỏi

Sử dụng bất đẳng thức vectơ là một phương pháp hay và rất có hiệu quả đểchứng minh bất đẳng thức, tạo nên sự độc đáo, ngắn gọn và sáng tạo trong lời giảicủa bài toán Qua thực tế dạy học, tôi thấy rằng học sinh đang còn thiếu kinhnghiệm trong việc áp dụng bất đẳng thức vectơ để giải toán nói chung và giải cácbài toán chứng minh bất đẳng thức nói riêng

Khi sử dụng bất đẳng thức vectơ giải các bài toán chứng minh bất đẳng thứchọc sinh còn gặp nhiều khó khăn như sau:

- Đứng trước những bất đẳng thức nào có thể lựa chọn sử dụng bất đẳng thức vectơ

để giải và nếu dùng được bất đẳng thức vectơ thì chọn tọa độ của các vectơ như thếnào Khó khăn đó nảy sinh do hệ thống các bài tập trong sách giáo khoa chưa đadạng, phong phú để khắc sâu phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ trongchứng minh bất đẳng thức

- Việc định hướng đúng, xác định đúng đường lối để giải cũng như chọn lựa đúngphương pháp và công cụ để giải là một yêu cầu phát triển trí tuệ cho học sinh

Việc rèn luyện giải toán chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp sửdụng bất đẳng thức vectơ sẽ góp phần phát triển cho học sinh năng lực tìm tòi suynghĩ lời giải các bài toán, bởi vì mục đích của việc giải toán không chỉ nắm vữngtừng kiểu bài toán, thậm chí từng bài tập mà rèn luyện khả năng giải bài tập nóichung để có thể ứng phó với những tình huống mới mẻ, khồng phụ thuộc vàokhuôn mẫu có sẵn

Các tài liệu viết về phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ chưa nhiều,chưa đi sâu nghiên cứu các bài bài toán chứng minh bất đẳng thức giải được bằngphương pháp bất đẳng thức vectơ nên chưa thực sự thuận lợi cho thầy và trò trongviệc dạy và học về bất đảng thức, chưa xây dựng được hệ thống các bài tập đadạng, phong phú để khắc sâu phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ, để họcsinh có cơ hội rèn luyện kĩ năng giải toán, tạo nên sự nhạy bén trong nhiều tìnhhuống học tập

III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN

Việc nghiên cứu các bài toán trong toán học sơ cấp bằng cách ghép thànhnhững nhóm bài toán giải được bằng cùng một phương pháp là một việc làm hếtsức cần thiết và có ý nghĩa Trên cơ sở lý thuyết và bài tập sách giáo khoa môn toánphổ thông và một số sách toán khác, người giáo viên bằng kiến thức và kinhnghiệm của mình có thể sử dụng các phương pháp phân loại các bài toán, vạch ra

sự khác biệt giữa các bài toán theo từng kiểu để giúp ích cho học sinh khi giải toán

Để góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, tôi đã áp dụng đề tài tại các lớp12A3, 12A1 trong hai năm học 2011-1012, 2012-2013 Khi được tiếp cận vớichuyên đề này, học sinh học tập rất hứng thú và có hiệu quả Bằng cách kiểm tra,đối chứng tôi nhận thấy chuyên đề này đã góp phần nâng cao kĩ năng giải toán chocác em học sinh, giúp các em nhạy bén trong việc sử dụng phương pháp vectơ

Sau đây tôi xin được trình bày một số ví dụ vận dụng

Ví dụ 1 Chứng minh rằng với là số thực bất kì, ta luôn có

Tìm để dấu “=” xảy ra

Hướng dẫn giải Ta có

Xét hai vectơ

Khi đó:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

(a và b là các hằng số; p và q là các hằng số không đồng thời bằng 0) Tìm để đẳng thức xảy ra

Hướng dẫn giải

a) Ta có Xét hai vectơ

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

b) Ta có

Xét hai vectơ

Khi đó:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Ví dụ 3 Cho a và b là hai số thỏa mãn a – 2b + 2 = 0 Chứng minh rằng

(1)Tìm a và b để đẳng thức xảy ra

Hướng dẫn giải.

