Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh quảng bình

Gọi Elà trung điểm của AN C, là giao điểm của MEvới O C khác M và H là giao điểm của MNvà AO a Chứng minh tứ giác HCENnội tiếp b Gọi Dlà giao điểm của ACvới O Dvới C.Chứng minh tam giác

QUẢNG BÌNH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

NĂM HỌC 2022-2023 Môn thi : TOÁN CHUYÊN

Thời gian làm bài : 150 phút

Câu 1 (2,0 điểm)

Cho biểu thức    

1

P

(với 0 x 1)

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm xđể Pchia hết cho 3

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Cho phương trình x2 2m1x 3 0 1  (với mlà tham số) Tìm tất cả các giá trị nguyên của mđể phương trình  1 có hai nghiệm x x1 , 2thỏa mãn x1  2x2  5 b) Giải phương trình x 1 3x 5 4

Câu 3 (1,0 điểm)

a b c

b c a c a b a b c          

Câu 4 (1,5 điểm)

Tìm n  để n 5 1chia hết cho n 3 1

Câu 5 (3,5 điểm)

Từ điểm Aở bên ngoài đường tròn  O kẻ hai tiếp tuyến AM AN, với (O) (M,

N là các tiếp điểm) Gọi Elà trung điểm của AN C, là giao điểm của MEvới (O) (C khác M) và H là giao điểm của MNvà AO

a) Chứng minh tứ giác HCENnội tiếp

b) Gọi Dlà giao điểm của ACvới (O) (Dvới C).Chứng minh tam giác MNDlà tam giác cân

c) Gọi I là giao điểm của NOvới  O (I khác N);Klà giao điểm của MDvà AI.

Tính tỉ số

KM KD

ĐÁP ÁN Câu 1 (2,0 điểm)

Cho biểu thức    

1

P

(với 0 x 1)

c) Rút gọn biểu thức P

   

   

   

   

   

1

2

P

x





d) Tìm xđể Pchia hết cho 3

2 2

x



Biểu thức P chia hết cho 3

4 2

x

x



 Vậy

1

4

x 

Câu 2 (2,0 điểm)

c) Cho phương trình x2 2m1x 3 0 1  (với mlà tham số) Tìm tất cả các giá trị nguyên của mđể phương trình  1 có hai nghiệm x x1 , 2thỏa mãn

x  x 

Vì ac 0nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2với mọi giá trị của m

Theo hệ thức Vi-et ta có :

 

 

1 2

2 2 2

x x







 Kết hợp x1  2x2  5với (2) ta được x1  4m 9; x2   7 2m

Thay vào (3) ta được :

2

4

m

m







 



Điều kiện :

5 3

x 

3

0( )

1 2 3 5 2

x x

x

x

VN













Vậy x 3

Câu 3 (1,0 điểm)

a b c

b c a c a b a b c          

Đặt

0

2 0

; 0

x z

y b c a

x y y z

z c a b





   



    

Ta cần chứng minh :

x y z

Ta có :

 

1

xy yz yz zx xy zx

z  x  x  y  z  y 

xy yz zx

x y z

z  x  y   

Từ (1) và (2) ta có :

x y z

Vậy

a b c

b c a c a b a b c           Dấu bằng xảy ra khi a b c 

Câu 4 (1,5 điểm)

Tìm n  để n 5 1chia hết cho n 3 1

Với n  ,ta có : n5  1 n3   1 n n2 3  1  n2  1n3  1

2

2 2

2

0

1 1

n n n do n

n

n n



   







Vậy n0,n1

Câu 5 (3,5 điểm)

Từ điểm Aở bên ngoài đường tròn  O kẻ hai tiếp tuyến AM AN, với (O) (M, N là các tiếp điểm) Gọi Elà trung điểm của AN C, là giao điểm của MEvới (O) (C khác M) và H là giao điểm của MNvà AO

K

I

D

H

C

E N

M

O

A

Ta có AM AN, là hai tiếp tuyến cắt nhau nên OAlà đường phân giác của MON MON

 cân tại O, có OAlà đường phân giác nên OAđồng thời cũng là đường tung trực ứng với MN  MH HN OA; MN

/ /

    mà MNCAME(cùng chắn MC )

Nên MNCHEMsuy ra tứ giác HCENnội tiếp

e) Gọi Dlà giao điểm của ACvới (O) (Dvới C).Chứng minh tam giác MND

là tam giác cân

mà EN EAnên

ECA

 và EAM có :

EM EA và AECchung ECA∽ EAM  EACEMA

Lại có EMAMDC(cùng chắn MC)nên EACMDC

Suy ra MD AN/ /  DMNMNA

Mặt khác, MDN MNA(cùng chắn cung MN)

   Do đó MNDcân tại N

f) Gọi I là giao điểm của NOvới  O (I khác N);Klà giao điểm của MDvà

.

AI Tính tỉ số

KM KD

Gọi L là giao điểm của MD NI,

Vì MD/ /AN cmt IN( ), AN (tính chất tiếp tuyến)

Nên IN MDtại L 2

MD

DL ML

INA

Ta có IM / /AO(cùng vuông góc với MN),suy ra MILAON

Lại có MLI ONA 90 nên MIL∽ AON g g( )

Vì

1

3

KM

KD