b đề vào 10 hệ chuyên môn toán tin 22 23 tỉnh phú thọ

Quanh đường tròn viết nsố thực đôi một khác nhau n 3sao cho mỗi số bằng tổng của hai số đứng liền kề nó.. Tìm nvà các số được viết nếu hai số đầu tiên được viết lần lượt là avà b Câu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

PHÚ THỌ

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG

NĂM HỌC 2022-2023 Môn: TOÁN CHUYÊN Câu 1 (2,0 điểm)

a) Cho phương trình x2  2m 2x 2m  5 0 Tìm mđể phương trình có hai nghiêm phân biệt x x1 ; 2thỏa mãn 1 2

1 1

3

b) Chứng minh rằng

3 10 3 3 10 3

là số nguyên

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2  2

b) Chứng minh rằng nếu m n, là hai số tự nhiên thỏa mãn 2022m2 m 2023n2nthì

2022 m n  1là số chính phương

Câu 3 (2,0 điểm)

a) Giải phương trình 4x2    3x 15 3x 1 0

b) Cho hai số thực a b, phân biệt Quanh đường tròn viết nsố thực đôi một khác nhau

n 3sao cho mỗi số bằng tổng của hai số đứng liền kề nó Tìm nvà các số được viết nếu hai số đầu tiên được viết lần lượt là avà b

Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABCnôi tiếp đường tròn  O có đường cao AA1, đường trung tuyến BB1và đường phân giác trong CC1 Goi D E F, , lần lượt là giao điểm của

1 ; 1 ; 1

AA BB CC với  O Biết A B C1 1 1là tam giác đều

a) Chứng minh rằng tam giác ABCđều

b) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CE N, là trung điểm của đoạn thẳng CD I là giao điểm của ANvà FM.Tính AIF

c) Tia CI cắt AF và (O) lần lượt tại J và K Chứng minh rằng Ilà trung điểm của

CK Tính tỉ số

JA JF

Câu 5 (1,0 điểm) Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn a b ab2  2  2a b ab    0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

P

ab



ĐÁP ÁN Câu 1 (2,0 điểm)

c) Cho phương trình x2  2m 2x 2m  5 0 Tìm mđể phương trình có hai

nghiêm phân biệt x x1 ; 2thỏa mãn 1 2

1 1

3

Tính được  2

' m 3

  

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2  0thì

3 ' 0

5

2 5 0

2

m





 

Theo Vi-et ta có :

1 2

1 2

2 5





1 2

1 2 1 2

4



Vậy

11

4

d) Chứng minh rằng

3 10 3 3 10 3

là số nguyên

Ta có :

3

3

2

300

81

2

2 4 0

2 2 0( )

P

P





        

 Vậy P 2hay P là số nguyên

Câu 2 (2,0 điểm)

c) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2  2

Phương trình   2    2  

1 x  2 y 4 x 4 y 4  0 2

Xem phương trình (2) là phương trình bậc hai ẩn x, ta cần tìm điều kiện của yđể

phương trình  2 có nghiệm    ' 0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên    x y;  2;0

d) Chứng minh rằng nếu m n, là hai số tự nhiên thỏa mãn 2022m2  m 2023n2 n

thì 2022m n  1là số chính phương

2022m  m 2023n  n 2022m  2022n   m n n

m n 2022m 2022n 1 n2 1

Th1 : Với m n  1    m n 0 2022m n   1 1là số chính phương

Th2: Với m n   m n 0 Gọi m n ;2022m 2022n  1 d

2 2

2022 2022 1

m n d







M

M

2022m 2022n d 1 d d 1 m n; 2022m 2022n 1 1

2022m 2022n 1là hai số nguyên tố cùng nhau

Mặt khác m n  2022m 2022n  1 n2là số chính phương nên suy ra 2022m n  1là số chính phương (đpcm)

Câu 3 (2,0 điểm)

c) Giải phương trình 4x2    3x 15 3x 1 0 (1)

