Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh hải phòng

Các đường phân giác trong BD CE, của tam giác cắt nhau tại I BI, cắt đường tròn  O tại F F B Điểm Hđối xứng với C qua D.Đường tròn ngoại tiếp tam giác HBCcắt BI tại K KB a Chứng m

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI PHÒNG

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

Năm học 2022-2023

ĐỀ THI MÔN : TOÁN CHUYÊN

Thời gian làm bài : 150 phút

Bài 1 (2 điểm)

1) Cho biểu thức

4

x

A

x





Rút gọn biểu thức Avà chứng minh A 8

2) Cho phương trình ax2   bx c 0a 0có hai nghiệm x x1, 2thỏa mãn 0 x x1 , 2  1

Chứng minh

3

2 4

a a b c

 

Bài 2 (2 điểm)

1) Giải phương trình x210x 14 2 2x1

2) Giải hệ phương trình

2 2

2 2

4 4 33





Bài 3 (3 điểm) Cho tam giác cân ABC AB AC BC   nội tiếp đường tròn  O Các đường phân giác trong BD CE, của tam giác cắt nhau tại I BI, cắt đường tròn  O tại

F F B Điểm Hđối xứng với C qua D.Đường tròn ngoại tiếp tam giác HBCcắt BI tại

K KB

a) Chứng minh DC2 DI DB. và Dlà trung điểm của đoạn thẳng IK

b) Kẻ KM song song với AC M AC Chứng minh M là điểm đối xứng với Iqua AC

c) Gọi N là giao điểm của FCvà AI;gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBE Chứng minh bốn điểm M N J D, , , cùng thuộc một đường tròn

Bài 4 (1 điểm)

Xét x y z, , là các số thực dương thỏa mãn 3x2  2y2  4yz z 2 Tìm giá trị nhỏ nhất

2

4

P

y z



Bài 5 (2 điểm)

1) Chứng minh rằng nếu 2n  10a b với a b n, , là các số tự nhiên thỏa mãn 0  b 10và

1

n thì abchia hết cho 6

2) Viết lên bảng 229số tự nhiên liên tiếp : 1; 2;3; ; 229 Từ các số đã viết xóa đi 4 số bất kỳ x y z t; ; ; rồi viết lên bảng số 2

x y z t  

(các số còn lại trên bảng giữ nguyên)

Tiếp tục thực hiện thao tác trên cho đến khi trên bảng chỉ còn lại đúng một số; gọi

số đó là a.Chứng minh a 2022

ĐÁP ÁN Bài 1 (2 điểm)

3) Cho biểu thức

4

x

A

x





Rút gọn biểu thức Avà chứng minh A8

4

2

x

A

x





Do x0,x4nên  2

4) Cho phương trình ax2   bx c 0a 0có hai nghiệm x x1, 2thỏa mãn 0 x x1 , 2  1

Chứng minh

3

2 4

a a b c

 

Có 1 2 ; 1 2

1 1

M

b c

a a

 1 2 1 2

1 2 1 2

3

1

x x x x

x x x x

  

3

0

M

3

4

M

Đẳng thức xảy ra khi a c b ,  2a

Bài 2 (2 điểm)

3) Giải phương trình x210x 14 2 2x1

Điều kiện :

1 2

x 

Đặt 2x  1 a a  0



Vậy S  4 2 2;6 2 3  

4) Giải hệ phương trình

 

 

2 2

2 2







Pt  x y x y  x y  x y    x y x y 

2 2

    







    



Vậy hệ phương trinh có 4 nghiệm  ;   3; 2 ; 11 16; ; 5; 1 ; 3;3   

5 5

Bài 3 (3 điểm) Cho tam giác cân ABC AB AC BC   nội tiếp đường tròn  O Các đường phân giác trong BD CE, của tam giác cắt nhau tại I BI, cắt đường tròn  O tại

F F B Điểm Hđối xứng với C qua D.Đường tròn ngoại tiếp tam giác HBCcắt BI

tại K K B

a) Chứng minh DC2 DI DB. và Dlà trung điểm của đoạn thẳng IK

Có DCI∽ DBC g g( )DC2 DI DB.

Tứ giác BCKH nội tiếp nên DK DB DC DH  DC2 DI DB DK DI

b) Kẻ KM song song với AC M AC Chứng minh M là điểm đối xứng với I qua AC

 là tứ giác nội tiếp và là hình thang cân

;

CMI

 cân tại C, phân giác CDM I, đối xứng nhau qua AC

c) Gọi N là giao điểm của FCvà AI;gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBE Chứng minh bốn điểm M N J D, , , cùng thuộc một đường tròn

1

2

             

M,I, J thẳng hàng

; ; ;

        cùng thuộc một đường tròn

         

; ; ;

B D M N

 cùng thuộc một đường tròn (đpcm)

Bài 4 (1 điểm)

Xét x y z, , là các số thực dương thỏa mãn 3x2  2y2  4yz z 2 Tìm giá trị nhỏ

2

4

P

y z



2 y  4yz z  3 y z x  y z   x y z

3x  20xy 12y  4 x 2y  x 2y  4 x 2y

Hoàn toàn tương tự : 2 2   2 2  2

3x  20xz 12z  4 x 2z  x 2z  4 x 2z

P

Lại có :

2

2

4

y z

P

P

Vậy min

3

4

P   x y z 

Bài 5 (2 điểm)

3) Chứng minh rằng nếu 2n  10a b với a b n, , là các số tự nhiên thỏa mãn

0  b 10và n 1thì abchia hết cho 6

Ta có 2n  10a b M 2 bM 2

Đặt n 4k r k   ¥ ;r0;1; 2;3 

Th r

Mà 2r2; 4;8  b 2r  10a 2n 2r  2 16r k 1 3M aM 3 abM 6(vì bM2)

4) Viết lên bảng 229số tự nhiên liên tiếp : 1; 2;3; ;229 Từ các số đã viết xóa đi 4

số bất kỳ x y z t; ; ; rồi viết lên bảng số 2

x y z t  

(các số còn lại trên bảng giữ nguyên) Tiếp tục thực hiện thao tác trên cho đến khi trên bảng chỉ còn lại đúng một số; gọi số đó là a.Chứng minh a2022

Với mỗi tập hợp x x1 ; ; ; 2 x n Xét biểu thức   2 2 2

1 ; ; ; 2 n 1 2 n

P x x x x  x x

Chú ý rằng

2

2

x y z t

x y z t     

     Suy ra mỗi lần xóa đi 4 số bất kỳx y z t; ; ; ồi viết lên bảng số 2

x y z t  

thì giá trị biểu thức

P của các số trên bảng không tăng lên (1)

Biểu thức Pban đầu : P1;2; ;229    1 2 2 2 229  2  2022 2 2 

Từ (1) và (2) suy ra P a  a2 P1; 2; ;229 2022 2  a 2022