Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh hải dương

Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB D; là một điểm thay đổi trên cung lớn AD D khác A và B; DM cắt ABtại C a Chứng minh rằng MB BD MD BC.. b Chứng minh rằng MBlà tiếp tuyến của đườn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH HẢI DƯƠNG

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM HỌC 2022-2023 Môn : TOÁN CHUYÊN

Thời gian làm bài : 150 phút

Câu 1 (2,0 điểm)

a) So sánh biểu thức

A

với

5 2

−

b)Tính giá trị của biểu thức

( )

2

2 3

B

x x

=

+

tại

2 3 2 2 3 2

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Giải phương trình :

1

4

x

x− + − = x+

b) Giải hệ phương trình :

8

x y xy







Câu 3.(2,0 điểm)

a) Tìm các cặp số nguyên ( )x y,

thỏa mãn phương trình :

y − y+ = y− x + y − y+ x

b) Cho đa thức P x( )

với các hệ số nguyên thỏa mãn P(2021 ) (P 2022) = 2023.

Chứng minh rằng đa thức P x( ) 2024− không có nghiệm nguyên

Câu 4 (3,0 điểm)

1) Cho đường tròn ( )O

và dây cung ABkhông đi qua tâm O Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB D; là một điểm thay đổi trên cung lớn AD D( khác A và B); DM cắt ABtại C

a) Chứng minh rằng MB BD MD BC. = .

b) Chứng minh rằng MBlà tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác

BCD

và khi điểm Dthay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD nằm trên một đường thẳng cố định

2) Cho hình thoi có Gọi lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABCvà ABD.Chứng minh rằng 1 2

2

R +R ≥

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn

a + b + =c ab

Tìm giá tri nhỏ

nhất của biểu thức

P

+

ĐÁP ÁN Câu 1 (2,0 điểm)

a) So sánh biểu thức

A

với

5 2

−

Điều kiện : x≥0;x≠4;x≠9 Khi đó, ta có :

:

0

A

A

= + ÷÷    − − + − − − ÷ 

Vậy

5

2

A> −

b)Tính giá trị của biểu thức

( )

2

2 3

B

x x

=

+

tại

2 3 2 2 3 2

Ta có :

3 1

2 3 2 2 3 2

2

2023 2

3

3 3

3 1

1 2

B

B

− +

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Giải phương trình : 4

Điều kiện :

1

; 0 3

x≥ − x≠

Phương trình đã cho ⇔ 12x2 −(3x+ = 1) 4x 3x+ 1

Đặt a=2 ,x b= 3x+1 Ta có phương trình :

( ) ( )

3

b a

=



2 2

0

72

x

x

≥



− − =



≤

− −



Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm

3 153 1;

72

x  − 

b) Giải hệ phương trình :

8

x y xy







Điều kiện :

2 2

2 0

2 0

x x







( ) ( ) ( )2 ( )2

1 1 9 8

4

x y xy

 + + =





Đặt

1 1

u x

v y

= +



 = +



Hệ đã cho trở thành :

9

uv

=







( ) ( )

( )

2

2

9

9 36

6

uv

uv

u v

u v







  =





=

= = − ⇒ = = −

=





Vậy nghiệm của hệ là ( ) ( ) (x y; ∈{ 2; 2 ; 4; 4 − − ) }

Câu 3.(2,0 điểm)

a) Tìm các cặp số nguyên ( )x y,

thỏa mãn phương trình :

y − y+ = y− x + y − y+ x

Ta có :

2 2

Vì (x− + − = + − 1) (y 2) x y 3

nên ta phải phân tích số 56 thành tích của ba số nguyên

mà tổng hai số đầu bằng số còn lại Ta có các trường hợp

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm nguyên:

( ) ( ) ( ) (x y; ∈{ 2;9 ; 8;3 ; 7;3 ; 2; 6 ; 7;9 ; 8; 6 − ) ( − ) (− ) ( − ) }

b) Cho đa thức P x( )

với các hệ số nguyên thỏa mãn P(2021 ) (P 2022) = 2023.

Chứng minh rằng đa thức P x( ) 2024− không có nghiệm nguyên

Giả sử đa thức P x( ) 2024− có nghiệm nguyên

,

x a= khi đó

(với Q(x) là đa thức với các hệ số nguyên) Khi đó :

Mà P(2021 ) (P 2022)= 2023

2

2024 2021 2021 2024 2022 2022 2023

2024 2024 2021 2021 2022 2022

2021 2022 2021 2022 2023 *

Do (2021 −a) (2022 −a)

là tích của hai số nguyên liên tiếp, suy ra vế trái của (*) là số chẵn Vậy không tồn tại a để (*) xảy ra Hay đa thức P x( ) 2024− không có nghiệm nguyên

Câu 4 (3,0 điểm)

3) Cho đường tròn ( )O

và dây cung ABkhông đi qua tâm O Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB D; là một điểm thay đổi trên cung lớn AD D( khác A và B); DM cắt ABtại C

c) Chứng minh rằng MB BD MD BC. = .

Xét ∆MBC

và ∆MDBcó :

(vì M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB); ∠BMC= ∠BMD ( ) MB MD .

BC BD

d) Chứng minh rằng MBlà tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCDvà khi điểm Dthay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCDnằm trên một đường thẳng cố định

Gọi (J) là đường tròn ngoại tiếp hay

2

BJC

MBC ∠

BCJ

∆

cân tại J nên

180 2

BJC CBJ ° − ∠

180

90

Suy ra MBlà tiếp tuyến của đường tròn (J)

Kẻ đường kính MNcủa (O) nên NB⊥MB

Mà MBlà tiếp tuyến của đường tròn (J), suy ra J thuộc NB

4) Cho hình thoi ABCDcó AB= 2.

Gọi 1 2

,

R R

lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABCvà ABD.Chứng minh rằng 1 2

2

R +R ≥

Gọi M là trung điểm của cạnh AB.Đường trung trực của đoạn AB cắt AC và BD lần lượt tại I và J Khi đó

,

I J

lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác

ABD

và ABC

Ta có :

( ) ( )

1

( )

MAI MJB g g

R MB

−

−

∽

Khi đó :

1 2

Do đó 1 2 1 2

R +R ≥ R R ≥

Dấu bằng xảy ra khi 1 2

1

R =R =

hay tứ giác ABCDlà hình vuông

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn

a + b + =c ab

Tìm giá tri nhỏ nhất của biểu thức

P

+

Đặt x=2b

thì

a + b + =c ab⇒a +x + =c ax

16

P

+

Ta có :

3ax a= +x + ≥c 2ax c+ ⇒ax c≥ > 0

1

a x a x ax a x ax

( )

4 2

x c a c ax ac ax ac ax c a x ax a x a x

Từ (1) và (2) ta có

16 2 16

P

P

Dấu bằng xảy ra khi

3 3

3

2

a

a x

=



= =

Vậy

3; ; 9

Min P= ⇔ =a b= c=