Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh khánh hòa

Tìm tất cả các giá trị của mđể dcắt trục hoành tại điểm A,trục tung tại điểm B và tạo thành tam giác OABcó diện tích bằng 2 O là gốc tọa độ b Giải hệ phương trình    Câu 3.. 2,50 điểm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH KHÁNH HÒA

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN

NĂM HỌC 2022-2023 Môn thi : TOÁN (CHUYÊN) Ngày thi : 04/06/2022

Câu 1 (2,00 điểm)

a) Rút gọn biểu thức

3

6 6 4 2 1 10 6 3

b) Cho các số thực a b c, , thỏa 2a2 3ab2b2 1;b2 3bc4c2 2và c2 3ca a 2  3 Tính giá trị của biểu thức B a 4b4 c4

Câu 2 (2,00 điểm)

a) Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng d y mx m:   1(m là tham số) Tìm tất cả các giá trị của mđể dcắt trục hoành tại điểm A,trục tung tại điểm B và tạo thành tam giác OABcó diện tích bằng 2 (O là gốc tọa độ)

b) Giải hệ phương trình







Câu 3 (1,50 điểm)

a) Chứng minh 2x3 3x2  1 0với mọi số thực x 0

b) Cho các số thực không âm x y z, , thỏa 3 3 3

.

1 x 1 y 1 z 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của

2022

Q

Câu 4 (2,50 điểm) Cho tam giác nhọn ABCkhông cân đỉnh C nội tiếp đường tròn  O .Gọi 1

d và d2tương ứng là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại Avà B,các tiếp tuyến này cắt nhau tại D Gọi E là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng DC

a) Chứng minh năm điểm A O E B D, , , , cùng thuộc một đường tròn

b) Một đường thẳng dqua C và song song với ABcắt d1tại F Chứng minh

c) Gọi K là trung điểm của AC.Chứng minh ba điểm E F K, , thẳng hàng

Câu 5 (2,00 điểm)

a) Bên trong một tam giác đều cạnh bằng 4 cho năm điểm Chứng minh rằng trong 5 điểm đó có hai điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 2

b) Cho các số tự nhiên a b c, , thỏa 2a2 3b3  4 c4 Chứng minh a b c, , đều chia hết cho 6

c) Một tập hợp S được gọi là có tính chất T nếu S có đúng bốn phần tử và với mọi phần

tử x của S thì ít nhất một trong hai phần tử x-1 hoặc x+1 thuộc S

Cho tập hợp X 1;2;3; ;2022 Tính số tất cả các tập con có tính chất T (nêu trên) của tập X

ĐÁP ÁN Câu 1 (2,00 điểm)

c) Rút gọn biểu thức

3

6 6 4 2 1 10 6 3

1

2

A

d) Cho các số thực a b c, , thỏa 2a2 3ab2b2 1;b2 3bc4c2 2và c2 3ca a 2  3 Tính giá trị của biểu thức B a 4 b4 c4

Ta có :

2 2 2







2 2

1

B c





  









Câu 2 (2,00 điểm)

c) Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng d y mx m:   1(m là tham số) Tìm tất

cả các giá trị của mđể dcắt trục hoành tại điểm A,trục tung tại điểm B và tạo thành tam giác OABcó diện tích bằng 2 (O là gốc tọa độ)

Nhận xét m0,m1thì d không cắt cả hai trục tọa độ tại hai điểm phân biệt Do đó

m m

1

;0 , 0; 1

m

m

 



 

2

2

2

1 ; 2

2

1

3 2 2

OAB

OAB

m

m

m

m

 

 



Vậy các giá trị cần tìm là m1;m 3 2 2

d) Giải hệ phương trình





 Điều kiện : y0,x212y 4 0; x2 4y 4 0

2x 6x y 5xy 2y 0 2 x 6 x 5x 2 0 x 2y

   

   

Do x 0,nhân 2 vế của phương trình cho x ta được :

Đặt

4 6,

t x

x

  

phương trình trở thành :

4 15

t t   2

2

2

4 60 0

        

      

      



Vậy hệ có nghiệm  2; 1 , 6 4 2;3 2 2 ; 6 4 2;3 2 2          

Câu 3 (1,50 điểm)

c) Chứng minh 2x3 3x2  1 0với mọi số thực x 0

3 2

2x  3x    1 0 x 1 2x 1  0(luôn đúng) (đpcm)

d) Cho các số thực không âm x y z, , thỏa 3 3 3

.