Từ điều kiện đã cho rút ra a = 2b – 2, thế vào vế trái của (1), ta có

Xét hai vectơ

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Cho hai điểm A(3; 5), B(5; 7) và đường thẳng (d): x – 2y + 2 = 0

Xét điểm M(a; b) thuộc đường thẳng (d) Tìm giá trị nhỏ nhất của MA + MB

Ta có thể giải bài toán theo cách khác: Dễ kiểm tra được rằng A và B nằm cùng phía đối với (d).Từ đó ta có thể dùng phép đối xứng qua đường thẳng (phép đối xứng trục) để giải bài toán như sau

- Xác định toạ độ điểm A’ là điểm đối xứng với A qua (d): A’(5; 1)

- Xác định toạ độ điểm M0 là giao điểm của đường thẳng (d) và đường thẳng A’B:

- Với M là điểm bất kì trên (d), ta có

MA + MB = MA’ + MB M0A’+M0B = A’B = 6

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M trùng với M0

Vậy giá trị nhỏ nhất của MA + MB là 6 khi M .

Ví dụ 4 Cho là ba số tuỳ ý Chứng minh rằng Hướng dẫn giải Ta có

Trong mặt phẳng tọa độ , xét các vectơ:

Khi đó:

Ví dụ 5 Chứng minh rằng với mọi số thực , ta có:

Hướng dẫn giải Ta có

Trong mặt phẳng tọa độ , xét các vectơ

Khi đó:

(Chú ý dấu bằng không xảy ra)

Ví dụ 6 Chứng minh rằng với là các số thực bất kì ta có

Hướng dẫn giải Trong mặt phẳng tọa độ , xét các vectơ

Ví dụ 7 Cho là các số thực bất kì, chứng minh rằng:

Hướng dẫn giải Ta có

Trong mặt phẳng tọa độ , xét các vectơ

Ví dụ 8 Cho bốn số thực tuỳ ý Chứng minh rằng:

Hướng dẫn giải Trong mặt phẳng tọa độ , xét các vectơ

Ví dụ 9 Cho bốn số thực tuỳ ý Chứng minh rằng:

Hướng dẫn giải Trong mặt phẳng tọa độ , xét các vectơ

Ví dụ 10 Chứng minh rằng với mọi giá trị của và , ta đều có

.Tìm và để đẳng thức xảy ra ?

Hướng dẫn giải Trong mặt phẳng tọa độ , xét các vectơ

Ta có:

Ví dụ 11 Cho là các số thực thay đổi

b) Ta có

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki, ta có

Từ (1) và (2) suy ra Dấu “=” trong (3) xảy ra khi dấu “=” trong (1) và trong (2) cùng xảy ra, tức là

Chú ý Đối với học sinh lớp 12, có thể tìm giá trị nhỏ nhất của đơn giản hơn

bằng cách sử dụng đạo hàm như sau:

Đặt

Với thì

Từ hai trường hợp trên ta có giá trị nhỏ nhất của bằng Cũng có thể lập bảng biến thiên của hàm số , với để thu được kết quảnhư trên

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Áp dụng bất đẳng thức , ta được

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các vectơ cùng hướng, tức là

Ví dụ 15 Cho là các số thực dương thoả mãn Tìm giá trị

Dấu “=” xảy ra khi nào ?

Hướng dẫn giải Hệ thức trong giả thiết tương đương với: (chia hai

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Trong mặt phẳng tọa độ , xét các vectơ

minh

Ví dụ 17 Chứng minh rằng với mọi giá trị của và , ta đều có Hướng dẫn giải Trong mặt phẳng tọa độ , xét các vectơ Khi đó:

minh

Ví dụ 18 Chứng minh rằng với mọi số và , ta đều có

.Dấu “=” xảy ra khi nào ?

Hướng dẫn giải

Cách 1 Trong mặt phẳng tọa độ , xét các vectơ

Ví dụ 20 Cho là các số dương thỏa mãn Chứng minh rằng

Hướng dẫn giải Trong mặt phẳng tọa độ , xét các vectơ

2 Chứng minh rằng với mọi , ta luôn có:

10 Tìm nghiệm nguyên dương của hệ:

2 Nội dung và cách thức tiến hành thực nghiệm

Được sự cho phép của Hiệu trưởng trường THPT Vĩnh Lộc, tôi đã tiến hànhdạy 2 buổi cho học sinh lớp 12A3 với nội dung: Sử dụng bất đẳng thức vectơ đểchứng minh bất đẳng thức.

Sau quá trình dạy học, tôi đã tiến hành kiểm tra tại lớp 12A3.Chọn lớp đối chứng tại lớp 12A4 trường THPT Vĩnh Lộc

Dưới đây là nội dung bài kiểm tra (thời gian: 60 phút)

Bài 1 Chứng minh rằng với mọi giá trị của và , ta đều có

Bài 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Bài 3 Cho là các số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Dụng ý của các bài tập trên: Nhằm kiểm tra khả năng vận dụng bất đẳng thức vectơtrong giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏnhất

3 Kết quả thực nghiệm

Trong lớp mà tôi tiến hành dạy thực nghiệm không có học sinh giỏi, cókhoảng 12 đến 15 em học tương đối khá, còn lại là mức trung bình Bởi vậy, phầnlớn các em cho rằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toánchứng minh bất đẳng thức là tương đối khó

Về bài kiểm tra, tôi chấm kĩ và thu được kết quả như sau

4 Kết luận chung về thực nghiệm

Qua quá trình thực nghiệm, tôi rút ra một số kết quả sau

- Việc dạy học phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toánchứng minh bất đẳng thức có tác dụng rèn luyện năng lực giải bài tập toán cho họcsinh.

