Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh quảng nam

2,0 điểm Cho tam giác nhọn ABC AB AC   nội tiếp trong đường tròn  O .Dựng đường kính NPcủa đường tròn O vuông góc với BCtại M P nằm trên cung nhỏ BC.Tia phân giác của ABCcắt AP tại

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NAM

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề gồm có 01 trang)

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 VÀO TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2022-2023 Môn thi : TOÁN (Chuyên)

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Khóa thi ngày : 14-16/2/2022

Câu 1 (2,0 điểm)

a) Không dùng máy tính bỏ túi, hãy rút gọn biểu thức :

3

507 13 48 25

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên x y, thỏa mãn x3x2 y3y2

Câu 2 (1,0 điểm)

Cho parabol  P y: 2x2và đường thẳng  d :y ax b  .Tìm các hệ số a b; biết

 d đi qua điểm

3 1;

2

A 

 và có đúng một điểm chung với  P

Câu 3 (2,0 điểm)

a) Giải phương trình 3 3 x 2x 3 x 9 x2 6x0

b) Giải hệ phương trình

2 2

2 2







Câu 4 (2,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC AB AC   nội tiếp trong đường tròn  O .Dựng đường kính

NPcủa đường tròn (O) vuông góc với BCtại M (P nằm trên cung nhỏ BC).Tia phân giác của ABCcắt AP tại I

a) Chứng minh PI PB

b) Chứng minh IMBINA

Câu 5 (2,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABCcân tại A và có tâm đường tròn ngoại tiếp là O Lấy điểm D bên trong tam giác ABCsao cho BDC  2 BAC(AD không vuông góc với )

BC

a) Chứng minh bốn điểm B C D O, , , cùng nằm trên một đường tròn

b) Chứng minh ODlà đường phân giác ngoài của BDCvà tổng BD CD bằng hai lần khoảng cách từ A đến đường thẳng OD

Câu 6 (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x y z, , thỏa mãn xyz 1.Tìm giá trị lớn nhất

P

ĐÁP ÁN Câu 1 (2,0 điểm)

c) Không dùng máy tính bỏ túi, hãy rút gọn biểu thức : A 3 507 13 48 25

Ta có 13  48 13 4 3   2 3 1  2

và 507 13 3

A

d) Tìm tất cả các cặp số nguyên x y, thỏa mãn x3x2 y3y2

Ta có : x3 x2 y3 y2  x3  y3  x2  y2  0

 

0

0 *

1

3

0 0

1

x

x y

x

  





               











  





Vậy nghiệm nguyên của phương trình x y;   a a; ; 1;0 ; 0; 1      

Câu 2 (1,0 điểm)

Cho parabol  P y: 2x2và đường thẳng  d :y ax b  .Tìm các hệ số a b;

biết  d đi qua điểm

3 1;

2

A 

 và có đúng một điểm chung với  P

A    a b b  a d y ax   a

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

 

Để (P) và (d) có đúng 1 điểm chung thì phương trình (*) có nghiệm kép

9 6

1 2

2

2





              



Vậy  

a b       

Câu 3 (2,0 điểm)

c) Giải phương trình 3 3 x 2x 3 x 9 x2 6x0

2

2

x



 Vậy x1;x6là các nghiệm của phương trình

d) Giải hệ phương trình

2 2

2 2







2

2



 



Đặt x 2y a x y b , 2   , ta có hệ

2 2 2

a b a b

   

2

2

2

3 5 1

1 5

3 2

5

3

1

1

5

x

a b

y

a b

x

x

a b

y















 





 









Vậy  

x y      

Câu 4 (2,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC AB AC  nội tiếp trong đường tròn  O .Dựng đường kính NPcủa đường tròn (O) vuông góc với BCtại M (P nằm trên cung nhỏ

).

BC Tia phân giác của ABCcắt AP tại I

I

P

N

M O

B

A

C

c) Chứng minh PI PB

Ta có :

 1

2

(chắn cung PC),

1 2

(BI là phân giác của ABC)

1

 1

2

(góc nội tiếp chắn

),

2

(BI là phân giác của ABC)

2

Mà NPBCnên P là điểm chính giữa của BC  PB PC   3

Từ (1), (2),(3) PBI BIP BPIcân tại P PB PI dfcm ( )

d) Chứng minh IMBINA

Vì NPlà đường kính của (O) nên NBP 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Xét tam giác NBPvuông tại B có BM NPta có : PM PN PB2(hệ thức lượng)

2

Xét PMIvà PINcó :

;PM PI

    ∽       

Mà IMN IMB90BCNP,NIA INA90(Do ANP 90 :  góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) IMBINA dfcm( )

Câu 5 (2,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABCcân tại A và có tâm đường tròn ngoại tiếp là O Lấy điểm D bên trong tam giác ABCsao cho BDC 2 BAC(AD không vuông góc với BC)

I

M

N H

A

O

B

D

C

c) Chứng minh bốn điểm B C D O, , , cùng nằm trên một đường tròn

Ta có BOC  2 BAC(góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn BC)

Xét tứ giác BODCcó BOCBDC,mà 2 góc này liền kề tứ giác BODCnội tiếp 4

 điểm B O D C, , , cùng thuộc một đường tròn

d) Chứng minh ODlà đường phân giác ngoài của BDCvà tổng BD CD

bằng hai lần khoảng cách từ A đến đường thẳng OD

Gọi DM là phân giác trong của tam giác BDC M BC

AO kéo dài cắt BCtại H AH BC(do tam giác ABC cân tại A)

Tứ giác BODCnội tiếp nên ODBOCB

DM là phân giác BDCnên

(OB=OC nên tam giác OBCcân tại O, do đó OHvừa là đường cao vừa là đường phân giác)

Mà OCB HOC90do AH BC ODM ODB BDM 90

   là đường phân giác ngoài của BDC

+) Kéo dài BDcắt đường tròn (O) tại N Dựng AIvuông góc với ODtại I

Ta có BDCBOC sd BC 

    (góc ngoài DNC)

 1

2

(góc nội tiếp chắn cung BC)

 1 2

     

cân tại D nên DN DC

Dựng đường kính BKcủa đường tròn (O)

Có

Xét AOIvà BKNcó : BKN AOI;AIOBNK

2

  ∽          

Câu 6 (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x y z, , thỏa mãn xyz 1.Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2

P

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương ta có :

2 2

;

4 y z 2 y z  1 4 z x 2 z x  1

P

Đổi biến x y z; ;  a b c3 ; ; 3 3 abc 1

2

3 3

;

1

1 2

P

a b c a b c a b c