1 x 1 y 1 z 2 Tìm giá trị nhỏ nhất

2022

Q

    3 2

Tương tự ta có :

    với mọi y z , 0

3 3 3 3 3 3

0

0

Theo chứng minh trên ta có :

0

Câu 4 (2,50 điểm) Cho tam giác nhọn ABCkhông cân đỉnh C nội tiếp đường tròn  O . Gọi d1và d2tương ứng là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại Avà B,các tiếp tuyến này cắt nhau tại D Gọi E là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng DC

K

F

E

A

B

C

d) Chứng minh năm điểm A O E B D, , , , cùng thuộc một đường tròn

90

DAO

  (DA là tiếp tuyến); DBO90(DB là tiếp tuyến)

DAOB

 là tứ giác nội tiếp

90

DEO

  (E là hình chiếu của O lên DC) nên E thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác

DAOB Suy ra A O E B D, , , , cùng thuộc một đường tròn đường kính DO

e) Một đường thẳng d qua C và song song với ABcắt d1tại F Chứng minh

Tứ giác AEBDnội tiếp  AEDABD;ABDACB(góc giữa tiếp tuyến và dây cung )

Do đó:AEDABDACB 180   ABC BAC 180   FAC ACFAFC

 tứ giác AECFnội tiếp nên ACEAFE ACDDFE

  ∽ 

f) Gọi K là trung điểm của AC.Chứng minh ba điểm E F K, , thẳng hàng

Tứ giác OABEnội tiếp nên AEOABOOAB

Tứ giác OECKnội tiếp nên OEKOCK OAK

Suy ra AEK ACF AEFhay ba điểm E K F, , thẳng hàng

Câu 5 (2,00 điểm)

d) Bên trong một tam giác đều cạnh bằng 4 cho năm điểm Chứng minh rằng trong

5 điểm đó có hai điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 2

F E

A1

C1

B1

C A

B

Xét tam giác đều ABC,gọi C A B1 , , 1 1lần lượt là trung điểm các cạnh AB BC CA, , .Theo nguyên lý Dirichlet có 1 tam giác chứa 2 điểm, chẳng hạn đó là tam giác AB C1 1 Gọi hai điểm đó là M N, Ta chứng minh MN 2

Nếu cả hai điểm M N B C,  1 1thì MN B C1 1  2 Ngược lại, đường thẳng MNcắt

1 , 1

bằng 60, chẳng hạn là AFE(góc lớn nhất) Khi đó MN EF AEAC1  2

e) Cho các số tự nhiên a b c, , thỏa 2a2 3b3  4 c4 Chứng minh a b c, , đều chia hết cho 6

Từ giả thiết suy ra blà số chẵn, đặt b 2 ,b b1 1  

2a  3b  4c  2a  24b  4c  a  12b  2c Suy ra alà số chẵn, lại đặt a 2 ,a a1 1   Khi đó 2a2 12b13  4c4  8a12  24b13  4c4  2a12  6b13c4  clà số chẵn

Vậy a b c, , dều chia hết cho 2

Dễ thấy 2a2 3b3chia 3 dư 0 hoặc dư 2a3 ,k a3k1và 4c4chia 3 dư 0 hoặc 1 Suy ra cả hai vế chia hết cho 3

3

c



3 ,

3 ,









 Khi đó :

2a  3b  4c  2.9m  3b  4.81n  2.3m b  4.27n  b  3  b 3

Vậy a b c, , đều chia hết cho 6

f) Một tập hợp S được gọi là có tính chất T nếu S có đúng bốn phần tử và với mọi

phần tử x của S thì ít nhất một trong hai phần tử x-1 hoặc x+1 thuộc S

Cho tập hợp X 1;2;3; ;2022 .Tính số tất cả các tập con có tính chất T (nêu trên) của tập X

Xét bài toán : Cho tập Y 1; 2;3; ;n n  ,n4 Gọi S là một tập con có tính chất T của Y Xét tập con S a b c d; ; ;  , giả sử a b c d   Khi đó b a 1;c b 1;d c  1 d a 3

      

      

    Do đó ta chỉ cần đếm các cặp số a d; với a d Y,  và d a  3

*)a  1 dcó n – 3 cách chọn

*)a  2 d có n – 4 cách chọn

………

*)a n  3thì d có 1 cách chọn

Vậy tổng số tập con S của Y có tính chất T là

 3  2

3 4 2 1

2

n  n      

Áp dụng bài toán trên cho các trường hợp tập X 1; 2;3; ; 2022 , số các tập con cần tìm là

2022 3 2022 2   2019.2020

2039190