- Việc dạy học phương pháp đó còn giúp cho học sinh khả năng nhìn nhận bài toáncũng như lựa chọn phương pháp và công cụ để giải toán một cách có hiệu quả hơn

- Việc tổ chức dạy học có tác dụng tốt trong việc gây hứng thú học tập cho họcsinh, tạo điều kiện phát huy tính tích cực của học sinh trong việc suy nghĩ, tìm tòilời giải của bài toán và giải bài toán đó

- Việc tổ chức dạy học phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bàitoán chứng minh bất đẳng thức tạo cho học sinh có niềm tin, có tư duy linh hoạt,nhạy bén, chủ động tìm hướng giải quyết bài toán theo nhiều cách và lựa chọnđược cách giải có lợi nhất

C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT

1 Kết luận

Qua quá trình nghiên cứu đề tài “Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức

vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức” đã thu được một số kết

- Sáng kiến kinh nghiệm chứng tỏ phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ đểgiải các bài toán chứng minh bất đẳng thức là một phương pháp quan trọng tronghoạt động giải các bài tập toán

- Sáng kiến kinh nghiệm đáp ứng được yêu cầu của hoạt động đổi mới phươngpháp dạy học: phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo, linh hoạtcủa người học Bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lêncủa học sinh

- Kết quả thực nghiệm cho phép xác nhận giả thuyết khoa học của đề tài là chấpnhận được, có tính hiệu quả và mục đích nghiên cứu đã hoàn thành

- Tôi hi vọng sáng kiến kinh nghiệm này có thể làm tài liệu tham khảo cho giáoviên và học sinh trong việc dạy học toán và mong được quý đồng nghiệp trao đổi,góp ý

2 Đề xuất

Qua quá trình thực hiện, tôi có kiến nghị như sau:

- Sách giáo khoa và sách bài tập nên xây dựng hệ thống các bài tập đa dạng, phongphú để khắc sâu phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ trong giải các bài toánchứng minh bất đẳng thức, để học sinh có cơ hội rèn luyện kĩ năng giải toán.

- Các thầy cô giáo nên dành một số buổi hoạt động ngoại khoá về phương pháp sửdụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán để học sinh được trang bị tương đốiđầy đủ về phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ, từ đó các em có sự nhạy béntrong việc giải các bài toán bằng phương pháp này

Tôi hi vọng sáng kiến kinh nghiệm này có thể làm tài liệu tham khảo cho cácđồng nghiệp và học sinh trong quá trình dạy học về chủ đề bất đẳng thức Mặc dù

đã có nhiều cố gắng nhưng do bản thân chưa có nhiều kinh nghiệm nên khó tránhđược thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự trao đổi, góp ý của quý đồng nghiệp vàcác bạn

Tôi xin chân thành cảm ơn !

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hoá, ngày 16 tháng 05 năm 2013

Tôi xin cam đoan đây là sáng kiếnkinh nghiệm của mình viết, không saochép nội dung của người khác

Người viết

Hoàng Văn Khanh TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Ban tổ chức kỳ thi Olympic 30-4 năm 2009, 2010,2011

2 Phan Đức Chính, Vũ Dương Thuỵ, Đào Tam, Lê Thống Nhất, Các bài giảng luyện thi tập 1, 2, NXB Giáo dục

3 Đại số 10 nâng cao, NXB Giáo dục

4 Hình học 10 nâng cao, NXB Giáo dục

5 Phan Huy Khải, Trần Hữu Nam, Bất đẳng thức và ứng dụng, NXB Giáo dục

6 Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thuỵ, Phương pháp dạy học môn toán

7 Phan Huy Khải, Toán nâng cao đại số 10, NXB ĐHQG Hà Nội

8 Trần Văn Hạo (chủ biên), Chuyên đề luyện thi vào Đại học, Bất đẳng thức

9 G POLYA, Sáng tạo toán học, Giải một bài toán như thế nào?, Toán học và những suy luận có lý, NXB Giáo dục

10 Tạp chí toán học và tuổi trẻ