3 1 0

4 3 15 3 1

4 3 15 3 1

x

 



         



2

x

Vậy x 2

d) Cho hai số thực a b, phân biệt Quanh đường tròn viết nsố thực đôi một khác nhau n 3sao cho mỗi số bằng tổng của hai số đứng liền kề nó Tìm nvà các

số được viết nếu hai số đầu tiên được viết lần lượt là avà b

Đánh số các số được viết theo thứ tự là a a1 ; ; ; 2 a6với a1 a a; 2 b Ta có :

1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 1

a a a b a  b a a  a a  b a  a b a  a a

Suy ra n 6.Mà n   3 n 3;4;5;6

Th1: n   3 a1 a a; 2 b a; 3  b a

Vì a3         a1 a2 b a b a a 0 a2 a3(loại)

1 2 3 4

( )

       

3: 5

4 : 6

Th n

Th n





Dễ thấy a6  a1 a5luôn thỏa mãn

Để các số a i i  1,6phân biệt thì ab 0;a b a ;  2 ;b b 2 *a 

Vậy n 6và các số được viết là a1 a a; 2 b a; 3  b a a; 4  a a; 5  b a; 6  a b

Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABCnôi tiếp đường tròn  O có đường cao AA1, đường trung tuyến BB1và đường phân giác trong CC1 Goi D E F, , lần lượt là giao điểm của AA BB CC1 ; 1 ; 1với  O Biết A B C1 1 1là tam giác đều

d) Chứng minh rằng tam giác ABCđều

Xét tam giác AA C1 vuông tại A1có B1là trung điểm cạnh ACnên 1 1

1 2

Suy ra 1 1 1

1 2

vuông tại C1, mà CC1là đường phân giác của Cnên C1 là trung điểm cạnh AB

Lại có 1 1 1 1

1 2

nên A C1 1là đường trung bình của tam giác ABC,suy ra A1là trung điểm cạnh BC

Vậy A B C1 ; ; 1 1lần lượt là trung điểm của các cạnh BC CA AB, , nên ABCđều (đpcm)

e) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CE N, là trung điểm của đoạn thẳng CD.

I là giao điểm của ANvà FM.Tính AIF

Vì ABCđều nên AFBDCElà lục giác đều

Do đó sd AF» sd FB sd BD sd DC sdCE sd EA»  »  »  »  »   60

Suy ra FCM  ADN c g c( ) DAN  CFM

     là tứ giác nội tiếp  AIF  AOF   60

f) Tia CI cắt AF và (O) lần lượt tại J và K Chứng minh rằng Ilà trung điểm của CK Tính tỉ số

JA JF

Ta có OCEvà OCDlà hai tam giác đều bằng nhau nên

1 2

Lại có MNlà đường trung bình

1 2

đều

60 , , ,

       cùng thuộc một đường tròn

Lại có OMC ONC  90 O N M C, , , cùng thuộc đường tròn đường kính OC

Vậy 5 điểm O I M C N, , , , cùng thuộc một đường tròn đường kính OC

Suy ra OIC OMC   90 OI CK Ilà trung điểm của CK

Từ O kẻ OGFM OH,  AN.Gọi Llà giao của AN CF,

Ta có AOH  FOGOG OH  OGI  OHI GIO HIO

OI

 là phân giác của

FIL

Mà L là trọng tâm 1 3  1

3

Gọi bán kính của (O) là R nên CE R

Xét ECF vuông tại E có EF CE tan ECF R.tan 60  R 3

3

Mà tứ giác OIMCnội tiếp nên FI FM FO FC  2R2

2

FM

Vì tứ giác OIAF nội tiếp nên :

2

Dễ có

1 30

2

là đường phân giác trong góc I của 3

4

AIF

Câu 5 (1,0 điểm) Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn a b ab2  2  2a b ab   0.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

P

ab



Ta có :

2

 Lại có

2

2

2 2

3

2

2 2

2

P

ab

        

71 4



Vậy

71

2 4